ملف تدريبي: استقطار المصفوفات

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تحديد إذا ما كانت المصفوفة المعطاة قابلة للاستقطار أو لا، وكيفية استقطارها، وكيفية استخدام ذلك لإيجاد القوى العليا للمصفوفة.

س١:

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة 682345163412. حدِّد إذا ما كانت المصفوفة منقوصة.

  • أالمتجهات الذاتية: 5431,7831 هذه المصفوفة منقوصة
  • بالمتجهات الذاتية: 1131,1211 هذه المصفوفة منقوصة
  • جالمتجهات الذاتية: 4111,4321 هذه المصفوفة منقوصة
  • دالمتجهات الذاتية: 3111,1211 هذه المصفوفة منقوصة
  • هالمتجهات الذاتية: 1141,4321 هذه المصفوفة منقوصة

س٢:

أوجد القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة 37192182310, ثم حدِّد هل المصفوفة ناقصة.

  • أالقِيَم الذاتية هي 1 بالمتجه الذاتي المناظِر هو 322، 2 بالمتجه الذاتي المناظِر هو713، و3 بالمتجه الذاتي المناظِر هو 19810. المصفوفة ليست ناقصة.
  • بالقِيَم الذاتية هي 1 بالمتجه الذاتي المناظِر هو 311، 2 بالمتجه الذاتي المناظِر هو121، و3 بالمتجه الذاتي المناظِر 211. المصفوفة ليست ناقصة.
  • جالقِيَم الذاتية هي 10 بالمتجه الذاتي المناظِر هو 821، و1 بالمتجه الذاتي المناظِر هو311. المصفوفة ناقصة.
  • دالقِيَم الذاتية هي 1 بالمتجه الذاتي المناظِر 422، 2 بالمتجه الذاتي المناظِر 733، و3 بالمتجه الذاتي المناظِر 1987. المصفوفة ليست ناقصة.
  • هالقِيَم الذاتية هي 10 بالمتجه الذاتي المناظِر هو 1322، و1 بالمتجه الذاتي المناظِر هو723. المصفوفة ناقصة.

س٣:

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة:󰃭٠٢٩٨١٦٥٦٠٣٤١٧٢󰃬، ثم حدِّد بعد ذلك إذا ما كانت المصفوفة ناقصة.

  • أالقيم الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي ٣٤١٤١، ٣ بالمتجه الذاتي ٩٣١٣٣١١، و٢ بالمتجه الذاتي ١٢١١. المصفوفة ناقصة.
  • بالقيم الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي ١٣٧٩١، ٣ بالمتجه الذاتي ٣٢٣٢١، و٢ بالمتجه الذاتي ٣٢١١. المصفوفة ليست ناقصة.
  • جالقيم الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي ١٣٧٩١، ٣ بالمتجه الذاتي ٣٢٣٢١، و٢ بالمتجه الذاتي ٣٢١١. المصفوفة ليست ناقصة.
  • دالقيم الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي ٧٨١٨١، ٣ بالمتجه الذاتي ٦١١٦١١١، و٢ بالمتجه الذاتي ١٧٦٧١. المصفوفة ناقصة.
  • هالقيم الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي ٣٤١٤١، ٣، بالمتجه الذاتي ٩٣١٣٣١١، و٢ بالمتجه الذاتي ١٢١١. المصفوفة ليست ناقصة.

س٤:

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة 󰃭٧٢٠٨١٠٢٤٦󰃬. حدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة.

  • أالمتجهات الذاتية: 󰃳󰃭١٢٢󰃬󰃲٣،󰃇󰃁٠٠١󰃀󰃆٦ هذه مصفوفة ناقصة
  • بالمتجهات الذاتية: 󰃳󰃭١٢٦󰃬󰃲٣،󰃇󰃁٠٠٢󰃀󰃆٦ هذه مصفوفة ناقصة
  • جالمتجهات الذاتية: 󰃳󰃭٢٥٤󰃬󰃲٦،󰃳󰃭٥٤١󰃬󰃲٣ هذه ليست مصفوفة ناقصة
  • دالمتجهات الذاتية: 󰃳󰃭١٢٢󰃬󰃲٣،󰃇󰃁٢١٠󰃀󰃆٦ هذه مصفوفة ناقصة
  • هالمتجهات الذاتية: 󰃳󰃭٢٤١󰃬󰃲٣،󰃳󰃭١٨٢󰃬󰃲٦ هذه ليست مصفوفة ناقصة

س٥:

أوجد القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة: 117104115, وحدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة.

  • أالقيم الذاتية 2 مع المتجه الذاتي 211، و1 مع المتجه الذاتي 311.
  • بالقيم الذاتية 2 مع المتجه الذاتي 121، و1 مع المتجه الذاتي 111.
  • جالقيم الذاتية 2 مع المتجه الذاتي 121، و1 مع المتجه الذاتي 311.
  • دالقيم الذاتية 2 مع المتجه الذاتي 121، و1 مع المتجه الذاتي 111.
  • هالقِيَم الذاتية 2 مع المتجه الذاتي 211، و1 مع المتجه الذاتي 311.

س٦:

أوجد أساس الفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة3121139806, وبعد ذلك حدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة أو لا.

  • أأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2 هو 111، وأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 3 هو 9821، وأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 6 هو 011. إذن، المصفوفة غير ناقصة.
  • بأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية الوحيدة 0 هو 34321. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • جأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية الوحيدة 1 هو 78141. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • دأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2 هو 111، وأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 3 هو 9821، وأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 6 هو 011. إذن، المصفوفة غير ناقصة.
  • هأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية الوحيدة 0 هو 34141. إذن، المصفوفة ناقصة.

س٧:

أوجد أساس الفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة 󰃭١١٦٧٥٦١٧٢󰃬، وبناءً عليه حدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة.

  • أأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين٦، ٢+٦𞸕، ٢٦𞸕 هي 󰃳󰃭١١١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲 على الترتيب؛ ومن ثم المصفوفة غير ناقصة.
  • بأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين ٦، ٢+٦𞸕، ٢٦𞸕 هي 󰃳󰃭١١١󰃬󰃲، ١١٦٥٣٥𞸕، ١١٦٥٣٥𞸕 على الترتيب؛ ومن ثم المصفوفة غير ناقصة.
  • جأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين٦، ٢+٦𞸕، ٢٦𞸕 هي 󰃳󰃭١١١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲 على الترتيب؛ ومن ثم المصفوفة غير ناقصة.
  • دأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين ٦، ٢+٦𞸕، ٢٦𞸕 هي ٧٧١٩١٧١١، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲 على الترتيب؛ ومن ثم المصفوفة غير ناقصة.
  • هأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين ٦، ٢+٦𞸕، ٢٦𞸕 هي 󰃳󰃭١١١󰃬󰃲، ١١٦٥٣٥𞸕، ١١٦٥٣٥𞸕 على الترتيب؛ ومن ثم المصفوفة غير ناقصة.

س٨:

أوجد أساسًا للفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة 2121129807,ثم حدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة أو لا.

  • أأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 1 هو 34141. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • بأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية الوحيدة 0 هو 78141. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • جأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 1 هو 34321. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • دأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 7 هو 011، وأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2 هو 9821. إذن، المصفوفة ليست ناقصة.
  • هأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 7 هو 011، وأساس الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2 هو 9821. إذن، المصفوفة ليست ناقصة.

س٩:

أوجد أساس الفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة:420240222ثم حدِّد هل المصفوفة ناقصة أم لا.

  • أأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 2، 6 هي 110,001، 111 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • بأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 2، 4 هي 110,001، 001 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • جأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 2، 4 هي 110,001، 14114 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • دأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 2، 6 هي 110,001، 15115 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • هأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقِيَم الذاتية 2، 6، 4 هي 110، 111، 001 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.

س١٠:

أوجد أساس الفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة 963060369ثم حدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة أو لا.

  • أأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 6، 12 هي 210,101، 101 على الترتيب. إذن، المصفوفة غير ناقصة.
  • بأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 6، 9 هي 1501، 1601 على الترتيب. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • جأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 6، 12 هي 1501، 1701 على الترتيب. إذن، المصفوفة ناقصة.
  • دأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 6، 9 هي 210,101، 000 على الترتيب. إذن، المصفوفة غير ناقصة.
  • هأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيمتين الذاتيتين 6، 12 هي 210,101، 1701 على الترتيب. إذن، المصفوفة غير ناقصة.

س١١:

أوجد الأساس للفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية للمصفوفة:211232221ثم حدِّد هل المصفوفة ناقصة أم لا.

  • أالأساسات للفضاءات الذاتية المصاحبة للقيمتين الذاتيتين 1، 2 هي 112,101، 1211 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • بالأساسات للفضاءات الذاتية المصاحبة للقيمتين الذاتيتين 1، 2 هي 111، 1211 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • جالأساسات للفضاءات الذاتية المصاحبة للقيمتين الذاتيتين 1، 2 هي 110,101، 1211 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • دالأساسات للفضاءات الذاتية المصاحبة للقيمتين الذاتيتين 1، 2 هي 110,101، 1201 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • هالأساسات للفضاءات الذاتية المصاحبة للقيمتين الذاتيتين 1، 2 هي 112، 1211على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.

س١٢:

أوجد الأساس للفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية للمصفوفة:󰃭٤٢٢٠٢٢٢٠٢󰃬ثم حدِّد هل المصفوفة ناقصة أم لا.

  • أأسس الفضاءات الذاتية المصاحبة للقيم الذاتية ٤، ١+𞸕، ١𞸕 هي ٢١٣١، 󰃳󰃭١٢𞸕١𞸕󰃬󰃲، 󰃳󰃭١٢𞸕١+𞸕󰃬󰃲 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • بأسس الفضاءات الذاتية المصاحبة للقيم الذاتية ٤، ٢+٢𞸕، ٢٢𞸕 هي ٢١٣١، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • جأسس الفضاءات الذاتية المصاحبة للقيم الذاتية ٤، ٢+٢𞸕، ٢٢𞸕 هي ٢١٣١، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • دأسس الفضاءات الذاتية المصاحبة للقيم الذاتية ٤، ٢+٢𞸕، ٢٢𞸕 هي 󰃳󰃭١١١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲، 󰃳󰃭𞸕𞸕١󰃬󰃲 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.
  • هأسس الفضاءات الذاتية المصاحبة للقيم الذاتية ٤، ١+𞸕، ١𞸕 هي 󰃳󰃭١١١󰃬󰃲، 󰃳󰃭١٢𞸕١𞸕󰃬󰃲، 󰃳󰃭١٢𞸕١+𞸕󰃬󰃲 على الترتيب؛ لذلك فالمصفوفة غير ناقصة.

س١٣:

أوجد أساسًا للفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة: 126174449189 من ثم، حدِّد إذا ما كانت المصفوفة ناقصة أو لا.

  • أأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية 0، 13، 17 هي 13231، 71454، 5214131 على الترتيب. إذن المصفوفة ليست ناقصة.
  • بأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية 0، 13، 17 هي 13231، 71454، 5214131 على الترتيب. إذن المصفوفة ليست ناقصة.
  • جأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية 0، 18، 12 هي 13231، 101، 210 على الترتيب. إذن المصفوفة ليست ناقصة.
  • دأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية 0، 4 هي 13791، 11191 على الترتيب. إذن المصفوفة ليست ناقصة.
  • هأساسات الفضاءات الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية 0، 18، 12 هي 13231، 101، 210 على الترتيب. إذن المصفوفة ليست ناقصة.

س١٤:

أوجد أساس الفضاء الذاتي لكل قيمة ذاتية بالمصفوفة:420210226,ثم حدِّد هل المصفوفة ناقصة.

  • أأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيم الذاتية 6، 4+2𝑖، 42𝑖 هي 152321، 1𝑖1، 𝑖11 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • بأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيم الذاتية 6، 4+2𝑖، 42𝑖 هي 152321، 1𝑖1، 1𝑖1 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • جأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيم الذاتية 6، 4+2𝑖، 42𝑖 هي 110، 1𝑖1، 1𝑖1 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • دأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيم الذاتية 6، 4+2𝑖، 42𝑖 هي 001، 1𝑖1، 1𝑖1 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.
  • هأساسات الفضاء الذاتي المرتبطة بالقيم الذاتية 6، 4+2𝑖، 42𝑖 هي 001، 1𝑖1، 1𝑖1 على الترتيب؛ لذلك، فالمصفوفة غير ناقصة.

س١٥:

افترِض أن المصفوفة 𝐴 مصفوفة على النظم 𝑚×𝑚 كثيرة حدود مميزة 𝑝(𝑥)=𝑥(2𝑥)(4𝑥)(7𝑥). هل تُعدُّ المصفوفة 𝐴 مصفوفة قطرية؟ لماذا تُعدُّ كذلك، أو لا تُعدُّ كذلك؟

  • ألا؛ لأن المصفوفة 𝐴 منفردة.
  • بنعم؛ لأن كل جذور 𝑝(𝑥) حقيقية.
  • جربما، يعتمد ذلك على كون 𝑝(𝑥) ذات درجة تساوي بُعد الفضاء.
  • دربما، يعتمد ذلك على أبعاد الفضاءات الذاتية.
  • هلا؛ لأن 𝑝(𝑥) ذات جذور مُتكرِّرة.

س١٦:

افترض أن 𝐴=012003000.أوجد صيغة جوردان العمودية للمصفوفة 𝐴.

  • أ010001000
  • ب003000000
  • ج981092003
  • د012003000

س١٧:

إذا كانت القيمتان الذاتيتان للمصفوفة غير الناقصة 𝑛×𝑛 على النظم 𝐴 هما 1، 1، فأوجد 𝐴.

  • أ𝐴=12𝐼
  • ب𝐴=𝐼12
  • ج𝐴=𝐼
  • د𝐴=12𝐼
  • ه𝐴=𝐼

س١٨:

أوجد 321120، lim321120.

  • أ2+122+2212+122+1، 2211
  • ب212222121221، 2211
  • ج10012، 1000
  • د212111+12، 2111
  • ه10012، 1001

س١٩:

هل يمكن لمصفوفة حقيقية على النظم 3×3 فيها قيمة ذاتية غير حقيقية واحدة أن تكون ناقصة؟

  • أنعم
  • بلا

س٢٠:

افترِض أن المصفوفة على النظم 𞸌×𞸌 هي المصفوفة 󰏡 وهي مصفوفة قابلة للاستقطار‎. بِناءً على ذلك، أيُّ الاختيارات الآتية يُعبِّر دائمًا عن قِيَم المصفوفة 󰏡؟

  • أ𞸌 تُمثِّل قِيَمًا ذاتية مختلفة
  • بتكون المتجهات الذاتية المستقلة خطيًّا مساوية تمامًا للقِيَم الذاتية
  • ج𞸌 تُمثِّل متجهات ذاتية مستقلة خطية
  • د𞸌 تُمثِّل القِيَم الذاتية التي لا تساوي صفرًا
  • ه𞸌 تُمثِّل الأعمدة المستقلة خطيًّا

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.