ملف تدريبي: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية لتمثيل المواقف في الحياة الواقعية.

س١:

نحصل على معادلة شرودينجر المعتمدة على الزمن في بُعد واحد من العلاقة:𞸃𝜓𞸃𞸎=٢𞸊󰁖𞹑(𞸎)𞸈󰁕𝜓،٢٢

؛ حيث 𝜓 دالة موجية تصف الإزاحة 𞸎 لجسم واحد كتلته 𞸊، وطاقته الكلية 𞸈، وطاقته الكامنة 𞹑، ثابت معلوم. إذا كان 𞹑(𞸎)=٠ بالنسبة إلى نموذج الجسيم في صندوق؛ حيث ٠𞸎󰏡، تصبح هذه المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية:𝜓=𝛼𝜓،𝛼=٢𞸊𞸈.٢٢٢؛

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية.

  • أ 𞸑 = 󰁓 𞸖 + 𞸖 󰁒 𞸤 ١ ٢ 𝛼 𞸎
  • ب 𞸑 = 𞸖 𞸤 + 𞸖 𞸤 ١ 𝛼 𞸎 ٢ 𝛼 𞸎
  • ج 𞸑 = 𞸖 𞸤 + 𞸖 𞸤 ١ ٢ 𝛼 𞸎 𝛼 𞸎
  • د 𞸑 = 󰁓 𞸖 + 𞸖 󰁒 𞸤 ١ ٢ 𝛼 𞸎

س٢:

افترِض أن الكتلة 𞸊 تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبرك 𞸖. المعادلة التفاضلية التالية من الدرجة الثانية تَصِف الإزاحة الرأسية 𞸑 لنظام كتلة الزنبرك: 𞸊𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸖𞸑.٢٢ تتجاهل المعادلة التفاضلية تأثير مقاومة الهواء أو قوى الاحتكاك. أوجد الحل العام الذي يَصِف الإزاحة الرأسية لذلك الزنبرك في صورة دالة في الزمن 𞸍.

  • أ 𞸑 = 𞸢 ( 𝜔 𞸍 ) + 𞸢 ( 𝜔 𞸍 ) ١ ٢ ٢ ٢ ، 𝜔 = 𞸖 𞸊 ٢
  • ب 𞸑 = 𞸢 󰂔 𞸍 𝜔 󰂓 + 𞸢 󰂔 𞸍 𝜔 󰂓 ١ ٢ ، 𝜔 = 𞸖 𞸊 ٢
  • ج 𞸑 = 𞸢 ( 𝜔 𞸍 ) + 𞸢 ( 𝜔 𞸍 ) ١ ٢ ، 𝜔 = 𞸖 𞸊 ٢
  • د 𞸑 = 𞸢 󰂔 𞸍 𝜔 󰂓 + 𞸢 󰂔 𞸍 𝜔 󰂓 ١ ٢ ٢ ٢ ، 𝜔 = 𞸖 𞸊 ٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.