ملف تدريبي: استخدام المشتقات في مسائل الحل الأمثل

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام المشتقات التي تحدِّد موقع القيم العظمى والصغرى للتحديد الأمثل للكميات في النماذج.

س١:

أوجد العددين اللذين مجموعهما ٩٦ وحاصل ضربهما أكبر ما يُمكِن.

  • أ٤٨، ٤٨
  • ب ٨ ٤ ، ١٤٤
  • ج١٩٢، ٦٩
  • د ٢ ٩ ١ ، ٢٨٨

س٢:

أوجد العددين اللذين مجموعهما ١٥٦ ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة.

  • أ٧٨، ٧٨
  • ب ٤ ٤ ٣ ، ٥٠٠
  • ج١٤٨، ٨
  • د ٢ ٥ ٤ ، ٦٠٨

س٣:

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٤٢𝜋 سم٢؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

  • أ ٤ 𝜋 سم٣
  • ب ٨ 𝜋 سم٣
  • ج ١٦ سم٣
  • د ٦ ١ 𝜋 سم٣

س٤:

مجموع أضلاع متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل يساوي ١٢ سم. أوجد الأبعاد التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.

  • أ ٤ سم، ٢ سم، ٦ سم.
  • ب ١ سم، ٢ سم، ٢ سم.
  • ج ٢ سم، ٢ سم، ٢ سم.
  • د ١ سم، ١ سم، ١ سم.

س٥:

أراد مزارع تحديد قطعة مستطيلة الشكل من أرضه محاطة من جهة واحدة بحائط موجود سلفًا. أوجد لأقرب جزء من ألف أقصى مساحة يمكن أن يحصل عليها إذا كان معه سياج طوله ٧٧١ًا ليحيط به الجوانب الثلاثة الأخرى.

س٦:

إذا عُلم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة 󰎨(𞸍)=٠٠٠٧𞸍𞸍+٩٤+٠٠٠٤٢؛ حيث الزمن مقيس بالساعات، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

س٧:

نافذة على شكل نصف دائرة تعلو مستطيلًا؛ حيث قطر نصف الدائرة يساوي عرض المستطيل. إذا كان محيط النافذة ٣٠ م، فأوجد نصف قطر نصف الدائرة التي تجعل مساحة النافذة أكبر ما يمكن.

  • أ ٠ ٣ ٤ + 𝜋 م
  • ب ٠ ٣ ٢ + 𝜋 م
  • ج ٢ + 𝜋 𝜋 م
  • د ١ ٤ + 𝜋 م
  • ه ٤ + 𝜋 ٠ ٣ م

س٨:

أوجد النقطة التي تقع على المنحنى 𞸑=٢𞸎+١٢٢ وتعتبر الأقرب من النقطة (٦،٠).

  • أ 󰂔 ٤ ، 󰋴 ٣ ١ 󰂓 ، 󰂔 ٤ ، 󰋴 ٣ ١ 󰂓
  • ب 󰂔 ٥ ، 󰋴 ١ ٣ 󰂓 ، 󰂔 ٥ ، 󰋴 ١ ٣ 󰂓
  • ج 󰂔 ٧ ، 󰋴 ٥ ٣ 󰂓 ، 󰂔 ٧ ، 󰋴 ٥ ٣ 󰂓
  • د 󰂔 ٧ ، 󰋴 ٧ 󰂓 ، 󰂔 ٧ ، 󰋴 ٧ 󰂓

س٩:

قطعة من الورق المقوَّى على شكل مستطيل بُعداه ١٠ سم و١٦ سم. إذا قُطِّع من زواياه الأربع مربعات متطابقة طول ضلع كلٍّ منها 𞸎 سم، وطُويت الأجزاء البارزة لأعلى لتشكِّل صندوقًا بلا غطاء، فاحسب أبعاد الصندوق المتكوِّن إذا كان حجمه أكبر ما يمكن.

  • أ ٦ سم، ٢ سم، ٤ سم
  • ب ٦ سم، ٤ سم، ١٠ سم
  • ج ٢ سم، ٦ سم، ١٢ سم
  • د ٢ سم، ٨ سم، ١٤ سم

س١٠:

أوجد أبعاد سياج مستطيل الشكل بأكبر مساحة ممكنة، إذا كان الطول الكلي للسياج ٢٠٠ قدم.

  • أ ٥ ٢ × ٥ ٢ ً ً
  • ب ٠ ٠ ٤ × ٠ ٠ ٤ م م
  • ج ٠ ٠ ٢ × ٠ ٠ ٢ م م
  • د ٠ ٠ ١ × ٠ ٠ ١ م م
  • ه ٠ ٥ × ٠ ٥ ً ً

س١١:

قُسِّمت حظيرة إلى ثلاثة أقسام متطابقة الأبعاد. إذا استُخدِم سياج طوله ٥٠٠ قدم لبناء الحظيرة وصُمِّمَت لتكون ذات أكبر مساحة مُمكِنة، فأوجد أبعاد هذه الحظيرة.

  • أالطول = ١٢٥ قدمًا، والعرض = ١٢٥ قدمًا
  • بالطول = ٦٢٫٥ قدمًا، والعرض = ٤١٫٧ قدمًا
  • جالطول = ٦٢٫٥ قدمًا، والعرض = ٦٢٫٥ قدمًا
  • دالطول = ١٢٥ قدمًا، والعرض = ٦٢٫٥ قدمًا
  • هالطول = ٦٢٫٥ قدمًا، والعرض = ٥٠ قدمًا

س١٢:

مساحة قطاع دائري تساوي ١٦ سم٢. أوجد طول نصف قطر القطاع الدائري 𞸓 الذي يجعل محيطه أقل ما يمكن، ثم أوجد قياس الزاوية 𝜃 بالتقدير الدائري.

  • أ 𞸓 = ٤ ، 𝜃 = 󰂔 ١ ٦ ١ 󰂓 ر ا د ن
  • ب 𞸓 = ٨ ، 𝜃 = 󰂔 ١ ٢ 󰂓 ر ا د ن
  • ج 𞸓 = ٤ ، 𝜃 = ٢ ر ا د ن
  • د 𞸓 = ٤ ، 𝜃 = 󰂔 ١ ٢ 󰂓 ر ا د ن
  • ه 𞸓 = ٦ ١ ، 𝜃 = 󰂔 ١ ٨ 󰂓 ر ا د ن

س١٣:

يُراد بناء صومعة حبوب أسطوانية الشكل رأسية ذات سقف نصف كروي تتسع لتخزين ٤٨٣𝜋 م٣ من الحبوب. إذا كانت تكلفة طلاء القبة تساوي ثلاثة أمثال تكلفة طلاء الجدار الجانبي، فما أبعاد الصومعة التي تجعل التكلفة أقل؟

  • أ ا م = ٨ ، وارعم=٤٢
  • ب ا م = ٥ ، وارعم=٨
  • ج ا م = ٤ ، وارعم=٤٢
  • د ا م = ٣ ، وارعم=٠٣
  • ه ا م = ٦ ، وارعم=٦٣

س١٤:

ما أكبر مساحة لمثلث متساوي الساقين مُحاط بدائرة نصف قطرها ٤٧ سم بالتقريب لأقرب جزء من مائة؟

س١٥:

إذا كان مجموع مساحتَي سطحَي كرة وأسطوانة دائرية قائمة هو ٠٠٠١𝜋 سم٢، وكان نصفا قطرَيْهما متساويين، فأوجد نصف قطر الكرة الذي يجعل لمجموع حجمَيْهما أكبر قيمة.

س١٦:

أُطلق صاروخ في الهواء. ارتفاع الصاروخ بالمتر يُعبَّر عنه بدالة في الزمن تُعطى بالعلاقة 𞸓(𞸍)=٩٫٤𞸍+٩٢٢𞸍+٤٣٢٢. أوجد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الصاروخ.

س١٧:

بالنسبة لجسم مستطيل حجمه ١‎ ‎٠٠٠ متر مكعب، أوجد الأبعاد التي ستُقلِّل المساحة.

  • أالعرض = ٢٥ سم، والارتفاع = ٥ سم، والعمق = ٨ سم
  • بالعرض = ٥ سم، والارتفاع = ٨ سم، والعمق = ٢٥ سم
  • جالعرض = ٥ سم، والارتفاع = ١٠ سم، والعمق = ٢٠ سم
  • دالعرض = ١٠ سم، والارتفاع = ١٠ سم، والعمق = ١٠ سم
  • هالعرض = ٢٠ سم، والارتفاع = ١٠ سم، والعمق = ٥ سم

س١٨:

يستند سُلَّم على مبنى ويمس قمة سياج. إذا كان ارتفاع السياج ٦ م ويبعد عن المبنى ٦٫٢٥ م، فما أقل طول للسلم يمكن بواسطته الصعود من الأرض إلى سطح البيت، لأقرب جزء من ألف؟

س١٩:

وجدت إحدى المزارعات أنها إذا زرعت ٧٥ شجرة لكل فدان، فإن كل شجرة تُنتج ٢٠ بوشل من الفاكهة. قدَّرت أنه إذا زُرعت شجرة إضافية لكل فدان، ينخفض إنتاج كل شجرة بمقدار ٣ بوشل. كم شجرةً يجب أن تزرعها لكل فدان لجعل محصولها أكبر ما يمكن؟

  • أ٥٦٠ شجرة لكل فدان
  • ب٨٢ شجرة لكل فدان
  • ج١٢ شجرة لكل فدان
  • د٧٥ شجرة لكل فدان
  • ه٤١ شجرة لكل فدان

س٢٠:

يُبنى صندوق مستطيلي الشكل له قاعدة مربعة، ويجب أن يكون حجمه ٢٠ قدمًا مكعبة. تكلفة مادة القاعدة ٣٠ سنتًا لكل قدم مربعة. تكلفة مادة الجوانب ١٠ سنتات لكل قدم مربعة. تكلفة مادة القمة ٢٠ سنتًا لكل قدم مربعة. أوجد الأبعاد التي تُحقِّق الحد الأدنى من التكلفة.

  • أ قدمان في قدمين في ٥ أقدام
  • ب ٥ أقدام في ٥ أقدام في ٥ أقدام
  • ج قدمان في ٥ أقدام في ٥ أقدام
  • د قدمان في قدمين في ١٠ أقدام
  • ه قدمان في قدمين في قدمين

س٢١:

أسطوانة دائرية قائمة حجمها ٤٠ بوصة مكعبة. يتم تكلفة ٤ سنت/بوصة مربعة لإنشاء قمة الأسطوانة وقاعدتها، ١ سنت/بوصة مربعة لإنشاء الجزء المتبقي من الأسطوانة. أوجد نصف قطرها الذي يحقِّق الحد الأدنى للتكلفة.

س٢٢:

صندوق على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة. إذا كان مجموع أحرفه يساوي ٧٩٢ سم، فاحسب أبعاد الصندوق التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.

  • أ ٦٦ سم، ٦٦ سم، ٦٦ سم
  • ب ٣٣ سم، ٣٣ سم، ١٣٢ سم
  • ج ٩٩ سم، ٩٩ سم، ٦٦ سم
  • د ١٩٨ سم، ١٩٨ سم، ٩٩ سم

س٢٣:

ملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفي دائرتين. إذا كان محيط الملعب ٥٩٤ م، فأوجد أكبر مساحة له.

  • أ ٨ ١ ٤ ٦ ٧ ١ 𝜋 م٢
  • ب ٨٨‎ ‎٢٠٩ م٢
  • ج ١٧٦‎ ‎٤١٨ م٢
  • د ٩ ٠ ٢ ٨ ٨ 𝜋 م٢

س٢٤:

أسطوانة دائرية قائمة بدون غطاء علوي حجمها ٥٠ متر مكعب. ما نصف القطر الذي يجعل مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن؟‎‎

س٢٥:

استُخدم سلك طوله ٤١ سم لعمل مستطيل. ما الأبعاد التي تُعطي أقصى مساحة؟

  • أ ١ ٤ ٥ سم، ٣ ٢ ١ ٠ ١ سم
  • ب ١ ٤ ٣ سم، ١ ٤ ٦ سم
  • ج ١ ٤ ٢ سم، ١ ٤ ٢ سم
  • د ١ ٤ ٣ سم، ٢ ٨ ٣ سم
  • ه ١ ٤ ٤ سم، ١ ٤ ٤ سم

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.