ملف تدريبي: النِّسَب المثلثية على دائرة الوحدة

تحميل

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام حقيقة أن الربع الذي تقع فيه الزاوية يُحدِّد إشارات جيبها، وجيب تمامها، وظلها، وحل المعادلات المثلثية.

س١:

أوجد ﺟﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، ويمر ضلعها النهائي بالنقطة 󰂔٣٥،−٤٥󰂓.

  • أ − ٣ ٥
  • ب − ٤ ٥
  • ج ٣ ٥
  • د ٤ ٥

س٢:

أوجد ﻇﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، ويمر ضلعها النهائي بالنقطة 󰂔−٣٥،−٤٥󰂓.

  • أ − ٣ ٤
  • ب − ٤ ٣
  • ج ٣ ٤
  • د ٤ ٣

س٣:

أوجد ﻗﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، وضلعها النهائي يمر بالنقطة 󰂔٤٥،٣٥󰂓.

  • أ ٤ ٥
  • ب ٥ ٤
  • ج ٥ ٣
  • د ٣ ٥

س٤:

في الشكل، النقطتان 𞸌(𝜃،𝜃)ﺟﺘﺎﺟﺎ، 𞸍 تقعان على دائرة الوحدة، 󰌑󰏡𞸅𞸍=٢𞸎−𝜃.

اكتب قيمة كلٍّ من جيب وجيب تمام وظل ٢𞸎−𝜃 بدلالة قيمها لـ 𝜃. حدِّد إذا ما كان ذلك صالحًا لجميع قيم 𝜃.

  • أ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ ﺟ ﺎ ﻇ ﺎ ﻇ ﺎ ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃
  • ب ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ ﺟ ﺎ ﻇ ﺎ ﻇ ﺎ ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃
  • ج ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ ﺟ ﺎ ﻇ ﺎ ﻇ ﺎ ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃
  • د ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ ﺟ ﺎ ﻇ ﺎ ﻇ ﺎ ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃
  • ه ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ ﺟ ﺎ ﻇ ﺎ ﻇ ﺎ ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃 ، ( ٢ 𞸎 − 𝜃 ) = − 𝜃

س٥:

الضلع النهائي للزاوية 󰌑󰏡𞸅𞸁 التي في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقطة 𞸁 التي إحداثياتها (−٨٫٠،−٦٫٠). أوجد ﻇﺎ󰌑󰏡𞸅𞸁.

  • أ ٢ ٣
  • ب ٣ ٤
  • ج ٤ ٣
  • د − ٦ ٫ ٠
  • ه − ٨ ٫ ٠

س٦:

أوجد ﻇﺘﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في الوضع القياسي وضلعها النهائي يمر بالنقطة 󰂔−٨٧١،٥١٧١󰂓.

  • أ ٨ ٥ ١
  • ب ٥ ١ ٨
  • ج − ٥ ١ ٨
  • د − ٨ ٥ ١

س٧:

أوجد قيمة ﺟﺎ٠٩∘.

س٨:

أوجد قيمة ﻗﺎ٠٨١∘.

س٩:

أوجد قيمة ﻇﺘﺎ٠٨١∘.

  • أ − ١
  • بغير معرَّفة
  • ج٠
  • د١

س١٠:

أوجد قيمة ﻗﺘﺎ٠٩∘.

س١١:

أوجد قيمة ﻇﺎ٠٧٢∘.

  • أ − ١
  • ب١
  • جغير معرَّفة.
  • د٠

س١٢:

أوجد قيمة ﺟﺘﺎ٠.

س١٣:

افترض أن 𞸋 نقطة على دائرة وحدة مناظِرة للزاوية ٤𝜋٣. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة تمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[ لها نفس ظل الزاوية الأولى؟ إذا كانت موجودة، فأوجد الزاوية.

  • ألا
  • بنعم، 𝜋٦
  • جنعم، 𝜋٤
  • دنعم، 𝜋٣
  • هنعم، ١١𝜋٦

س١٤:

افترِض أن 𝐴 نقطة تقع على دائرة وحدة تناظر الزاوية ٣𝜋٢. هل توجد نقطة أخرى على دائرة الوحدة لها نفس الإحداثي 𝑦 مثل 𝐴 وتُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فوضِّح الزاوية.

  • أنعم، 𝜋٢
  • بلا
  • جنعم، 𝜋٦
  • دنعم، 𝜋٣
  • هنعم، 𝜋٤

س١٥:

افترِض أن 𞸋 نقطة على دائرة وحدة تناظر زاوية 𝜋٣. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة تُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[ ولها نفس الإحداثي اﻟﺴﻴﻨﻲ مثل 𞸋؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فأوجد هذه الزاوية.

  • أنعم، −𝜋٦
  • بلا
  • جنعم، ٢𝜋٣
  • دنعم، ٧𝜋٢١
  • هنعم، ٥𝜋٣

س١٦:

افترِض أن 𞸌 نقطة على دائرة وحدة تناظر الزاوية 𝜋. هل هناك نقطة أخرى لدائرة الوحدة تُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[، ويكون لها نفس الإحداثي 𞸎 للنقطة 𞸌؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فأوجد الزاوية.

  • أنعم، 𝜋٣
  • بنعم، 𝜋٢
  • جنعم، 𝜋٦
  • دنعم، 𝜋٤
  • هلا

س١٧:

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ٣𝜋٤ بالقياس الدائري، مع الاتجاه الموجب لمحور 𞸎 في الوضع القياسي في دائرة الوحدة.

  • أ 𞸑 = − 𞸎
  • ب 𞸑 = 𞸎
  • ج 𞸑 = 󰋴 ٣ 𞸎 ٣
  • د 𞸑 = − 󰋴 ٣ 𞸎 ٣

س١٨:

افترِض أن 𞸍 نقطة على دائرة وحدة تناظر الزاوية ٥𝜋٦. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة لها نفس الإحداثي 𞸑 للنقطة 𞸍 وتُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فأوجد الزاوية.

  • أنعم، 𝜋٦
  • بنعم، 𝜋٣
  • جنعم، ٧𝜋٦
  • دلا
  • هنعم، 𝜋٤

س١٩:

الضلع النهائي لـ 󰌑󰏡𞸅𞸁 في وضع قياسي يقطع دائرة الوحدة 𞸅 عند النقطة 𞸁 التي إحداثياتها 󰃭٣󰋴٠١،𞸑󰃬؛ حيث 𞸑>٠. أوجد قيمة ﺟﺎ(󰏡𞸅𞸁).

  • أ ٣ 󰋴 ٠ ١
  • ب ١ 󰋴 ٠ ١
  • ج ١ ٠ ١
  • د ١ ٣

س٢٠:

الضلع النهائي لـ 󰌑𝜃 يقطع دائرة الوحدة عند النقطة 󰂔٨٧١،𞸑󰂓؛ حيث 𞸑>٠. أوجد قيمة 󰌑𝜃 لأقرب ثانية وقيمة 𞸑 في صورة كسر.

  • أ 𞹟 󰌑 𝜃 = ٩ ٣ ′ ′ ٥ ٥ ′ ١ ٦ ∘ ، 𞸑 = − ٥ ١ ٧ ١
  • ب 𞹟 󰌑 𝜃 = ٩ ٣ ′ ′ ٥ ٥ ′ ١ ٤ ٢ ∘ ، 𞸑 = ٥ ١ ٧ ١
  • ج 𞹟 󰌑 𝜃 = ٦ ٥ ′ ′ ٥ ٥ ′ ٨ ٢ ١ ∘ ، 𞸑 = ٨ ٥ ١
  • د 𞹟 󰌑 𝜃 = ٩ ٣ ′ ′ ٥ ٥ ′ ١ ٦ ∘ ، 𞸑 = ٥ ١ ٧ ١

س٢١:

الضلع النهائي للزاوية 𝜃 في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة 𞸁 التي إحداثياتها 󰂔−٤٥،−٣٥󰂓. أوجد قيمة 𝜃 لأقرب ثانية.

  • أ ٢ ١ ′ ′ ٢ ٥ ′ ٦ ١ ٢ ∘
  • ب ٢ ١ ′ ′ ٢ ٥ ′ ٦ ٣ ∘
  • ج ٨ ٤ ′ ′ ٧ ′ ٣ ٢ ٣ ∘
  • د ٨ ٤ ′ ′ ٧ ′ ٣ ٤ ١ ∘

س٢٢:

في الشكل الموضَّح، تقع النقطة 𞸅 على دائرة الوحدة، وتقع 𝜃 في الفترة 󰂖٠،𝜋٢󰂗.

من خلال المثلث القائم الزاوية 𞸌𞸅𞸎، ما النسبة التي ينتُج عنها ﻇﺎ𝜃؟

  • أ ١ 𞸎 𞸅
  • ب ١ 𞸌 𞸎
  • ج 𞸌 𞸎 𞸎 𞸅
  • د 𞸎 𞸅 𞸌 𞸎
  • ه 𞸎 𞸅 𞸌 𞸎

ما الصحيح فيما يلي بشأن المثلثين 𞸌𞸅𞸎، 𞸌𞸍󰏡؟

  • أمتساويا الساقين.
  • بمختلفا الأضلاع.
  • جمتطابقان.
  • دمتشابهان.
  • همتساويا الأضلاع.

ما معامل قياس △𞸌𞸅𞸎 بالنسبة إلى △𞸌𞸍󰏡؟

  • أ ﺟ ﺎ 𝜃
  • ب ﺟ ﺘ ﺎ 𝜃
  • ج ١ 𝜃 ﻇ ﺎ
  • د ١ 𝜃 ﺟ ﺘ ﺎ
  • ه ١ 𝜃 ﺟ ﺎ

استخدم الإجابات على الأجزاء السابقة لإيجاد طول 󰏡𞸍 بدلالة ﺟﺎ𝜃، ﺟﺘﺎ𝜃.

  • أ ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ 𝜃 𝜃
  • ب ﺟ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ 𝜃 𝜃
  • ج ١ 𝜃 ﺟ ﺘ ﺎ
  • د ١ 𝜃 ﻇ ﺎ
  • ه ﺟ ﺘ ﺎ 𝜃

س٢٣:

لدينا طاحونة هواء طول شفراتها ١ م. نحصل على الموضع العلوي 𞸌 للشفرة المُعطاة من إحداثياتها (󰏡،𞸁) التي تعتمد على الزاوية 𝜃 كما هو موضَّح.

عبِّر عن 󰏡، 𞸁 في صورة دالتين لقياس الزاوية 𝜃 بالقياس الدائري.

  • أ 󰏡 = 𝜃 ، 𞸁 = 𝜃 ﺟ ﺎ ﺟ ﺘ ﺎ
  • ب 󰏡 = 𝜃 ، 𞸁 = 𝜃 ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ
  • ج 󰏡 = − 𝜃 ، 𞸁 = − 𝜃 ﺟ ﺘ ﺎ ﺟ ﺎ
  • د 󰏡 = 𝜃 ، 𞸁 = 𝜃 ﺟ ﺘ ﺎ ﻇ ﺎ
  • ه 󰏡 = 𝜃 ، 𞸁 = 𝜃 ﻇ ﺎ ﺟ ﺎ

إذا كانت الزاوية 𝜃 عند زمن مُعيَّن تساوي ٥𝜋٣، فماذا تساوي بعد إكمال الشفرة للدوران نصف دورة؟

  • أ ٣ 𝜋 ٨
  • ب ٥ 𝜋 ٣
  • ج ٣ 𝜋 ٥
  • د ٤ 𝜋 ٣
  • ه ٨ 𝜋 ٣

س٢٤:

في الشكل الموضَّح، تقع النقطة 𞸌 على دائرة الوحدة وتقع 𝜃 في الفترة 󰂖𝜋٢،𝜋󰂗.

هل ﻇﺎ𝜃 موجب أم سالب؟

  • أموجب
  • بسالب

أيٌّ من التالي صحيح عن المثلثات 𞸅𞹎𞸌،𞸅󰏡𞸍، 𞸅𞸢󰏡؟

  • أجميعها متشابهة.
  • بجميعها متساوية الساقين.
  • ججميعها متساوية الأضلاع.
  • دجميعها متطابقة.
  • هجميها مختلفة الأضلاع.

س٢٥:

يتقاطع الضلع النهائي للزاوية 𝜃 مع دائرة الوحدة في وضعها القياسي عند النقطة (٢󰏡،٣󰏡)؛ حيث ٠<𝜃<𝜋٢. أوجد قيمة 󰏡.

  • أ 󰋴 ٥
  • ب ١ 󰋴 ٥
  • ج ١ 󰋴 ٣ ١
  • د 󰋴 ٣ ١
  • ه ١ ٣ ١

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.