ملف تدريبي: استخدام المشتقات في مسائل الحل الأمثل

إذا عُلم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة ؛ حيث الزمن مقيس بالساعات، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

نافذة على شكل نصف دائرة تعلو مستطيلًا؛ حيث قطر نصف الدائرة يساوي عرض المستطيل. إذا كان محيط النافذة ٣٠ م، فأوجد نصف قطر نصف الدائرة التي تجعل مساحة النافذة أكبر ما يمكن.

أوجد النقطة التي تقع على المنحنى وتعتبر الأقرب من النقطة .

قطعة من الورق المقوَّى على شكل مستطيل بُعداه ١٠ سم و١٦ سم. إذا قُطِّع من زواياه الأربع مربعات متطابقة طول ضلع كلٍّ منها سم، وطُويت الأجزاء البارزة لأعلى لتشكِّل صندوقًا بلا غطاء، فاحسب أبعاد الصندوق المتكوِّن إذا كان حجمه أكبر ما يمكن.

أوجد أبعاد سياج مستطيل الشكل بأكبر مساحة ممكنة، إذا كان الطول الكلي للسياج ٢٠٠ قدم.

قُسِّمت حظيرة إلى ثلاثة أقسام متطابقة الأبعاد. إذا استُخدِم سياج طوله ٥٠٠ قدم لبناء الحظيرة وصُمِّمَت لتكون ذات أكبر مساحة مُمكِنة، فأوجد أبعاد هذه الحظيرة.

مساحة قطاع دائري تساوي ١٦ سم^٢. أوجد طول نصف قطر القطاع الدائري الذي يجعل محيطه أقل ما يمكن، ثم أوجد قياس الزاوية بالتقدير الدائري.

يُراد بناء صومعة حبوب أسطوانية الشكل رأسية ذات سقف نصف كروي تتسع لتخزين م^٣ من الحبوب. إذا كانت تكلفة طلاء القبة تساوي ثلاثة أمثال تكلفة طلاء الجدار الجانبي، فما أبعاد الصومعة التي تجعل التكلفة أقل؟

ما أكبر مساحة لمثلث متساوي الساقين مُحاط بدائرة نصف قطرها ٤٧ سم بالتقريب لأقرب جزء من مائة؟

إذا كان مجموع مساحتَي سطحَي كرة وأسطوانة دائرية قائمة هو سم^٢، وكان نصفا قطرَيْهما متساويين، فأوجد نصف قطر الكرة الذي يجعل لمجموع حجمَيْهما أكبر قيمة.

أُطلق صاروخ في الهواء. ارتفاع الصاروخ بالمتر يُعبَّر عنه بدالة في الزمن تُعطى بالعلاقة . أوجد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الصاروخ.

بالنسبة لجسم مستطيل حجمه ١‎ ‎٠٠٠ متر مكعب، أوجد الأبعاد التي ستُقلِّل المساحة.

يستند سُلَّم على مبنى ويمس قمة سياج. إذا كان ارتفاع السياج ٦ م ويبعد عن المبنى ٦٫٢٥ م، فما أقل طول للسلم يمكن بواسطته الصعود من الأرض إلى سطح البيت، لأقرب جزء من ألف؟

وجدت إحدى المزارعات أنها إذا زرعت ٧٥ شجرة لكل فدان، فإن كل شجرة تُنتج ٢٠ بوشل من الفاكهة. قدَّرت أنه إذا زُرعت شجرة إضافية لكل فدان، ينخفض إنتاج كل شجرة بمقدار ٣ بوشل. كم شجرةً يجب أن تزرعها لكل فدان لجعل محصولها أكبر ما يمكن؟

يُبنى صندوق مستطيلي الشكل له قاعدة مربعة، ويجب أن يكون حجمه ٢٠ قدمًا مكعبة. تكلفة مادة القاعدة ٣٠ سنتًا لكل قدم مربعة. تكلفة مادة الجوانب ١٠ سنتات لكل قدم مربعة. تكلفة مادة القمة ٢٠ سنتًا لكل قدم مربعة. أوجد الأبعاد التي تُحقِّق الحد الأدنى من التكلفة.

أسطوانة دائرية قائمة حجمها ٤٠ بوصة مكعبة. يتم تكلفة ٤ سنت/بوصة مربعة لإنشاء قمة الأسطوانة وقاعدتها، ١ سنت/بوصة مربعة لإنشاء الجزء المتبقي من الأسطوانة. أوجد نصف قطرها الذي يحقِّق الحد الأدنى للتكلفة.

صندوق على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة. إذا كان مجموع أحرفه يساوي ٧٩٢ سم، فاحسب أبعاد الصندوق التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.

ملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفي دائرتين. إذا كان محيط الملعب ٥٩٤ م، فأوجد أكبر مساحة له.

أسطوانة دائرية قائمة بدون غطاء علوي حجمها ٥٠ متر مكعب. ما نصف القطر الذي يجعل مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن؟‎‎

استُخدم سلك طوله ٤١ سم لعمل مستطيل. ما الأبعاد التي تُعطي أقصى مساحة؟