ملف تدريبي: الفضاءات الاتجاهية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تعريف الفضاء الاتجاهي، وإعطاء أمثلة عليه، والتصوير هندسيًّا للفضاءات الجزئية الاتجاهية في ح^٢، وح^٣.

س١:

โƒ๓ฐ„ฎ๐žธ’โˆˆ๐žน‡ูคุŒ ๐žธŒ=๓ฐ‚šโƒ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธ”=๓ฐ“๐žธ”ุŒ๐žธ”ุŒ๐žธ”ุŒ๐žธ”๓ฐ’โˆˆ๐žน‡โˆถโƒ๓ฐ„ฎ๐žธ’โ‹…โƒ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธ”=ู ๓ฐ‚™ูกูขูฃูคูค. ู‡ู„ ๐žธŒ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู…ู† ๐žน‡ูคุŸ

  • أู„ุง
  • بู†ุนู…

س٢:

๐‘€=๏ฉโƒ‘๐‘ข=(๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข)โˆˆโ„๐‘ข=๐‘ข=0๏ต๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šช๏Šช๏Šฉ๏Šง:. ู‡ู„ ๐‘€ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู„ู€ โ„๏ŠชุŸ

  • أู†ุนู…
  • بู„ุง

س٣:

ุงูุชุฑุถ ุฃู† ๐žธŒ=๓ฐ‚šโƒ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธ”=๓ฐ“๐žธ”ุŒ๐žธ”ุŒ๐žธ”ุŒ๐žธ”๓ฐ’โˆˆ๐žน‡โˆถ๐žธ”โ‰ฅู ๐žธ“=ูกุŒูขุŒูฃุŒูค๓ฐ‚™ูกูขูฃูคูค๐žธ“๏ปŸ๏ปœ๏ปž. ู‡ู„ ๐žธŒ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู…ู† ๐žน‡ูคุŸ

  • أู„ุง
  • بู†ุนู…

س٤:

ุฃูƒู…ู„ ุงู„ุขุชูŠ: ุงุชุญุงุฏ ู…ุญุงูˆุฑ ุงู„ุฅุญุฏุงุซูŠุงุช ููŠ โ„๏Šจ ู„ูŠุณ ูุถุงุกู‹ ู…ุชุฌู‡ู‹ุง ููŠ โ„ุ› ู„ุฃู†ู‡ .

  • أู„ูŠุณ ู…ุบู„ู‚ู‹ุง ู…ุน ุงู„ุฌู…ุนโ€Ž
  • بู„ูŠุณ ู…ุบู„ู‚ู‹ุง ู…ุน ุงู„ุถุฑุจ
  • جุบูŠุฑ ู…ู†ุชู‡ู
  • دู„ุง ูŠุญุชูˆูŠ ุนู„ู‰ ู…ุชุฌู‡ ุตูุฑูŠ

س٥:

ุงุนุชุจุฑ โƒ‘๐‘คุŒ โƒ‘๐‘ค๏Šง ู…ุชุฌู‡ูŠู† ููŠ โ„๏ŠชุŒ ูˆุงุนุชุจุฑ ๐‘€=๏ฉโƒ‘๐‘ข=(๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข)โˆˆโ„โˆถโƒ‘๐‘คโ‹…โƒ‘๐‘ข=0โƒ‘๐‘คโ‹…โƒ‘๐‘ข=0๏ต๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šช๏Šช๏ŠงุŒ. ู‡ู„ ๐‘€ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู…ู† โ„๏ŠชุŸ

  • أู„ุง
  • بู†ุนู…

س٦:

๐‘€=๏ฉโƒ‘๐‘ข=(๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข)โˆˆโ„โˆถ๐‘ขโ‰ฅ๐‘ข๏ต๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šช๏Šช๏Šฉ๏Šง. ู‡ู„ ๐‘€ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู„ู€ โ„๏ŠชุŸ

  • أู„ุง
  • بู†ุนู…

س٧:

๐‘€=๏ฉโƒ‘๐‘ข=(๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข)โˆˆโ„โˆถโ€–๐‘ขโ€–โ‰ค4๏ต๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šช๏Šช๏Šง. ู‡ู„ ๐‘€ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู…ู† โ„๏ŠชุŸ

  • أู„ุง
  • بู†ุนู…

س٨:

๐‘€=๏ฉโƒ‘๐‘ข=(๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข,๐‘ข)โˆˆโ„โˆถ(๐‘ข)=1๏ต๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šช๏Šช๏Šงsin. ู‡ู„ ๐‘€ ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ู…ู† โ„๏ŠชุŸ

  • أู„ุง
  • بู†ุนู…

س٩:

ุงูุชุฑุถ ุฃู† ๐ถ ูุถุงุก ุงุชุฌุงู‡ูŠ ู„ู„ุฏูˆุงู„ ุงู„ู…ุชุตู„ุฉ ุนู„ู‰ ุงู„ูุชุฑุฉ [0,1]ุŒ ูˆุฃู†: ๐‘†=๏ฏ๐‘“โˆˆ๐ถโˆฃ๏„ธ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘ฅ=0๏ป.๏Šง๏Šฆdู‡ู„ ๐‘† ูุถุงุก ุฌุฒุฆูŠ ุฎุทูŠ ู…ู† ๐ถุŸ

  • أู†ุนู…
  • بู„ุง

ุชุณุชุฎุฏู… ู†ุฌูˆู‰ ู…ู„ูุงุช ุชุนุฑูŠู ุงู„ุงุฑุชุจุงุท ู„ุถู…ุงู† ุญุตูˆู„ูƒ ุนู„ู‰ ุฃูุถู„ ุชุฌุฑุจุฉ ุนู„ู‰ ู…ูˆู‚ุนู†ุง. ู…ุนุฑูุฉ ุงู„ู…ุฒูŠุฏ ุญูˆู„ ุณูŠุงุณุฉ ุงู„ุฎุตูˆุตูŠุฉ ู„ุฏูŠู†ุง.