ملف تدريبي: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية لتمثيل المواقف في الحياة الواقعية.

س١:

لدينا جسم كتلته 𝑚 مُعلَّق في زنبرك بثابت زنبرك 𝑘. يُمكِن استخدام المعادلة التفاضلية 𝑚𝑦𝑡=𝑘𝑦dd؛ حيث 𝑦 الإزاحة الرأسية، لتمثيل ديناميكا هذا النظام. مع ذلك، تُشِير هذه المعادلة التفاضلية إلى أن الجسم فَوْرَ أن يبدأ في الحركة، يتذبذب للأبد. هناك نموذج أفضل يُراعي تأثيرات قوى الاحتكاك. إذا جمعنا القوة الاحتكاكية المُناسِبة وسرعة الجسم، نحصل على المعادلة التفاضلية الآتية: 𝑚𝑦𝑡=𝑘𝑦𝑠𝑦𝑡,dddd حيث 𝑠>0.

بافتراض أن 𝑤=𝑘𝑚، 2𝑏=𝑠𝑚، توجد ثلاثة سلوكات مُمكِنة لحل هذه المعادلة التي يُمكِن تعريفها بدلالة 𝑏، 𝑤 كالآتي: تتضاءل تمامًا عند 𝑏>𝑤، وتتضاءل بشدة عند 𝑏=𝑤، وتكون ناقصة التضاؤل أو تذبذبية عند 𝑏<𝑤. أيُّ حل من الحلول الآتية يُمكِن استخدامه لوصف أحد هذه السلوكات؟

  1. 𝑦=(𝑐+𝑐𝑡)𝑒
  2. 𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒؛ حيث 𝜆=𝑏+𝑏𝑤، 𝜇=𝑏𝑏𝑤
  3. 𝑦=𝑐𝑒(𝛽𝑡+𝛾)sin؛ حيث 𝛽=𝑤𝑏
  • أب
  • بأ
  • جكلُّ حل يَصِف سلوكًا مختلفًا
  • دج

س٢:

نحصل على معادلة شرودينجر المعتمدة على الزمن في بُعد واحد من العلاقة:dd𝜓𝑥=2𝑚[𝑈(𝑥)𝐸]𝜓,

؛ حيث 𝜓 دالة موجية تصف الإزاحة 𝑥 لجسم واحد كتلته 𝑚، وطاقته الكلية 𝐸، وطاقته الكامنة 𝑈، ثابت معلوم. إذا كان 𝑈(𝑥)=0 بالنسبة إلى نموذج الجسيم في صندوق؛ حيث 0𝑥𝑎، تصبح هذه المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية:𝜓=𝛼𝜓,𝛼=2𝑚𝐸.؛

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية.

  • أ𝑦=(𝑐+𝑐)𝑒
  • ب𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒
  • ج𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒
  • د𝑦=(𝑐+𝑐)𝑒

س٣:

افترِض أن الكتلة 𝑚 تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبرك 𝑘. المعادلة التفاضلية التالية من الدرجة الثانية تَصِف الإزاحة الرأسية 𝑦 لنظام كتلة الزنبرك: 𝑚𝑦𝑥=𝑘𝑦.dd تتجاهل المعادلة التفاضلية تأثير مقاومة الهواء أو قوى الاحتكاك. أوجد الحل العام الذي يَصِف الإزاحة الرأسية لذلك الزنبرك في صورة دالة في الزمن 𝑡.

  • أ𝑦=𝑐𝑡𝜔+𝑐𝑡𝜔sincos، 𝜔=𝑘𝑚
  • ب𝑦=𝑐𝑡𝜔+𝑐𝑡𝜔sincos، 𝜔=𝑘𝑚
  • ج𝑦=𝑐(𝜔𝑡)+𝑐(𝜔𝑡)sincos، 𝜔=𝑘𝑚
  • د𝑦=𝑐(𝜔𝑡)+𝑐(𝜔𝑡)sincos، 𝜔=𝑘𝑚

س٤:

لدينا الكتلة 𝑚 تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبركي 𝑘. تَصِف المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية التالية الإزاحة الرأسية 𝑦 لنظام كتلة هذا الزنبرك: 𝑚𝑦𝑥=𝑘𝑦.dd

تدل هذه المعادلة التفاضلية على أن الكتلة 𝑚 فَوْرَ ابتدائها، تتذبذب لأعلى ولأسفل دائمًا. تُهمِل هذه المعادلة التفاضلية تأثير قوة الاحتكاك. افترِض أن هناك قوة إرجاع تتناسب مع سرعة الحركة؛ حيث يتم التعامل مع 𝑠 باعتباره ثابت التناسب (𝑠>0). أصبحت الآن المعادلة التفاضلية المذكورة سابقًا كالآتي: 𝑚𝑦𝑥=𝑘𝑦𝑠𝑦𝑥dddd

افترِض أن 𝜔=𝑘𝑚، 2𝑏=𝑠𝑚؛ حيث 𝑏>0.

يوجد ثلاثة أنواع مُمكِنة من الحلول التي تعتمد على الحجم النسبي لكلٍّ من 𝑏، 𝜔:

تخامد فوق الحد إذا كان 𝑏>𝜔.

تخامد حرج إذا كان 𝑏=𝜔.

تخامد تحت الحد أو متذبذب إذا كان 𝑏<𝜔.

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية، التي تَصِف الإزاحة الرأسية لهذا الزنبرك في صورة دالة في الزمن 𝑡 للحركة ذات «التخامد فوق الحد».

  • أ𝑦=𝑐𝑡𝑒+𝑐𝑒، 𝜆=𝑏+𝑏𝜔، 𝜇=𝑏𝑏𝜔
  • ب𝑦=𝑐𝑡𝑒+𝑐𝑒، 𝜆=𝑏+𝑏𝜔، 𝜇=𝑏𝑏𝜔
  • ج𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒، 𝜆=𝑏+𝑏𝜔، 𝜇=𝑏𝑏𝜔
  • د𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒، 𝜆=𝑏+𝑏𝜔، 𝜇=𝑏𝑏𝜔

س٥:

لدينا كتلة 𝑚 تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبركي 𝑘. المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية 𝑚𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑘𝑦 تَصِف الإزاحة الرأسية 𝑦 لنظام كتلة هذا الزنبرك.

تتضمَّن مثل هذه المعادلة التفاضلية أن الكتلة 𝑚 بمجرد ابتدائها، ستتذبذب لأعلى ولأسفل إلى الأبد. تُهمِل هذه المعادلة التفاضلية تأثير قوى الاحتكاك. افترِض وجود قوة مُتأخِّرة مُتناسِبة مع سرعة الحركة؛ حيث 𝑠 ثابت تناسب (𝑠>0). أصبحت الآن المعادلة التفاضلية المذكورة سابقًا كالآتي: 𝑚𝑑𝑦𝑑𝑡=𝑘𝑦𝑠𝑦𝑡.dd

افترِض أن 𝜔=𝑘𝑚، 2𝑏=𝑠𝑚؛ حيث 𝑏>0.

يوجد ثلاثة أنواع مُمكِنة من الحلول التي تعتمد على الحجم النسبي لكلٍّ من 𝑏، 𝜔:

إخماد زائد إذا كان 𝑏>𝜔.

إخماد حرج إذا كان 𝑏=𝜔.

إخماد ناقص أو متذبذب إذا كان 𝑏<𝜔.

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية، التي تَصِف الإزاحة الرأسية لهذا الزنبرك باعتبارها دالة في الزمن 𝑡 للحركة ذات «الإخماد الحرج».

  • أ𝑦=(𝑐+𝑐𝑡)𝑒
  • ب𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒
  • ج𝑦=(𝑐+𝑐)𝑒
  • د𝑦=𝑐𝑒+𝑐𝑒

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.