ملف تدريبي: المعدلات المرتبطة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام المشتقات لإيجاد العلاقة بين المعدلات لكميتين أو أكثر في مسائل المعدلات المرتبطة.

س١:

إذا كان 𞸇 حجم مكعب طول حرفه 𞸎، ويتمدَّد المكعب مع مرور الوقت، فعبِّر عن 𞸃𞸇𞸃𞸍.

  • أ٣𞸎٢
  • ب𞸎٢
  • ج٣𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍٢
  • د𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍٢
  • ه𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍٣

س٢:

مثلث فيه الضلعان 󰏡، 𞸁 والزاوية المحصورة بينهما 𝜃 ومساحته 󰏡=١٢󰏡𞸁𝜃. افترِض أن 󰏡=٤، 𞸁=٥، والزاوية 𝜃 تتزايد بمعدَّل ٠٫٦ راديان/ث. ما سرعة تغيُّر المساحة عندما تكون 𝜃=𝜋٣؟

س٣:

إذا كان معدل استهلاك الوقود لصاروخ كتلته ٢٦ طنًّا متريَّا ثابتًا ويساوي ٨٠ كجم/ث، فأوجد كتلة الصاروخ بعد ٢٥ ثانية من الإقلاع.

س٤:

صاروخ، على وشك إنهاء رحلته، يستهلك وقودًا بمُعدَّل ٨٠ كجم/ث. إذا كانت كتلته وهو فارغ تساوي ٧ أطنان مترية، وكتلته الحالية تساوي ٩ أطنان مترية، فما الوقت الذي يستغرقه لاستهلاك الوقود المتبقِّي؟

س٥:

مساحة قرص دائري تزيد بمعدَّل ١٥ سم٢. ما معدَّل زيادة نصف قطره عندما يكون نصف القطر ٦ سم؟ استخدم 𝜋=٢٢٧ لتبسيط إجابتك.

  • أ٧٠٦٦ سم/ث
  • ب٧٠٢٣١ سم/ث
  • ج٧٠٢٢ سم/ث
  • د٧٠٢٣١ سم/ث

س٦:

يتحرك جسم على المنحنى ٦𞸑+٢𞸎٢𞸎+٥𞸑٣١=٠٢٢. إذا كان معدَّل تغيُّر الإحداثي 𞸎 بالنسبة للزمن عندما يمر بالنقطة (١،٣) هو ٢، فأوجد معدَّل تغيُّر الإحداثي 𞸑 بالنسبة للزمن عند نفس النقطة.

  • أ٨٣٢
  • ب٢١١٤
  • ج١٦٣
  • د٠٢٧

س٧:

بالون كروي تسرب منه غاز الهليوم بمعدل ٤٨ سم٣. ما معدل التغير في مساحة السطح الخارجي للبالون عندما يصبح نصف قطره ٤١ سم؟

  • أ٦٩١٤ سم٢
  • ب٨٤١٤ سم٢
  • ج٢١١٤ سم٢
  • د٨٤١٤ سم٢

س٨:

يتحرك جسم على المنحنى 𞸑=٥𞸎٢. إذا كان 𞸃𞸎𞸃𞸍=٣ عند 𞸑=٥، فما قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸍 في هذه اللحظة؟

  • أ٣٢
  • ب٣٢
  • ج٣
  • د١٢

س٩:

عند لحظة معينة، يتزايد نصف قطر دائرة بمعدَّل ١٧ سم/د، وتتزايد مساحتها بمعدَّل ٥٨𝜋 سم٢. أوجد نصف قطر الدائرة عند تلك اللحظة.

س١٠:

ارتفاع أسطوانة يساوي قطر قاعدتها، والأسطوانة تتمدَّد؛ بحيث يكون معدَّل زيادة مساحة سطحها بالنسبة للزمن ٢٣𝜋 سم٢. احسب معدَّل الزيادة في نصف القطر، عندما تكون القاعدة ١٨ سم.

  • أ٤٧٢ سم/ث
  • ب٨٥٤ سم/ث
  • ج٨٧٢ سم/ث
  • د٢٩ سم/ث

س١١:

صفيحة معدِنية على شكل شبه منحرف متساوي الساقين. طولا ضلعي شبه المنحرف المتوازيين 𞸎 سم، ٣𞸎 سم وقياس الزاوية عند أحد رءوسه يساوي ٥٤. انكمشت الصفيحة مُحافِظةً على شكلها. أوجد معدَّل تغيُّر مساحة الصفيحة بالنسبة إلى 𞸎 عندما يكون ارتفاعها ٣ سم.

  • أ١٢ سم٢/سم
  • ب٢١ سم٢/سم
  • ج٦ سم٢/سم
  • د٦ سم٢/سم

س١٢:

أنبوب ماء يُرمَز إليه بالرمز 󰏡𞸁 ويبلغ طوله ٥ أمتار وُضِع بطرفه 󰏡 على أرض أفقية مائلًا على حافة حائط رأسي طوله ٣ أمتار عند النقطة 𞸃. إذا انزلق الطرف 󰏡 بعيدًا عن الحائط بمُعدَّل ٨٥ م/د، فأوجد المُعدَّل الذي ينزلق به الطرف 𞸁 إلى أن يصل إلى الأرض.

  • أ٢١٥٢١ م/د
  • ب٦٩٥٢١ م/د
  • ج٦٩٥٢١ م/د
  • د٢٩١٥٢١ م/د

س١٣:

󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 شارعان متعامدان؛ حيث 󰏡𞸢=٣١م، 𞸁𞸢=٦٦م. بدأ شخص السير من 󰏡 في اتجاه 𞸢 بسرعة منتظمة مقدارها ١ م/ث، وبدأ شخص آخر السير من 𞸁 في اتجاه 𞸢 بسرعة منتظمة مقدارها ٧ م/ث. أوجد معدل تغير المسافة بينهما بعد ٦انٍ.

س١٤:

في نهاية سباق ٥٠٠ متر، جرى عدَّاء في خط مستقيم بسرعة ٣٫٥ م/ث. وُضعت كاميرا على بُعد ٣ متر من خط النهاية لتكون عمودية على المسار وعلى نفس المستوى الأفقي للعداء. أوجد معدل تغيُّر الزاوية، إذا أُديرت الكاميرا لالتقاط العدَّاء عندما كان على بُعد ٦ متر من خط النهاية.

  • أ٠٣٧ راديان/ث
  • ب٧٠٣ راديان/ث
  • ج٧٥١ راديان/ث
  • د٤١٥١ راديان/ث

س١٥:

يزداد طول مستطيل بمعدَّل ١٥ سم/ث ويزداد عرضه بمعدَّل ١٣ سم/ث. أوجد معدَّل زيادة مساحة المستطيل عندما يكون طوله ٢٥ سم وعرضه ١٢ سم.

س١٦:

يسحب رجل سيارة باتجاهه باستخدام حبل يمر على بكرة مثبتة بارتفاع ٢٤ م فوق الأرض، فوقه مباشرة. إذا سحب الحبل بمعدل ٤ م/د، فما سرعة السيارة عندما كانت تبعد عنه مسافة ١٠ م؟

  • أ٠٢٣١ م/د
  • ب٣١٥ م/د
  • ج٣١٣ م/د
  • د٢٥٥ م/د

س١٧:

أبحرت سفينتان معًا في نفس الوقت من أحد الموانئ. اتجهت السفينة الأولى شرقًا بسرعة ٣٠ كم/س، بينما اتجهت الأخرى جنوبًا بسرعة ٤٠ كم/س. ما معدَّل تغيُّر المسافة بين السفينتين بعد ٥ ساعات؟

س١٨:

قطعة معدنية مستطيلة الشكل يزيد طولها عن عرضها بمقدار ٤٥ سم، وعند تبريدها تقلَّصت وظل طولها أكبر من عرضها بمقدار ٤٥ سم. إذا كان طولها يقل بمعدَّل ٠٫٠٢٦ سم/ث عند اللحظة التي يكون فيها العرض ٩٠ سم، فأوجد معدَّل تغيُّر مساحتها في تلك اللحظة.

س١٩:

صفيحة معدِنية رقيقة على شكل مستطيل طوله يساوي ٣٥ من طول قطره، تنكمش بالتبريد مع الاحتفاظ بشكلها الهندسي ونفس النسبة بين أبعادها، وفي لحظة معينة، كان طول قطرها ومساحة سطحها يتناقصان بمعدَّل ١٫٥ سم/د، ٣٦ سم٢ على الترتيب. أوجد مساحة سطح الصفيحة في تلك اللحظة.

س٢٠:

طولا ضلعَي القائمة لمثلث قائم الزاوية في البداية هما ٧ سم، ١ سم. تَناقَص طول الضلع الأول بمُعدَّل ١ سم/د، بينما ازداد طول الضلع الآخر بمُعدَّل ٥ سم/د. ما مُعدَّل تغيُّر مساحة المثلث بعد مرور ٦ دقائق؟

  • أ٤٨ سم٢
  • ب١٧ سم٢
  • ج٦ سم٢
  • د٣١ سم٢

س٢١:

صندوق على شكل مستطيل يتمدد محافظًا على النسبة بين أبعاده. طوله يزيد عن عرضه بمقدار ٦ سم. ارتفاعه ﺿ عرضه. أوجد أبعاد الصندوق عندما يزيد حجمه بمعدل ٠٫٣ سم٣ ويزيد عرضه بمعدل ٠٫٠١ سم/د.

  • أ٢ سم، ٨ سم، ٤ سم
  • ب١ سم، ٧ سم، ٢ سم
  • ج٣ سم، ٩ سم، ٦ سم
  • د٤ سم، ١٠ سم، ٨ سم

س٢٢:

حاوية على شكل أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها الداخلي يساوي ٥ سم ونصف قطر قاعدتها الداخلي يساوي ٦ سم. وُضع قضيب معدني طوله ١٦ سم بداخل الحاوية. إذا كان معدَّل انزلاق القضيب بعيدًا عن حرف الحاوية يساوي ٣ سم/ث، فأوجد معدَّل انزلاق القضيب على قاعدة الحاوية في اللحظة التي يلمس فيها القضيب جانب الحاوية.

  • أ٦٣٣١ سم/ث
  • ب٣١٤ سم/ث
  • ج󰋴١٦٢١ سم/ث
  • د٥٤ سم/ث

س٢٣:

في دائرة كهربية مغلقة، 𞸇 فرق الجهد مقيسًا بالفولت، 𞸕 شدة التيار مقيسة بالأمبير، 𞸌 المقاومة مقيسة بالأوم. إذا زاد فرق الجهد بمعدل ٦ فولت لكل ثانية، وقلَّت شدة التيار بمعدل أمبير/ث، فأوجِد معدل تغير المقاومة عندما يكون 𞸇=٠٢، 𞸕=٥أ.

  • أ أوم/ث
  • ب أوم/ث
  • ج أوم/ث
  • د أوم/ث

س٢٤:

يتناقص حجم كتلة معلومة من الغاز تحت درجة حرارة ثابتة بمعدَّل ثابت ٩ سم٣. إذا كان ضغط الغاز يتناسب عكسيًّا مع حجمه، وكان الضغط يساوي ٢‎ ‎٢٠٠ ث. جم/سم٢ عندما يكون الحجم ٢٥٠ سم٣، فأوجد معدَّل تغيُّر الضغط بالنسبة للزمن عندما يكون حجم الغاز ١٠٠ سم٣.

  • أ١٩٨ ث. جم/سم٢
  • ب٤٩‎ ‎٥٠٠ ث. جم/سم٢
  • ج٦٩٣٥ ث. جم/سم٢
  • د٤٩٥ ث. جم/سم٢

س٢٥:

تتحرَّك نقطة على منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٢٢. إذا كان الإحداثي 𞸎 يزيد بمعدَّل ٩󰋴٥١ سم/ث، فأوجد معدَّل تغيُّر المسافة بين هذه النقطة والنقطة (١،٠) عند 𞸎=٣.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.