ورقة تدريب الدرس: الحلُّ الأمثل: تطبيقات على القِيَم القصوى الرياضيات

في ورقة التدريب هذه، سوف نتدرَّب على تطبيق المشتقات على مسائل كلامية واقعية لإيجاد القِيَم العظمى والصغرى للدالة تحت شروط معيَّنة.

س١:

أوجد العددين اللذين مجموعهما ٩٦ وحاصل ضربهما أكبر ما يُمكِن.

  • أ٨٤، ١٤٤
  • ب٢٩١، ٢٨٨
  • ج١٩٢، ٦٩
  • د٤٨، ٤٨

س٢:

أوجد العددين اللذين مجموعهما ١٥٦ ومجموع مربعيهما أصغر قيمة ممكنة.

  • أ٢٥٤، ٦٠٨
  • ب٧٨، ٧٨
  • ج٤٤٣، ٥٠٠
  • د١٤٨، ٨

س٣:

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٤٢𝜋 سم٢؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

  • أ٨𝜋 سم٣
  • ب١٦ سم٣
  • ج٤𝜋 سم٣
  • د٦١𝜋 سم٣

س٤:

مجموع أضلاع متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل يساوي ١٢ سم. أوجد الأبعاد التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.

  • أ٢ سم، ٢ سم، ٢ سم.
  • ب١ سم، ١ سم، ١ سم.
  • ج٤ سم، ٢ سم، ٦ سم.
  • د١ سم، ٢ سم، ٢ سم.

س٥:

أراد مزارع تحديد قطعة مستطيلة الشكل من أرضه محاطة من جهة واحدة بحائط موجود سلفًا. أوجد لأقرب جزء من ألف أقصى مساحة يمكن أن يحصل عليها إذا كان معه سياج طوله ٧٧١ًا ليحيط به الجوانب الثلاثة الأخرى.

س٦:

إذا عُلم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة 󰎨(𞸍)=٠٠٠٧𞸍𞸍+٩٤+٠٠٠٤٢؛ حيث الزمن مقيس بالساعات، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

س٧:

نافذة على شكل نصف دائرة تعلو مستطيلًا؛ حيث قطر نصف الدائرة يساوي عرض المستطيل. إذا كان محيط النافذة ٣٠ م، فأوجد نصف قطر نصف الدائرة التي تجعل مساحة النافذة أكبر ما يمكن.

  • أ٠٣٤+𝜋 م
  • ب٤+𝜋٠٣ م
  • ج٢+𝜋𝜋 م
  • د٠٣٢+𝜋 م
  • ه١٤+𝜋 م

س٨:

أوجد النقطتين اللتين تقعان على المنحنى 𞸑=٢𞸎+١٢٢ وتُعَدَّان الأقرب من النقطة (٦،٠).

  • أ󰂔٥،󰋴١٣󰂓، 󰂔٥،󰋴١٣󰂓
  • ب󰂔٤،󰋴٣١󰂓، 󰂔٤،󰋴٣١󰂓
  • ج󰂔٧،󰋴٧󰂓، 󰂔٧،󰋴٧󰂓
  • د󰂔٧،󰋴٥٣󰂓، 󰂔٧،󰋴٥٣󰂓

س٩:

قطعة من الورق المقوَّى على شكل مستطيل بُعداه ١٠ سم و١٦ سم. إذا قُطِّع من زواياه الأربع مربعات متطابقة طول ضلع كلٍّ منها 𞸎 سم، وطُويت الأجزاء البارزة لأعلى لتشكِّل صندوقًا بلا غطاء، فاحسب أبعاد الصندوق المتكوِّن إذا كان حجمه أكبر ما يمكن.

  • أ٢ سم، ٦ سم، ١٢ سم
  • ب٦ سم، ٤ سم، ١٠ سم
  • ج٦ سم، ٢ سم، ٤ سم
  • د٢ سم، ٨ سم، ١٤ سم

س١٠:

مساحة قطاع دائري تساوي ١٦ سم٢. أوجد نصف القطر ؈ الذي يجعل محيط القطاع الدائري أقل ما يمكن، ثم أوجد قياس الزاوية 𝜃 بالراديان.

  • أ؈=٤، 𝜃=󰂔١٦١󰂓رادن
  • ب؈=٤، 𝜃=٢رادن
  • ج؈=٤، 𝜃=󰂔١٢󰂓رادن
  • د؈=٦١، 𝜃=󰂔١٨󰂓رادن
  • ه؈=٨، 𝜃=󰂔١٢󰂓رادن

س١١:

يُراد بناء صومعة حبوب أسطوانية الشكل رأسية ذات سقف نصف كروي تتسع لتخزين ٤٨٣𝜋 م٣ من الحبوب. إذا كانت تكلفة طلاء القبة تساوي ثلاثة أمثال تكلفة طلاء الجدار الجانبي، فما أبعاد الصومعة التي تجعل التكلفة أقل؟

  • أنصف القطر = ٦ م، و الارتفاع = ٣٦ م
  • بنصف القطر = ٨ م، و الارتفاع = ٢٤ م
  • جنصف القطر = ٥ م، و الارتفاع = ٨ م
  • دنصف القطر = ٤ م، و الارتفاع = ٢٤ م
  • هنصف القطر = ٣ م، و الارتفاع = ٣٠ م

س١٢:

ما أكبر مساحة لمثلث متساوي الساقين مُحاط بدائرة نصف قطرها ٤٧ سم بالتقريب لأقرب جزء من مائة؟

س١٣:

إذا كان مجموع مساحتَي سطحَي كرة وأسطوانة دائرية قائمة يساوي ٠٠٠١𝜋 سم٢، ونصفا قطرَيْهما متساويين، فأوجد نصف قطر الكرة الذي يجعل مجموع حجمَيْهما بأقصى قيمة.

س١٤:

يستند سُلَّم على مبنى ويمس قمة سياج. إذا كان ارتفاع السياج ٦ م ويبعد عن المبنى ٦٫٢٥ م، فما أقل طول للسلم يمكن بواسطته الصعود من الأرض إلى سطح البيت، لأقرب جزء من ألف؟

س١٥:

صندوق على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة. إذا كان مجموع أحرفه يساوي ٧٩٢ سم، فاحسب أبعاد الصندوق التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.

  • أ٩٩ سم، ٩٩ سم، ٦٦ سم
  • ب١٩٨ سم، ١٩٨ سم، ٩٩ سم
  • ج٣٣ سم، ٣٣ سم، ١٣٢ سم
  • د٦٦ سم، ٦٦ سم، ٦٦ سم

س١٦:

ملعب على شكل مستطيل ينتهي بنصفي دائرتين. إذا كان محيط الملعب ٥٩٤ م، فأوجد أكبر مساحة له.

  • أ٩٠٢٨٨𝜋 م٢
  • ب١٧٦‎ ‎٤١٨ م٢
  • ج٨١٤٦٧١𝜋 م٢
  • د٨٨‎ ‎٢٠٩ م٢

س١٧:

استُخدم سلك طوله ٤١ سم لعمل مستطيل. ما الأبعاد التي تُعطي أقصى مساحة له؟

  • أ١٤٢ سم، ١٤٢ سم
  • ب١٤٥ سم، ٣٢١٠١ سم
  • ج١٤٤ سم، ١٤٤ سم
  • د١٤٣ سم، ٢٨٣ سم
  • ه١٤٣ سم، ١٤٦ سم

س١٨:

قُطع مقطع عرضي مستطيل من قطعة خشبية مقطوعة من شجرة أسطوانية الشكل قطرها ٦٧ سم. قيمة مقاومة قطعة الخشب تتناسب مع عرضها ومربع طولها. ما البعدان اللذان يحققان القيمة العظمى للمقاومة؟

  • أ٧٦󰋴٣٣ سم، ٧٦󰋴٦٣ سم
  • ب٧٦٦ سم، ٧٦٦ سم
  • ج٧٦󰋴٣ سم، ٧٦󰋴٦ سم
  • د٧٦󰋴٣٦ سم، ٧٦󰋴٦٦ سم

س١٩:

في الشكل، ما القيمة الصغرى للمقدار 𞸎+٢𞸑، لأقرب ثلاث منازل عشرية؟

س٢٠:

متوازي مستطيلات ارتفاعه يساوي ضِعف عرض قاعدته. إذا كان حجم متوازي المستطيلات ٧‎ ‎٣٧٥، فما الأبعاد التي تُقلِّل مساحة سطحه؟

  • أ١٧٫٦٩، ٣٥٫٣٨، ١١٫٧٨
  • ب١٤٫٠٤، ٢٨٫٠٨، ١٨٫٧١
  • ج٢٢٫٢٨، ٤٤٫٥٦، ٧٫٤٣

س٢١:

صندوق مفتوح من أعلى صُنع بقطْع مربعات متساوية من أركان ورقة مربعة طول ضلعها ١٢ سم، ثم ثُنيت جوانبها. أوجد طول ضلع المربعات المقطوعة بحيث يكون حجم الصندوق أكبر ما يمكن.

س٢٢:

في الشكل، نصف الدائرة متصل بمستطيل. ما أصغر محيط للشكل، إذا كانت المساحة التي يحصرها تساوي ١٠٠؟ قرِّب الإجابة بدقة وبدلالة 𝜋.

  • أ󰋴٢(𝜋+٤)
  • ب٠١󰋴٢(𝜋+٤)
  • ج٠١󰋴𝜋+٢
  • د٠١󰋺٢𝜋+٤
  • ه٠١󰋴٢(𝜋+٨)

س٢٣:

إذا كان طول وتر مثلث قائم الزاوية يساوي ٣٣٫٥ سم، فأوجد طولَيْ ضلعَي الزاوية القائمة لأقرب جزء من ألف عندما تكون مساحة المثلث أكبر ما يُمكِن.

  • أ٢٣٫٦٨٨ سم، ٤١٫٠٢٩ سم
  • ب١٦٫٧٥٠ سم، ١٦٫٧٥٠ سم
  • ج٢٣٫٦٨٨ سم، ٧٫٠٨٩ سم
  • د٢٣٫٦٨٨ سم، ٢٣٫٦٨٨ سم

س٢٤:

في الشكل، إذا كان ٠𞸎٠١، فما أقصى قيمة لـ 𞸎+٢𞸑؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

س٢٥:

رءوس مستطيل تقع جميعها على مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ١٤ سم؛ حيث أحد أضلاع المستطيل يقع على قاعدة المثلث، والرأسان المقابلان لهذا الضلع من المستطيل يقعان على الضلعَيْن الآخَرَيْن للمثلث. ما أكبر مساحة ممكنة لهذا المستطيل؟

  • أ١٩٦ سم٢
  • ب٩٤󰋴٣٢ سم٢
  • ج٤٩ سم٢
  • د٦٩١󰋴٢ سم٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.