ملف تدريبي: التقعُّر ونِقاط الانقلاب

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تحديد تقعُّر الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية.

س١:

استخدم الرسم البياني للدالة 󰎨 لإيجاد إحداثيات نقاط الانقلاب.

  • أ(٤،٥)
  • ب(١،٣)، (٥،٤)
  • ج(٥،٤)
  • د(٢،٢)، (٤،٣)، (٥،٤)
  • ه(١،٣)، (٤،٣)، (٥،٤)

س٢:

أوجد نقاط انقلاب المنحنى 𞸑=𞸎+٢𞸎٥٢.

  • أ(٠،٢)
  • ب(٢،٣)
  • جليس له أي نقاط انقلاب
  • د(١،١)

س٣:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎+𞸎٥٣ مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

  • أالدالة مقعرة لأعلى في 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰
  • بالدالة مقعرة لأعلى في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰
  • جالدالة مقعرة لأعلى في 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰
  • دالدالة مقعرة لأعلى في 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰
  • هالدالة مقعرة لأعلى في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰

س٤:

أوجد الفترات التي تكون 󰎨(𞸎)=٤𞸎+(𞸎+٣)٤٥ مقعرة فيها لأعلى ومقعرة فيها لأسفل.

  • أالدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]،١[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]٤،[.
  • بالدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]،٣[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]٣،[.
  • جالدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]،٣[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]٣،[.
  • دالدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]٣،[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]،٣[.
  • هالدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]٤،[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]،١[.

س٥:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎+󰋴٩𞸎+١٢ مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

  • أالدالة مقعرة لأسفل في ]،[
  • بالدالة مقعرة لأعلى في ]،[
  • جالدالة مقعرة لأسفل في ]٩،[
  • دالدالة مقعرة لأعلى في ]٩،[
  • هالدالة مقعرة لأسفل في ]٠،[

س٦:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎٣٣𞸎+١٢٢ مقعَّرة لأعلى أو لأسفل.

  • أالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،١٣󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖١٣،󰂗
  • بالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖١٣،١٣󰂗، 󰂖١٣،󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖،١٣󰂗
  • جالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖١٣،١٣󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،󰂗
  • دالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖١٣،󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،١٣󰂗
  • هالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖١٣،١٣󰂗

س٧:

إذا كان ٠<𞸎<٢𝜋، فأوجد فترات تقعُّر الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢𞸎٢ لأعلى ولأسفل.

  • أ󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترتين 󰂖٠،𝜋٦󰂗، 󰂖٥𝜋٦،٢𝜋󰂗
  • ب󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترتين 󰂖٠،𝜋٢󰂗، 󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗
  • ج󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترتين 󰂖٠،𝜋٢󰂗، 󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗
  • د󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترتين 󰂖٠،𝜋٦󰂗، 󰂖٥𝜋٦،٢𝜋󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗
  • ه󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترة ]𝜋،٢𝜋[ ومُقعَّرة لأسفل على الفترة ]٠،𝜋[

س٨:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢𞸎٢𞸤 مُقعَّرة لأعلى، والفترات التي تكون فيها مُقعَّرة لأسفل.

  • أالدالة مُقعَّرة لأعلى في 󰃯𞸤٢،󰃰٣٢، ومُقعَّرة لأسفل في 󰃯٠،𞸤٢󰃰٣٢
  • بالدالة مُقعَّرة لأعلى في 󰃯٠،١٢󰋴𞸤󰃰، ومُقعَّرة لأسفل في 󰃯١٢󰋴𞸤،󰃰
  • جالدالة مُقعَّرة لأعلى في 󰂖٢󰋴𞸤،󰂗، ومُقعَّرة لأسفل في 󰂖٠،٢󰋴𞸤󰂗
  • دالدالة مُقعَّرة لأعلى في 󰃯١٢󰋴𞸤،󰃰، ومُقعَّرة لأسفل في 󰃯٠،١٢󰋴𞸤󰃰
  • هالدالة مُقعَّرة لأعلى في 󰃯٠،𞸤٢󰃰٣٢، ومُقعَّرة لأسفل في 󰃯𞸤٢،󰃰٣٢

س٩:

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٩𞸎+٦𞸎٣٢.

  • أ(٣،٦٣)
  • ب(٣،١٢)
  • ج(٣،٠)
  • دليس لها نقطة انقلاب

س١٠:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٥𞸎٥٣.

  • أ󰃭󰋴٣٢،٥٤٨󰃬، 󰃭󰋴٣٢،٥٤٨󰃬، (٠،٣).
  • ب󰃭󰋴٣٢،٥٤٨󰃬، 󰃭󰋴٣٢،٥٤٨󰃬 .
  • ج󰃭󰋴٣٢،٣󰋴٣٢٣󰃬، 󰃭󰋴٣٢،٣󰋴٣٢٣󰃬.
  • د󰃭٥󰋴٦٦،٥٧٤٦٣󰃬، 󰃭٥󰋴٦٦،٥٧٤٦٣󰃬، (٠،٣).
  • ه󰃭󰋴٣٢،١٢󰋴٣٦١󰃬، 󰃭󰋴٣٢،١٢󰋴٣٦١󰃬، (٠،٠).

س١١:

أوجد نقطة الانقلاب على المنحنى 𞸑=٦𞸎(𞸎+١)٢.

  • أليس لها نقطة انقلاب
  • ب󰂔٣٢،٩٤󰂓
  • ج󰂔٢٣،٠٠١٩󰂓
  • د󰂔٢٣،٤٩󰂓
  • ه󰂔١٣،٨٩󰂓

س١٢:

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٤𞸎؛ حيث ٠𞸎𝜋٢، فأوجد نقاط انقلاب 󰎨.

  • أ󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔٣𝜋٦١،󰋴٢󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،󰋴٢󰂓.
  • ب󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔٣𝜋٦١،󰋴٢󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،󰋴٢󰂓.
  • ج󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔٣𝜋٦١،٠󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،٠󰂓.
  • د󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔𝜋٦١،󰋴٢󰂓، 󰂔٥𝜋٦١،󰋴٢󰂓.
  • ه󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔𝜋٦١،٠󰂓، 󰂔٥𝜋٦١،٠󰂓.

س١٣:

لكل ٠𞸎٤𝜋، أوجد جميع نِقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٢𞸎𞸎.

  • أ(𝜋،٢𝜋)، (٢𝜋،٢𝜋)، (٣𝜋،٦𝜋)
  • ب(𝜋،٢𝜋)، (٢𝜋،٤𝜋)، (٣𝜋،٣𝜋)
  • ج(𝜋،٢𝜋)، (٢𝜋،٤𝜋)، (٣𝜋،٦𝜋)
  • د(𝜋،𝜋)، (٢𝜋،٢𝜋)، (٣𝜋،٣𝜋)
  • ه(𝜋،𝜋)، (٢𝜋،٤𝜋)، (٣𝜋،٦𝜋)

س١٤:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=𞸎١٤𞸎+١٢٢.

  • أنقاط الانقلاب هي 󰃭󰋴٣٢،١٦١󰃬، 󰃭󰋴٣٢،١٦١󰃬.
  • بنقطة الانقلاب هي 󰂔١٤،٣٤󰂓.
  • جنقطة الانقلاب هي 󰂔٤،٣٣١󰂓.
  • دنقاط الانقلاب هي 󰃭󰋴٣٦،١١٦١󰃬، 󰃭󰋴٣٦،١١٦١󰃬.
  • هنقاط الانقلاب هي 󰂔١٢،٣٨󰂓، 󰂔١٢،٣٨󰂓.

س١٥:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=𞸤٢𞸤+٥𞸎𞸎 (إن وُجدت).

  • أنقطة الانقلاب هي 󰂔٠،١٧󰂓.
  • بنقطة الانقلاب هي 󰂔٠،١٣󰂓.
  • جلا توجد نقاط انقلاب.
  • دنقطة الانقلاب هي 󰃭١٥،󰋴𞸤٢󰋴𞸤+٥󰃬٥٥.
  • هنقطة الانقلاب هي 󰃭١٥،󰋴𞸤٢󰋴𞸤+٥󰃬٥٥.

س١٦:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢𞸎٢𞸤 إن وُجدت.

  • أ󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭𞸤٢،٩٨𞸤󰃬٣٣٢
  • ب󰎨 ليس لها أيُّ نِقاط انقلاب
  • ج󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭𞸤٢،٩٨𞸤󰃬٣٣٢
  • د󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭١٢󰋴𞸤،٣٨𞸤󰃬
  • ه󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭١٢󰋴𞸤،٣٨𞸤󰃬

س١٧:

أوجد إن أمكن نقاط انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=٦𞸎٧𞸎+٤𞸎<١،٤𞸎+٧𞸎𞸎١.٣٢

  • أ(٠،٤)
  • ب(٠،٠)
  • جااطاب
  • د(٠،٧)

س١٨:

للمنحنى 󰎨=𞸊𞸎+𞸎٥٢٣ نقطة انقلاب عندما تكون 𞸎=١. ما قيمة 𞸊؟

س١٩:

أفضل تعريف للدالة 󰎨 هو كونها مقعرة لأعلى في الفترة 𞸅=(󰏡،𞸁)؛ حيث 󰎨󰍱 تزايدية في الفترة. إذن، ميل التمثيل البياني يُصبِح أكبر كلما تزايدت 𞸎.

إذا كانت 󰎨 موجودة في الفترة، فأيُّ نتيجة تُثبِت أن 󰎨 مُقعَّرة لأعلى إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لكل 𞸎 في 𞸅؟

  • أإذا كانت مشتقة الدالة تساوي صفرًا، فإن الدالة تصل إلى القيم العظمى أو القيم الصغرى هناك.
  • بإذا كانت مشتقة الدالة موجبة في الفترة، فإن الدالة تزايدية هناك.
  • جإذا كانت الدالة سالبة عند نقطة واحدة وموجبة عند نقطة أخرى، فيجب أن تكون صفرية بين هاتين النقطتين.
  • دالدالة لها نفس مُعدَّل التغيُّر الآني عند بعض النِّقاط مثل متوسِّط تغيُّرها في الفترة.

𞹟(𞸎)=𞸎٤ دالة. هل 𞹟 تزايدية في الفترة (١،١)؟

  • ألا
  • بنعم

باستخدام الدالة المذكورة سابقًا، تعريفنا يفيد أن 𞹟 مُقعَّرة لأعلى في (١،١). هل 𞹟(𞸎)>٠ في هذه الفترة؟

  • ألا
  • بنعم

هل من الصواب أنه عندما تكون 󰎨 مقعرة لأعلى في فترة ما، يكون 󰎨(𞸎)>٠ على هذه الفترة؟ (تذكَّر التعريف المذكور سابقًا)

  • ألا
  • بنعم

س٢٠:

حدِّد أين تكون 󰎨(𞸎)=𞸎٢٣𞸎+٣٤٢ مقعرة لأعلى وأين تكون مقعرة لأسفل.

  • أالدالة مقعرة لأعلى على الفترتين ]،١[، ]١،[ ومقعرة لأسفل على الفترة ]١،١[
  • بالدالة مقعرة لأعلى على الفترة ]١،[ ومقعرة لأسفل على الفترتين ]،١[، ]١،١[
  • جالدالة مقعرة لأعلى على الفترة ]١،١[ ومقعرة لأسفل على الفترتين ]،١[، ]١،[
  • دالدالة مقعرة لأعلى على الفترتين ]١،١[، ]١،[ ومقعرة لأسفل على الفترة ]،١[
  • هالدالة مقعرة لأعلى على الفترتين ]،١[، ]١،١[ ومقعرة لأسفل على الفترة ]١،[

س٢١:

أوجد الفترات التي يكون فيها منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٥𞸎+١١٤٢ محدبًا لأسفل أو محدبًا لأعلى.‎

  • أالمنحنى محدب لأسفل في الفترتين 󰃯،󰋴٥١٦󰃰، 󰃯󰋴٥١٦،󰃰 ومحدب لأعلى في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰋴٥١٦󰃰
  • بالمنحنى محدب لأعلى في الفترتين 󰃯،󰋴٥١٦󰃰، 󰃯󰋴٥١٦،󰋴٥١٦󰃰 ومحدب لأسفل في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰃰
  • جالمنحنى محدب لأسفل في الفترة 󰃯،󰋴٥١٦󰃰 ومحدب لأعلى في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰃰
  • دالمنحنى محدب لأعلى في الفترة 󰃯،󰋴٥١٦󰃰 ومحدب لأسفل في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰃰

س٢٢:

أوجد نقطة انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+(𞸎٤)+٢٥.

  • أنقطة الانقلاب (٥،٢٢)
  • بنقطة الانقلاب (٣،٤١)
  • جنقطة الانقلاب (٤،٠٢)
  • دنقطة الانقلاب (٤،٨١)
  • هنقطة الانقلاب (٤،٨١)

س٢٣:

أوجِد جميع نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=𞸎٢𞸎+٥٤٢.

  • أنقاط الانقلاب عند 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬، 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬
  • بنقاط الانقلاب عند (١،٤)، (١،٤)، (٠،٥)
  • جنقاط الانقلاب عند 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬، 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬
  • دنقاط الانقلاب عند (١،٤)، (١،٤)، (٠،٥)
  • هنقاط الانقلاب عند 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬، 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬

س٢٤:

أوجد الفترات التي يكون فيها منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣𞸎٧𞸎٣٢ محدبًا لأسفل، والفترات التي يكون فيها محدبًا لأعلى.

  • أالمنحنى محدب لأسفل في الفترة ]،١[، ومحدب لأسفل في الفترة ]١،[.
  • بالمنحنى محدب لأعلى في الفترة ]،١[، ومحدب لأعلى في الفترة ]١،[.
  • جالمنحنى محدب لأسفل في الفترة ]،١[، ومحدب لأعلى في الفترة ]١،[.
  • دالمنحنى محدب لأعلى في الفترة ]،١[، ومحدب لأسفل في الفترة ]١،[.

س٢٥:

أوجد نقطتي انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢٣𞸎+٤٤٢.

  • أنقطتا الانقلاب هما 󰂔١،٥٢󰂓، 󰂔١،٥٢󰂓
  • بنقطتا الانقلاب هما (١،٤)، (١،٤)
  • جنقطتا الانقلاب هما 󰂔١،٣٢󰂓، 󰂔١،٣٢󰂓
  • دنقطتا الانقلاب هما 󰂔١،١١٢󰂓، 󰂔١،١١٢󰂓
  • هنقطتا الانقلاب هما (١،٢)، (١،٢)

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.