ملف تدريبي: حالات حل نظام معادلات خطية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تحديد إذا ما كان نظام المعادلات الخطية له حلٌّ وحيد، أو ليس له حلٌّ، أو له عدد لا نهائي من الحلول.

س١:

أوجد عدد حلول نظام المعادلات: −٦𞸎−٢𞸑+٩𞸏=−٤،−٤٢𞸎−٨𞸑+٦٣𞸏=−٢٢،−٢١𞸎−٤𞸑+٨١𞸏=−٠١.

  • ألا توجد حلول.
  • بيوجد عدد محدود من الحلول، ولا يتضمَّن 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جيوجد عدد لا نهائي من الحلول.
  • دالحل الوحيد هو 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.

س٢:

أوجد عدد حلول النظام الآتي: 󰃭٤−٨٠٣١٠١١٠−٤١٧١󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃁٠٠٠󰃀.

  • أعدد لا نهائي من الحلول ما عدا الصفر.
  • بعدد محدود من الحلول ما عدا الصفر𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جالحل الصفري𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • دبدون حل.

س٣:

أوجد عدد حلول نظام المعادلات: ٤𞸎−٤𞸑=٠،−٨𞸎−٢𞸏=٠،٥𞸑−٧𞸏=٠.

  • أالحل الوحيد هو 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • بيوجد عدد محدود من الحلول، ولا يتضمَّن 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جلا توجد حلول.
  • ديوجد عدد لا نهائي من الحلول.

س٤:

أوجد عدد حلول نظام المعادلات: −٢𞸎+٢𞸑=٠،٣𞸎−٣𞸏=٠،٧𞸑+٤𞸏=٠.

  • أالحل الوحيد هو 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • بيوجد عدد محدود من الحلول، ولا يتضمَّن 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جلا توجد حلول.
  • ديوجد عدد لا نهائي من الحلول.

س٥:

أوجد عدد حلول نظام المعادلات: ٩𞸎−٣𞸑+٨𞸏=٤،٥٤𞸎−٥١𞸑+٠٤𞸏=٠٢،٨١𞸎−٦𞸑+٦١𞸏=٨.

  • أيوجد عدد لا نهائي من الحلول.
  • بيوجد عدد محدود من الحلول، ولا يتضمَّن 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جلا توجد حلول.
  • دالحل الوحيد هو 𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.

س٦:

أوجد عدد حلول النظام الآتي: 󰃭−٤١−٣١٠٧٠−١٢٠٣٠٢󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃁٠٠٠󰃀.

  • أعدد لا نهائي من الحلول ما عدا الصفر.
  • بعدد محدود من الحلول ما عدا الصفر𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جالحل الصفري𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • دبدون حل.

س٧:

أوجد عدد حلول النظام الآتي: 󰃭−٥٠٣٢−٥١٠٩٦−٠١٠٦٤󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٢١٦٣٩١󰃬.

  • أالحل الصفري𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • بعدد محدود من الحلول ما عدا الصفر𞸎=٠،𞸑=٠،𞸏=٠.
  • جبدون حل.
  • دعدد لا نهائي من الحلول ما عدا الصفر.

س٨:

أوجد 𞸇 التي تجعل 󰃭١𞸇٣٢٤٦󰃬 مصفوفة موسَّعة لنظام معادلات متسق.

  • أ𞸇 ليس لها قيمة تجعل المصفوفة موسَّعة لنظام معادلات متسق.
  • بأيُّ عدد حقيقي

س٩:

إذا كان هناك حل وحيد لنظام معادلات خطية، فأيٌّ من التالي يجب أن يكون صحيحًا بالنسبة لأعمدة المصفوفة الموسعة؟

  • أالعمود الأخير ليس عمودًا محوريًّا، والأعمدة التي على اليسار كل منها عمود محوري
  • بالعمود الأخير عمود محوري، والأعمدة التي على اليسار كلٌّ منها عمود محوري
  • جالعمود الأخير ليس عمودًا محوريًّا، والأعمدة التي على اليسار ليس كلٌّ منها عمودًا محوريًّا
  • دالعمود الأخير عمود محوري، والأعمدة التي على اليسار ليس كلٌّ منها عمودًا محوريًّا

س١٠:

في موصوفة موسَّعة، ترمز * إلى عدد اختياري وترمز ■ إلى عدد اختياري غير صفري. حدِّد إذا ما كانت المصفوفة الموسَّعة متسقة أو لا، وإذا كانت متسقة، فحدِّد إذا ما كان لها حل وحيد:⎞⎟⎟⎟⎟⎠■∗∗∗∗∗٠■∗∗٠∗٠٠■∗∗∗٠٠٠٠■∗⎛⎜⎜⎜⎜⎝.

  • أالمصفوفة متسقة ولها حل وحيد.
  • بالمصفوفة غير متسقة.
  • جالمصفوفة متسقة وليس لها حل وحيد.

س١١:

في المصفوفة الموسعة: ⎞⎟⎟⎟⎠■∗∗∗٠■∗∗٠٠■∗⎛⎜⎜⎜⎝،يشير الرمز ∗ إلى عدد اختياري ويشير الرمز ■ إلى عدد لا يساوي صفرًا. حدِّد إذا ما كانت هذه المصفوفة الموسعة متسقة. إذا كانت متسقة، فهل يكون هناك حل واحد؟

  • أالمصفوفة متسقة وهناك حل واحد.
  • بالمصفوفة غير متسقة.
  • جالمصفوفة متسقة وليس هناك حل واحد.

س١٢:

في المصفوفة الموسعة: ⎞⎟⎟⎟⎟⎠■∗∗∗∗∗٠■∗∗٠∗٠٠٠٠■٠٠٠٠٠∗■⎛⎜⎜⎜⎜⎝،∗ يُشير إلى عدد عشوائي، و■ يُشير إلى عدد لا يساوي الصفر. حدِّد إذا ما كانت المصفوفة الموسَّعة الآتية متجانسة أو لا، وإذا لم يكن لها سوى حلٍّ وحيد.

  • أالمصفوفة متجانسة، وحلُّها ليس وحيدًا.
  • بالمصفوفة متجانسة، وحلُّها وحيد.
  • جالمصفوفة غير متجانسة.

س١٣:

افترض أن مصفوفة المعاملات لنظام 𞸍 من المعادلات التي بها 𞸍 متغيرات تتميز بخاصية أن كل عمود يمثِّل عمود المحور. هل يلزم أن يكون لنظام المعادلات حلٌّ؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فهل يجب أن يكون الحل وحيدًا؟

  • أنعم، والحل وحيد
  • بلا يوجد حل
  • جنعم، ولكن الحل غير وحيد

س١٤:

اذكر كل قيم 𞸏 التي تجعل المصفوفة الموسَّعة: 󰃭١١٤٣𞸏٢١󰃬 متسقة.

  • أأي قيمة للعدد 𞸏 عدا ٣
  • بأيُّ قيمة للعدد 𞸏
  • ج𞸏=٣
  • د𞸏>٠
  • هلا توجد قيمة للعدد 𞸏 تجعل المصفوفة الموسَّعة متسقة.

س١٥:

أوجد الشروط على 𞸋، 𞸊 لكي تكون المصفوفة الموسعة الآتية ليس لها حل ولها حل وحيد ولها عدد لا نهائي من الحلول: 󰃭١٢٢٢𞸋𞸊󰃬.

  • أإذا كانت 𞸋=١، فإنه يوجد حل وحيد تحديدًا. إذا كانت 𞸋≠١، 𞸊≠١، فلا يوجد حلول. إذا كانت 𞸋=١، 𞸊=١، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول.
  • بإذا كانت 𞸋=٤، فإنه يوجد حل وحيد تحديدًا. إذا كانت 𞸋≠٤، 𞸊≠٤، فلا يوجد حلول. إذا كانت 𞸋=٤، 𞸊=٤، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول.
  • جإذا كانت 𞸋≠٤، فإنه يوجد حل وحيد تحديدًا. إذا كانت 𞸋=٤، 𞸊≠٤، فلا يوجد حلول. إذا كانت 𞸋=٤، 𞸊=٤، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول.
  • دإذا كانت 𞸋=٢، فإنه يوجد حل وحيد تحديدًا. إذا كانت 𞸋≠٢، 𞸊≠٢، فلا يوجد حلول. إذا كانت 𞸋=٢، 𞸊=٢، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول.
  • هإذا كانت 𞸋≠٤، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول. إذا كانت 𞸋=٤، 𞸊≠٤، فلا يوجد حلول. إذا كانت 𞸋=٤، 𞸊=٤، فإنه يوجد حل وحيد.

س١٦:

أوجد قيمة 𞸇 التي تكون المصفوفة الموسعة 󰃭٢𞸇٤٣٦٧󰃬 غير متسقة عندها.

س١٧:

افرض أن نظامًا من المعادلات الخطية به مصفوفة موسعة ٢×٤ والعمود الأخير عمود محوري. هل نظام المعادلات الخطية متسق؟

  • ألا
  • بنعم

س١٨:

أوجد شروط 𞸇، 𞸊؛ بحيث تكون المصفوفة الموسعة 󰃭١𞸇٢٢٤𞸊󰃬 ليس لها حلٌّ، ولها حلٌّ وحيد، ولها عدة حلول لا نهائية.

  • أإذا كان 𞸇≠٢، فسيوجد حلٌّ وحيد لأي 𞸊. إذا كان 𞸇=٢، 𞸊≠٤، فلن توجد حلول. إذا كان 𞸇=٢، 𞸊=٤، فستوجد عدة حلول لا نهائية.
  • بإذا كان 𞸇≠٤، فسيوجد حلٌّ وحيد، إذا كان 𞸇=٤، 𞸊≠٢، فلن توجد حلول. إذا كان 𞸇=٤، 𞸊=٢، فستوجد عدة حلول لا نهائية.
  • جإذا كان 𞸇≠٤، فستوجد عدة حلول لا نهائية. إذا كان 𞸇=٤، 𞸊≠٢، فلن توجد حلول. إذا كان 𞸇=٤، 𞸊=٢، فسيوجد حلٌّ وحيد.
  • دإذا كان 𞸇≠١، فستوجد عدة حلول لا نهائية. إذا كان 𞸇=١، 𞸊≠٢، فلن توجد حلول. إذا كان 𞸇=١، 𞸊=٢، فسيوجد حلٌّ وحيد.
  • هإذا كان 𞸇≠٢، فستوجد عدة حلول لا نهائية. إذا كان 𞸇=٢، 𞸊≠٤، فلن توجد حلول. إذا كان 𞸇=٢، 𞸊=٤، فسيوجد حلٌّ وحيد.

س١٩:

صواب أم خطأ؟ إذا كانت 󰏡 مصفوفة ولم تكن 𞸁 المتجه الصفري، فإن 󰏡𞸎=𞸁 لها حل إذا -وفقط إذا- كانت 𞸁 يُمكِن كتابتها في صورة مجموعة أعمدة خطية للمصفوفة 󰏡.

  • أصواب
  • بخطأ

س٢٠:

أوجد الحل لنظام المعادلات: 𞸎+٢𞸑+𞸏−𞸋=٢،𞸎−𞸑+𞸏+𞸋=٠،٢𞸎+𞸑−𞸏=١،٤𞸎+٢𞸑+𞸏=٣.

إذا لم يوجد حل، فاذكر السبب.

  • أنظام المعادلات ليس متسقًا.
  • بنظام المعادلات متسق وحله ليس وحيدًا.
  • جنظام المعادلات متسق وحله وحيد.

س٢١:

أوجِد قيمة 𞸊 التي تجعل حلَّيِ المعادلتين ٧𞸎+٥𞸑=٧،٥٣𞸎+٥٢𞸑=𞸊 لا نهائيَّيْن.

س٢٢:

افترض أن 󰏡 مصفوفة في 𞹇٣×٣، ⃐󰄮𞸏 متجه في 𞹇٣، وضَعْ في الاعتبار هذه العبارة: يوجد الحل ⃐󰄮󰄮󰄮𞸎 للمعادلة 󰏡⃐󰄮󰄮󰄮𞸎=⃐󰄮𞸏. أيٌّ مما يلي صحيح؟

  • أالعبارة صحيحة دائمًا.
  • بإذا كانت 󰏡 غير منفردة، فإن العبارة صحيحة.
  • جإذا كانت العبارة صحيحة، فإن 󰏡 غير منفردة.
  • دإذا كانت 󰏡 غير منفردة، فإن العبارة خطأ.
  • هالعبارة صحيحة في حالة واحدة فقط؛ وهي أن تكون 󰏡 غير منفردة.

س٢٣:

إذا كان 𞸁≠٠، 𞸀 مصفوفة غير منفردة نظمها 𞸍×𞸍، فهل من الممكن أن تكون مجموعة حل ⃐𞸀𞸎=⃐󰄮󰄮𞸁 مستوًى مارًّا بنقطة الأصل؟

  • ألا
  • بنعم

س٢٤:

أوجد مجموعة قيم 𞸊 التي تجعل المعادلات الآنية ٩𞸎−٩𞸑−٥𞸏=٦،٢𞸎+٣𞸑+٧𞸏=٤،٣𞸎−٤𞸑+𞸊𞸏=٧، لها على الأقل حل وحيد.

  • أ−٨٤١٥٤
  • ب𞹇−󰂚−٢٢٥٤󰂙
  • ج−٢٢٥٤
  • د𞹇−󰂚−٦٣٤٥٤󰂙
  • ه𞹇−󰂚−٨٤١٥٤󰂙

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.