ملف تدريبي: طول القوس باستخدام التكامل

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام التكامل لإيجاد طول منحنًى.

س١:

باستخدام تعويضة مثلثية، أوجد طول القوس الذي يمثِّل جزءًا من المنحنى‎ 𞸑=󰋴٤𞸎٢، بين 𞸎=٠، 𞸎=𞸊.

  • أ٢(𞸊)١
  • ب٢󰂔𞸊٢󰂓
  • ج٢󰂔𞸊٢󰂓١
  • د󰂔𞸊٢󰂓
  • ه١󰂔𞸊٢󰂓

س٢:

اكتب التكامل اللازم لحساب طول منحنى دالة الجيب بين 𞸎=٠، 𞸎=𝜋. لا تحسب قيمته.

  • أ󰏅󰋷١𞸎𞸃𞸎𝜋٠٢
  • ب󰏅󰋴١+𞸎𞸃𞸎𝜋٠
  • ج󰏅󰋷١𞸎𞸃𞸎𝜋٠٢
  • د󰏅󰋷١+𞸎𞸃𞸎𝜋٠٢
  • ه󰏅󰋷١+𞸎𞸃𞸎𝜋٠٢

س٣:

احسب طول القوس في المنحنى 𞸑=󰋴٤𞸎٢ بين 𞸎=٠، 𞸎=٢، لأقرب خمس منازل عشرية.

  • أ٣٫١٤١٥٩
  • ب١٫٥٧٠٨٠
  • ج٥٫٤٦٤١٠
  • د٣٫٤٦٤١٠
  • ه١٫٤٦٤١٠

س٤:

أوجد الدالة 𞸏(𞸎) التي نحصل منها على طول القوس 𞸑=󰋴𞸎٣ من (٠،٠) إلى 󰂔𞸎،󰋴𞸎󰂓٣.

  • أ𞸏(𞸎)=(٩𞸎+٤)٨٧٢٣٢
  • ب𞸏(𞸎)=(٨١𞸎+٨)٨٧٢٣٢
  • ج𞸏(𞸎)=٤󰂔١+󰂓٩٩٩𞸎٤٣٢
  • د𞸏(𞸎)=٢󰂔١+󰂓٣٣٩𞸎٤٣٢
  • ه𞸏(𞸎)=(٩𞸎+٤)٧٢٣٢

س٥:

افترض أن 󰎨(𞸎)=󰂔𞸎،󰋴٩𞸎󰂓٢ تقع في الفترة [٠،٣]. عندما تكون دالة طول القوس 𞸑(𞸍) هي طول القوس بين 󰎨(٠)، 󰎨(𞸍)، فأوجد إحداثيات النقطة 𞸋 على هذا المنحنى؛ حيث طول القوس من 󰎨(٠) إلى 𞸋 يساوي ١. اكتب الإجابة لأقرب أربع منازل عشرية.

  • أ(٦١٨٩٫٠،٥٦٣٠٫٨)
  • ب(٢٧٢٣٫٠،١٢٨٩٫٢)
  • ج(١،٤٨٢٨٫٢)
  • د(٥٧١٠٫٠،٩٩٩٫٢)
  • ه(٦١٨٩٫٠،٩٤٣٨٫٢)

س٦:

يوضِّح الشكل المنحنى 𞸑=𞸤+𞸤٢𞸎𞸎، والنقطتين المُحدَّدتين 󰏡(١،٣٤٥٫١)، 𞸁(٢،٢٦٧٫٣).

استخدِم القاطع بين 󰏡، 𞸁 للحصول على حدٍّ سُفلي لطول المنحنى بين هاتين النقطتين. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

استخدِم ثلاث نِقاط إضافية عند 𞸎=٥٢٫١،٥٫١،٥٧٫١ للحصول على أفضل تقريب لهذا الطول، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

احسب طول المنحنى بدقة، مقرِّبًا إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

س٧:

يوضِّح الشكل جزءًا من المنحنى 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎٣، والنقاط الملوَّنة 󰏡(٠،٠)، 𞸁، 𞸢، 𞸃.

إذا كان طول القوس من (٠،٠) إلى 󰁓𞸎،󰎨(𞸎)󰁒 يُعطَى بالعلاقة 𞸐(𞸎)=(٩𞸎+٤)٨٧٢٣٢، فأول شيء نحتاج إليه لوضع البارامترات الممثِّلة لطول قوس‎ هو المعكوس 𞸐(𞸎)١. أوجد 𞸓؛ حيث 𞸎=𞸓(𞸐).

  • أ𞸓(𞸐)=(٨١𞸐+٨)٨٧٢٣٢
  • ب𞸓(𞸐)=٤󰂔١+󰂓٩٩٩𞸐٤٣٢
  • ج𞸓(𞸐)=٢󰂔١+󰂓٣٣٩𞸐٤٣٢
  • د𞸓(𞸐)=𞸐٤٩٢٣
  • ه𞸓(𞸐)=(٧٢𞸐+٨)٤٩٢٣

من ثَمَّ، أوجد المعادلات البارامترية بدلالة طول القوس ‎ 𞸎=𞸓(𞸐)، 𞸑=𞹟(𞸐) للمنحنى.

  • أ𞸓(𞸐)=٢󰂔١+󰂓٣٣٩𞸐٤٣٢، 𞸑=󰌁󰌀󰌀󰌀󰌀󰌀󰌂٢󰂔١+󰂓٣٣٩𞸐٤٣٣٢
  • ب𞸓(𞸐)=٤󰂔١+󰂓٩٩٩𞸐٤٣٢، 𞸑=󰌁󰌀󰌀󰌀󰌀󰌀󰌂٤󰂔١+󰂓٩٩٩𞸐٤٣٣٢
  • ج𞸎=𞸐٤٩٢٣، 𞸑=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭𞸐٤٩󰃬٢٣٣
  • د𞸓(𞸐)=(٨١𞸐+٨)٨٧٢٣٢، 𞸑=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭(٨١𞸐+٨)٨٧٢󰃬٣٢٣
  • ه𞸎=(٧٢𞸐+٨)٤٩٢٣، 𞸑=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭(٧٢𞸐+٨)٤٩󰃬٢٣٣

طول القوس بين كل نقطتين من النقاط 󰏡،𞸁،𞸢، 𞸃 يساوي وحدة واحدة. أوجد إحداثيات 𞸢 لأقرب ٣ منازل عشرية.

  • أ(٥٩٢٫١،٤٧٤٫١)
  • ب(٠١٣٫١،٠٠٥٫١)
  • ج(٥٩٢٫١،٠٠٥٫١)
  • د(٦٩٢٫١،٦٧٤٫١)

س٨:

الطول الدقيق للمنحنى 𞸑=𞸤𞸎 بين 𞸎=١، 𞸎=٢ يساوي ٤٫٧٨٥١٥٤ لأقرب ٦ منازل عشرية. قدِّر ذلك باستخدام قاعدة شبه المنحرف؛ حيث 𞸍=٠١ لقيمة التكامل. أوجد الإجابة لأقرب ٦ منازل عشرية.

س٩:

نفِّذ الآتي:

أوجد مشتقة 󰋴𞸤+١٢𞸎.

  • أ٢𞸤󰋴𞸤+١٢𞸎٢𞸎
  • ب𞸤󰋴𞸤+١٢𞸎٢𞸎
  • ج𞸤𞸤+١٢𞸎٢𞸎
  • د٢󰋴𞸤+١٢𞸎
  • ه١󰋴𞸤+١٢𞸎

أوجد مشتقة ز١٢𞸎󰂔󰋴𞸤+١󰂓.

  • أ١󰋴𞸤+١٢𞸎
  • ب١󰋴𞸤+١٢𞸎
  • ج𞸤󰋴𞸤+١٢𞸎٢𞸎
  • د𞸤󰋴𞸤+١٢𞸎٢𞸎
  • ه𞸤󰋴𞸤+١٢𞸎٢𞸎

بِناءً على ذلك، أوجد 󰏅󰋴𞸤+١٢𞸎.

  • أ٢󰋴𞸤+١+󰂔󰋴𞸤+١󰂓+𞸖٢𞸎١٢𞸎ز
  • ب󰋴𞸤+١+󰂔󰋴𞸤+١󰂓+𞸖٢𞸎١٢𞸎ز
  • ج󰋴𞸤+١󰂔󰋴𞸤+١󰂓+𞸖٢𞸎١٢𞸎ز
  • د٢󰋴𞸤+١󰂔󰋴𞸤+١󰂓+𞸖٢𞸎١٢𞸎ز

استخدِم النتيجة السابقة لإيجاد طول قوس المنحنى 𞸑=𞸤𞸎 بين 𞸎=١، 𞸎=٣، لأقرب ٥ منازل عشرية.

س١٠:

أوجد طول القوس 𞸑=𞸎+٢٣٢٣𞸎٦٢ بين 𞸎=١، 𞸎=٣. اكتب إجابتك في صورة كسر.

  • أ١٣٩
  • ب٤٢٢٩
  • ج٣٫٣٨٩
  • د١٦٧١
  • ه١٦٨١

س١١:

احسب طول قوس المنحنى 𞸑=𞸎٢٣+١𞸎٤٢ بين 𞸎=١، 𞸎=٢، معطيًا إجابتك في صورة كسر.

  • أ٩٢٣
  • ب١٥٢٣
  • ج٩٣٢٣
  • د١١١٠٦١
  • ه٣٢٢٣

س١٢:

اكتب، لكن دون إيجاد قيمة، تكاملًا لطول قوس المنحنى 𞸑=󰁓٢𞸎󰁒+٧𞸤٥ بين 𞸎=١، 𞸎=٤.

  • أ󰏅󰋺١+٥٢٤𞸎𞸃𞸎٤١٢
  • ب󰏅󰋺١+٥٢𞸎𞸃𞸎٤١
  • ج󰏅󰋽١+󰃁٥٢𞸎+٧𞸎󰃀𞸃𞸎٤١٢
  • د󰏅󰋺١+٥٢𞸎𞸃𞸎٤١٢
  • ه󰏅󰋺١٥٢٤𞸎𞸃𞸎٤١٢

س١٣:

اكتب ولكن بدون إيجاد قيمة، تكامل طول قوس للمنحنى 𞸎=٣󰂔𞸑٢󰂓 بين 𞸑=٠، 𞸑=𝜋٢.

  • أ󰏅󰋺١+٩٤󰂔𞸑٢󰂓𞸃𞸑𝜋٢٠٢
  • ب󰏅󰋺١+٩٤󰂔𞸑٢󰂓𞸃𞸑𝜋٢٠٤
  • ج󰏅󰋺١+٩٤󰂔𞸑٤󰂓𞸃𞸑𝜋٢٠٢
  • د󰏅󰋺١+٣٢󰂔𞸑٤󰂓𞸃𞸑𝜋٢٠٢
  • ه󰏅󰋺١+٣٢󰂔𞸎٢󰂓𞸃𞸎𝜋٢٠٤

س١٤:

احسب طول القوس للمنحنى 𞸑=٢٩(٣𞸎١)٣٢ بين 𞸎=١٢، 𞸎=٢، معطيًا إجابتك في صورة كسر.

  • أ١١١١٢٣٤
  • ب٩󰋴٦٦
  • ج٣٣٨
  • د٧󰋴٦٦
  • ه٥٤٨

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.