ملف تدريبي: النِّسَب المثلثية على دائرة الوحدة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام حقيقة أن الربع الذي تقع فيه الزاوية يُحدِّد إشارات جيبها، وجيب تمامها، وظلها، وحل المعادلات المثلثية.

س١:

أوجد ﺟﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، ويمر ضلعها النهائي بالنقطة 󰂔٣٥،−٤٥󰂓.

  • أ٤٥
  • ب٣٥
  • ج−٣٥
  • د−٤٥

س٢:

أوجد ﻇﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، ويمر ضلعها النهائي بالنقطة 󰂔−٣٥،−٤٥󰂓.

  • أ−٣٤
  • ب−٤٣
  • ج٣٤
  • د٤٣

س٣:

أوجد ﻗﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، وضلعها النهائي يمر بالنقطة 󰂔٤٥،٣٥󰂓.

  • أ٥٣
  • ب٥٤
  • ج٤٥
  • د٣٥

س٤:

في الشكل، النقطتان 𞸌(𝜃،𝜃)ﺟﺘﺎﺟﺎ، 𞸍 تقعان على دائرة الوحدة، 󰌑󰏡𞸅𞸍=٢𞸎−𝜃.

اكتب قيمة كلٍّ من جيب وجيب تمام وظل ٢𞸎−𝜃 بدلالة قيمها لـ 𝜃. حدِّد إذا ما كان ذلك صالحًا لجميع قيم 𝜃.

  • أﺟﺘﺎﺟﺘﺎﺟﺎﺟﺎﻇﺎﻇﺎ(٢𞸎−𝜃)=−𝜃،(٢𞸎−𝜃)=−𝜃،(٢𞸎−𝜃)=−𝜃
  • بﺟﺘﺎﺟﺘﺎﺟﺎﺟﺎﻇﺎﻇﺎ(٢𞸎−𝜃)=𝜃،(٢𞸎−𝜃)=−𝜃،(٢𞸎−𝜃)=−𝜃
  • جﺟﺘﺎﺟﺘﺎﺟﺎﺟﺎﻇﺎﻇﺎ(٢𞸎−𝜃)=𝜃،(٢𞸎−𝜃)=−𝜃،(٢𞸎−𝜃)=𝜃
  • دﺟﺘﺎﺟﺘﺎﺟﺎﺟﺎﻇﺎﻇﺎ(٢𞸎−𝜃)=𝜃،(٢𞸎−𝜃)=𝜃،(٢𞸎−𝜃)=−𝜃
  • هﺟﺘﺎﺟﺘﺎﺟﺎﺟﺎﻇﺎﻇﺎ(٢𞸎−𝜃)=−𝜃،(٢𞸎−𝜃)=𝜃،(٢𞸎−𝜃)=𝜃

س٥:

الضلع النهائي للزاوية 󰌑󰏡𞸅𞸁 التي في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقطة 𞸁 التي إحداثياتها (−٨٫٠،−٦٫٠). أوجد ﻇﺎ󰌑󰏡𞸅𞸁.

  • أ٣٤
  • ب−٦٫٠
  • ج−٨٫٠
  • د٢٣
  • ه٤٣

س٦:

أوجد ﻇﺘﺎ𝜃، علمًا بأن 𝜃 في الوضع القياسي وضلعها النهائي يمر بالنقطة 󰂔−٨٧١،٥١٧١󰂓.

  • أ−٥١٨
  • ب−٨٥١
  • ج٨٥١
  • د٥١٨

س٧:

أوجد قيمة ﺟﺎ٠٩∘.

س٨:

أوجد قيمة ﻗﺎ٠٨١∘.

س٩:

أوجد قيمة ﻇﺘﺎ٠٨١∘.

  • أ١
  • ب−١
  • ج٠
  • دغير معرَّفة

س١٠:

أوجد قيمة ﻗﺘﺎ٠٩∘.

س١١:

أوجد قيمة ﻇﺎ٠٧٢∘.

  • أ٠
  • ب١
  • ج−١
  • دغير معرَّفة.

س١٢:

أوجد قيمة ﺟﺘﺎ٠.

س١٣:

افترض أن 𞸋 نقطة على دائرة وحدة مناظِرة للزاوية ٤𝜋٣. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة تمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[ لها نفس ظل الزاوية الأولى؟ إذا كانت موجودة، فأوجد الزاوية.

  • أنعم، ١١𝜋٦
  • بلا
  • جنعم، 𝜋٤
  • دنعم، 𝜋٣
  • هنعم، 𝜋٦

س١٤:

افترِض أن 󰏡 نقطة تقع على دائرة وحدة تناظر الزاوية ٣𝜋٢. هل توجد نقطة أخرى على دائرة الوحدة لها نفس الإحداثي 𞸑 مثل 󰏡 وتُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فوضِّح الزاوية.

  • أنعم، 𝜋٤
  • بنعم، 𝜋٣
  • جنعم، 𝜋٦
  • دلا
  • هنعم، 𝜋٢

س١٥:

افترِض أن 𞸋 نقطة على دائرة وحدة تناظر زاوية 𝜋٣. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة تُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[ ولها نفس الإحداثي اﻟﺴﻴﻨﻲ مثل 𞸋؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فأوجد هذه الزاوية.

  • ألا
  • بنعم، −𝜋٦
  • جنعم، ٧𝜋٢١
  • دنعم، ٥𝜋٣
  • هنعم، ٢𝜋٣

س١٦:

افترِض أن 𞸌 نقطة على دائرة وحدة تناظر الزاوية 𝜋. هل هناك نقطة أخرى لدائرة الوحدة تُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[، ويكون لها نفس الإحداثي 𞸎 للنقطة 𞸌؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فأوجد الزاوية.

  • أنعم، 𝜋٦
  • بنعم، 𝜋٣
  • جلا
  • دنعم، 𝜋٢
  • هنعم، 𝜋٤

س١٧:

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ٣𝜋٤ بالقياس الدائري، مع الاتجاه الموجب لمحور 𞸎 في الوضع القياسي في دائرة الوحدة.

  • أ𞸑=−𞸎
  • ب𞸑=𞸎
  • ج𞸑=󰋴٣𞸎٣
  • د𞸑=−󰋴٣𞸎٣

س١٨:

افترِض أن 𞸍 نقطة على دائرة وحدة تناظر الزاوية ٥𝜋٦. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة لها نفس الإحداثي 𞸑 للنقطة 𞸍 وتُمثِّل زاوية في الفترة [٠،٢𝜋[؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فأوجد الزاوية.

  • أنعم، 𝜋٤
  • بلا
  • جنعم، ٧𝜋٦
  • دنعم، 𝜋٦
  • هنعم، 𝜋٣

س١٩:

الضلع النهائي لـ 󰌑󰏡𞸅𞸁 في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة 𞸅 عند النقطة 𞸁 التي إحداثياتها 󰃭٣󰋴٠١،𞸑󰃬؛ حيث 𞸑>٠. أوجد قيمة ﺟﺎ(󰏡𞸅𞸁).

  • أ١٠١
  • ب١٣
  • ج٣󰋴٠١
  • د١󰋴٠١

س٢٠:

الضلع النهائي لـ 󰌑𝜃 يقطع دائرة الوحدة عند النقطة 󰂔٨٧١،𞸑󰂓؛ حيث 𞸑>٠. أوجد قيمة 󰌑𝜃 لأقرب ثانية وقيمة 𞸑 في صورة كسر.

  • أ𞹟󰌑𝜃=٩٣′′٥٥′١٤٢∘، 𞸑=٥١٧١
  • ب𞹟󰌑𝜃=٩٣′′٥٥′١٦∘، 𞸑=−٥١٧١
  • ج𞹟󰌑𝜃=٩٣′′٥٥′١٦∘، 𞸑=٥١٧١
  • د𞹟󰌑𝜃=٦٥′′٥٥′٨٢١∘، 𞸑=٨٥١

س٢١:

الضلع النهائي للزاوية 𝜃 في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة 𞸁 التي إحداثياتها 󰂔−٤٥،−٣٥󰂓. أوجد قيمة 𝜃 لأقرب ثانية.

  • أ٨٤′′٧′٣٢٣∘
  • ب٢١′′٢٥′٦٣∘
  • ج٨٤′′٧′٣٤١∘
  • د٢١′′٢٥′٦١٢∘

س٢٢:

في الشكل الموضَّح، تقع النقطة 𞸅 على دائرة الوحدة، وتقع 𝜃 في الفترة 󰂖٠،𝜋٢󰂗.

من خلال المثلث القائم الزاوية 𞸌𞸅𞸎، ما النسبة التي ينتُج عنها ﻇﺎ𝜃؟

  • أ١𞸎𞸅
  • ب١𞸌𞸎
  • ج𞸌𞸎𞸎𞸅
  • د𞸎𞸅𞸌𞸎
  • ه𞸎𞸅𞸌𞸎

ما الصحيح فيما يلي بشأن المثلثين 𞸌𞸅𞸎، 𞸌𞸍󰏡؟

  • أمتساويا الساقين.
  • بمختلفا الأضلاع.
  • جمتطابقان.
  • دمتشابهان.
  • همتساويا الأضلاع.

ما معامل قياس △𞸌𞸅𞸎 بالنسبة إلى △𞸌𞸍󰏡؟

  • أﺟﺎ𝜃
  • بﺟﺘﺎ𝜃
  • ج١𝜃ﻇﺎ
  • د١𝜃ﺟﺘﺎ
  • ه١𝜃ﺟﺎ

استخدم الإجابات على الأجزاء السابقة لإيجاد طول 󰏡𞸍 بدلالة ﺟﺎ𝜃، ﺟﺘﺎ𝜃.

  • أﺟﺘﺎﺟﺎ𝜃𝜃
  • بﺟﺎﺟﺘﺎ𝜃𝜃
  • ج١𝜃ﺟﺘﺎ
  • د١𝜃ﻇﺎ
  • هﺟﺘﺎ𝜃

س٢٣:

لدينا طاحونة هواء طول شفراتها ١ م. نحصل على الموضع العلوي 𞸌 للشفرة المُعطاة من إحداثياتها (󰏡،𞸁) التي تعتمد على الزاوية 𝜃 كما هو موضَّح.

عبِّر عن 󰏡، 𞸁 في صورة دالتين لقياس الزاوية 𝜃 بالقياس الدائري.

  • أ󰏡=−𝜃،𞸁=−𝜃ﺟﺘﺎﺟﺎ
  • ب󰏡=𝜃،𞸁=𝜃ﺟﺎﺟﺘﺎ
  • ج󰏡=𝜃،𞸁=𝜃ﻇﺎﺟﺎ
  • د󰏡=𝜃،𞸁=𝜃ﺟﺘﺎﻇﺎ
  • ه󰏡=𝜃،𞸁=𝜃ﺟﺘﺎﺟﺎ

إذا كانت الزاوية 𝜃 عند زمن مُعيَّن تساوي ٥𝜋٣، فماذا تساوي بعد إكمال الشفرة للدوران نصف دورة؟

  • أ٥𝜋٣
  • ب٤𝜋٣
  • ج٣𝜋٥
  • د٣𝜋٨
  • ه٨𝜋٣

س٢٤:

في الشكل الموضَّح، تقع النقطة 𞸌 على دائرة الوحدة وتقع 𝜃 في الفترة 󰂖𝜋٢،𝜋󰂗.

هل ﻇﺎ𝜃 موجب أم سالب؟

  • أموجب
  • بسالب

أيٌّ من التالي صحيح عن المثلثات 𞸅𞹎𞸌،𞸅󰏡𞸍، 𞸅𞸢󰏡؟

  • أجميعها متشابهة.
  • بجميعها متساوية الساقين.
  • ججميعها متساوية الأضلاع.
  • دجميعها متطابقة.
  • هجميها مختلفة الأضلاع.

س٢٥:

يتقاطع الضلع النهائي للزاوية 𝜃 مع دائرة الوحدة في وضعها القياسي عند النقطة (٢󰏡،٣󰏡)؛ حيث ٠<𝜃<𝜋٢. أوجد قيمة 󰏡.

  • أ󰋴٥
  • ب١󰋴٥
  • ج󰋴٣١
  • د١󰋴٣١
  • ه١٣١

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.