ملف تدريبي: التقعُّر ونِقاط الانقلاب

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تحديد تقعُّر الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية.

س١:

استخدم الرسم البياني للدالة 󰎨 لإيجاد إحداثيات نقاط الانقلاب.

  • أ ( ١ ، ٣ ) ، ( ٤ ، ٣ ) ، ( ٥ ، ٤ )
  • ب ( ١ ، ٣ ) ، ( ٥ ، ٤ )
  • ج ( ٥ ، ٤ )
  • د ( ٤ ، ٥ )
  • ه ( ٢ ، ٢ ) ، ( ٤ ، ٣ ) ، ( ٥ ، ٤ )

س٢:

أوجد نقطة انقلاب المنحنى 𞸑=𞸎+٢𞸎٥٢.

  • أ ( ١ ، ١ )
  • بليس لها نقطة انقلاب
  • ج ( ٠ ، ٢ )
  • د ( ٢ ، ٣ )

س٣:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎+𞸎٥٣ مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

  • أ الدالة مقعرة لأعلى في 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰
  • ب الدالة مقعرة لأعلى في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰
  • ج الدالة مقعرة لأعلى في 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰
  • د الدالة مقعرة لأعلى في 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰
  • ه الدالة مقعرة لأعلى في 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰 ومقعرة لأسفل في 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰

س٤:

أوجد الفترات التي تكون 󰎨(𞸎)=٤𞸎+(𞸎+٣)٤٥ مقعرة فيها لأعلى ومقعرة فيها لأسفل.

  • أ الدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]٣،[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]،٣[.
  • ب الدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]٤،[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]،١[.
  • ج الدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]،١[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]٤،[.
  • د الدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]،٣[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]٣،[.
  • ه الدالة مقعرة لأسفل في الفترة ]،٣[ ومقعرة لأعلى في الفترة ]٣،[.

س٥:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎+󰋴٩𞸎+١٢ مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

  • أالدالة مقعرة لأسفل في ]،[
  • بالدالة مقعرة لأسفل في ]٩،[
  • جالدالة مقعرة لأعلى في ]٩،[
  • دالدالة مقعرة لأسفل في ]٠،[
  • ه الدالة مقعرة لأعلى في ]،[

س٦:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎٣٣𞸎+١٢٢ مقعَّرة لأعلى أو لأسفل.

  • أ الدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖١٣،١٣󰂗
  • بالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖١٣،١٣󰂗، 󰂖١٣،󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖،١٣󰂗
  • جالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،١٣󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖١٣،󰂗
  • دالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖١٣،١٣󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،󰂗
  • هالدالة مقعَّرة لأسفل في 󰂖١٣،󰂗 ومقعَّرة لأعلى في 󰂖،١٣󰂗، 󰂖١٣،١٣󰂗

س٧:

إذا كان ٠<𞸎<٢𝜋، فأوجد فترات تقعُّر الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢𞸎٢ لأعلى ولأسفل.

  • أ 󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترتين 󰂖٠،𝜋٢󰂗، 󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗
  • ب 󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترتين 󰂖٠،𝜋٦󰂗، 󰂖٥𝜋٦،٢𝜋󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗
  • ج 󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترتين 󰂖٠،𝜋٢󰂗، 󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗
  • د 󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترة 󰂖𝜋٦،٥𝜋٦󰂗 ومُقعَّرة لأسفل على الفترتين 󰂖٠،𝜋٦󰂗، 󰂖٥𝜋٦،٢𝜋󰂗
  • ه 󰎨 مُقعَّرة لأعلى على الفترة ]𝜋،٢𝜋[ ومُقعَّرة لأسفل على الفترة ]٠،𝜋[

س٨:

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة مقعَّرة لأعلى أو لأسفل.

  • أالدالة مقعَّرة لأعلى في ومقعَّرة لأسفل في
  • بالدالة مقعَّرة لأعلى في ومقعَّرة لأسفل في
  • جالدالة مقعَّرة لأعلى في ومقعَّرة لأسفل في
  • دالدالة مقعَّرة لأعلى في ومقعَّرة لأسفل في
  • هالدالة مقعَّرة لأعلى في ومقعَّرة لأسفل في

س٩:

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٩𞸎+٦𞸎٣٢.

  • أ ( ٣ ، ٠ )
  • ب ( ٣ ، ١ ٢ )
  • جليس لها نقطة انقلاب
  • د ( ٣ ، ٦ ٣ )

س١٠:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٥𞸎٥٣.

  • أ 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ١ ٢ 󰋴 ٣ ٦ ١ 󰃬 ، 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ١ ٢ 󰋴 ٣ ٦ ١ 󰃬 ، ( ٠ ، ٠ ) .
  • ب 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ٥ ٤ ٨ 󰃬 ، 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ٥ ٤ ٨ 󰃬 ، ( ٠ ، ٣ ) .
  • ج 󰃭 ٥ 󰋴 ٦ ٦ ، ٥ ٧ ٤ ٦ ٣ 󰃬 ، 󰃭 ٥ 󰋴 ٦ ٦ ، ٥ ٧ ٤ ٦ ٣ 󰃬 ، ( ٠ ، ٣ ) .
  • د 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ٣ 󰋴 ٣ ٢ ٣ 󰃬 ، 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ٣ 󰋴 ٣ ٢ ٣ 󰃬 .
  • ه 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ٥ ٤ ٨ 󰃬 ، 󰃭 󰋴 ٣ ٢ ، ٥ ٤ ٨ 󰃬 .

س١١:

أوجد نقطة الانقلاب على المنحنى 𞸑=٦𞸎(𞸎+١)٢.

  • أ 󰂔 ١ ٣ ، ٨ ٩ 󰂓
  • ب 󰂔 ٢ ٣ ، ٠ ٠ ١ ٩ 󰂓
  • ج 󰂔 ٢ ٣ ، ٤ ٩ 󰂓
  • دليس لها نقطة انقلاب
  • ه 󰂔 ٣ ٢ ، ٩ ٤ 󰂓

س١٢:

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٤𞸎؛ حيث ٠𞸎𝜋٢، فأوجد نقاط انقلاب 󰎨.

  • أ 󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔𝜋٦١،󰋴٢󰂓، 󰂔٥𝜋٦١،󰋴٢󰂓.
  • ب 󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔٣𝜋٦١،󰋴٢󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،󰋴٢󰂓.
  • ج 󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔٣𝜋٦١،󰋴٢󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،󰋴٢󰂓.
  • د 󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔𝜋٦١،٠󰂓، 󰂔٥𝜋٦١،٠󰂓.
  • ه 󰎨 لها نقاط انقلاب عند 󰂔٣𝜋٦١،٠󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،٠󰂓.

س١٣:

لكل ٠𞸎٤𝜋، أوجد جميع نِقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٢𞸎𞸎.

  • أ ( 𝜋 ، 𝜋 ) ، ( ٢ 𝜋 ، ٢ 𝜋 ) ، ( ٣ 𝜋 ، ٣ 𝜋 )
  • ب ( 𝜋 ، ٢ 𝜋 ) ، ( ٢ 𝜋 ، ٢ 𝜋 ) ، ( ٣ 𝜋 ، ٦ 𝜋 )
  • ج ( 𝜋 ، ٢ 𝜋 ) ، ( ٢ 𝜋 ، ٤ 𝜋 ) ، ( ٣ 𝜋 ، ٣ 𝜋 )
  • د ( 𝜋 ، 𝜋 ) ، ( ٢ 𝜋 ، ٤ 𝜋 ) ، ( ٣ 𝜋 ، ٦ 𝜋 )
  • ه ( 𝜋 ، ٢ 𝜋 ) ، ( ٢ 𝜋 ، ٤ 𝜋 ) ، ( ٣ 𝜋 ، ٦ 𝜋 )

س١٤:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=𞸎١٤𞸎+١٢٢.

  • أنقطة الانقلاب هي 󰂔٤،٣٣١󰂓.
  • بنقاط الانقلاب هي 󰂔١٢،٣٨󰂓، 󰂔١٢،٣٨󰂓.
  • جنقاط الانقلاب هي 󰃭󰋴٣٢،١٦١󰃬، 󰃭󰋴٣٢،١٦١󰃬.
  • دنقاط الانقلاب هي 󰃭󰋴٣٦،١١٦١󰃬، 󰃭󰋴٣٦،١١٦١󰃬.
  • هنقطة الانقلاب هي 󰂔١٤،٣٤󰂓.

س١٥:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=𞸤٢𞸤+٥𞸎𞸎 (إن وُجدت).

  • أنقطة الانقلاب هي 󰂔٠،١٧󰂓.
  • بنقطة الانقلاب هي 󰃭١٥،󰋴𞸤٢󰋴𞸤+٥󰃬٥٥.
  • جلا توجد نقاط انقلاب.
  • دنقطة الانقلاب هي 󰂔٠،١٣󰂓.
  • هنقطة الانقلاب هي 󰃭١٥،󰋴𞸤٢󰋴𞸤+٥󰃬٥٥.

س١٦:

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢𞸎٢𞸤 إن وُجدت.

  • أ 󰎨 ليس لها أيُّ نِقاط انقلاب
  • ب 󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭𞸤٢،٩٨𞸤󰃬٣٣٢
  • ج 󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭𞸤٢،٩٨𞸤󰃬٣٣٢
  • د 󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭١٢󰋴𞸤،٣٨𞸤󰃬
  • ه 󰎨 لها نقطة انقلاب عند 󰃭١٢󰋴𞸤،٣٨𞸤󰃬

س١٧:

أوجد إن أمكن نقاط انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=٦𞸎٧𞸎+٤𞸎<١،٤𞸎+٧𞸎𞸎١.٣٢

  • أ ( ٠ ، ٤ )
  • ب ( ٠ ، ٠ )
  • ج ( ٠ ، ٧ )
  • د ا ا ط ا ب

س١٨:

للمنحنى 󰎨=𞸊𞸎+𞸎٥٢٣ نقطة انقلاب عندما تكون 𞸎=١. ما قيمة 𞸊؟

س١٩:

أفضل تعريف للدالة 󰎨 هو كونها مقعرة في الفترة 𞸅=(󰏡،𞸁)؛ حيث 󰎨󰍱 تزايدية في الفترة. إذن، ميل التمثيل البياني يُصبِح أكبر كلما تزايدت 𞸎.

إذا كانت 󰎨 موجودة في الفترة، فأيُّ نتيجة تُثبِت أن 󰎨 مُقعَّرة إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لكل 𞸎 في 𞸅؟

  • أإذا كانت مشتقة الدالة تساوي صفرًا، فإن الدالة تصل إلى القيم العظمى أو القيم الصغرى هناك.
  • بإذا كانت مشتقة الدالة موجبة في الفترة، فإن الدالة تزايدية هناك.
  • جإذا كانت الدالة سالبة عند نقطة واحدة وموجبة عند نقطة أخرى، فيجب أن تكون صفرية بين هاتين النقطتين.
  • دالدالة لها نفس مُعدَّل التغيُّر الآني عند بعض النِّقاط مثل متوسِّط تغيُّرها في الفترة.

𞹟 ( 𞸎 ) = 𞸎 ٤ دالة. هل 𞹟 تزايدية في الفترة (١،١)؟

  • ألا
  • بنعم

باستخدام الدالة المذكورة سابقًا، تعريفنا يفيد أن 𞹟 مُقعَّرة في (١،١). هل 𞹟(𞸎)>٠ في هذه الفترة؟

  • ألا
  • بنعم

هل صواب أن 󰎨 مُقعَّرة في الفترة ثم 󰎨(𞸎)>٠ في الفترة؟ (تذكَّر التعريف المذكور سابقًا)

  • ألا
  • بنعم

س٢٠:

حدِّد أين تكون 󰎨(𞸎)=𞸎٢٣𞸎+٣٤٢ مقعرة لأعلى وأين تكون مقعرة لأسفل.

  • أ الدالة مقعرة لأعلى على الفترة ]١،[ ومقعرة لأسفل على الفترتين ]،١[، ]١،١[
  • ب الدالة مقعرة لأعلى على الفترتين ]،١[، ]١،١[ ومقعرة لأسفل على الفترة ]١،[
  • ج الدالة مقعرة لأعلى على الفترتين ]١،١[، ]١،[ ومقعرة لأسفل على الفترة ]،١[
  • د الدالة مقعرة لأعلى على الفترة ]١،١[ ومقعرة لأسفل على الفترتين ]،١[، ]١،[
  • ه الدالة مقعرة لأعلى على الفترتين ]،١[، ]١،[ ومقعرة لأسفل على الفترة ]١،١[

س٢١:

أوجد الفترات التي يكون فيها منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٥𞸎+١١٤٢ محدبًا لأسفل أو محدبًا لأعلى.‎

  • أالمنحنى محدب لأعلى في الفترة 󰃯،󰋴٥١٦󰃰 ومحدب لأسفل في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰃰
  • بالمنحنى محدب لأسفل في الفترة 󰃯،󰋴٥١٦󰃰 ومحدب لأعلى في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰃰
  • جالمنحنى محدب لأسفل في الفترتين 󰃯،󰋴٥١٦󰃰، 󰃯󰋴٥١٦،󰃰 ومحدب لأعلى في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰋴٥١٦󰃰
  • دالمنحنى محدب لأعلى في الفترتين 󰃯،󰋴٥١٦󰃰، 󰃯󰋴٥١٦،󰋴٥١٦󰃰 ومحدب لأسفل في الفترة 󰃯󰋴٥١٦،󰃰

س٢٢:

أوجد نقطة انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+(𞸎٤)+٢٥.

  • أ نقطة الانقلاب (٥،٢٢)
  • ب نقطة الانقلاب (٤،٨١)
  • ج نقطة الانقلاب (٤،٨١)
  • د نقطة الانقلاب (٤،٠٢)
  • ه نقطة الانقلاب (٣،٤١)

س٢٣:

أوجِد جميع نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=𞸎٢𞸎+٥٤٢.

  • أنقاط الانقلاب عند (١،٤)، (١،٤)، (٠،٥)
  • بنقاط الانقلاب عند (١،٤)، (١،٤)، (٠،٥)
  • جنقاط الانقلاب عند 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬، 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬
  • دنقاط الانقلاب عند 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬، 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬
  • هنقاط الانقلاب عند 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬، 󰃭󰋴٣٣،٠٤٩󰃬

س٢٤:

أوجد الفترات التي يكون فيها منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣𞸎٧𞸎٣٢ محدبًا لأسفل، والفترات التي يكون فيها محدبًا لأعلى.

  • أ المنحنى محدب لأسفل في الفترة ]،١[، ومحدب لأسفل في الفترة ]١،[.
  • ب المنحنى محدب لأسفل في الفترة ]،١[، ومحدب لأعلى في الفترة ]١،[.
  • ج المنحنى محدب لأعلى في الفترة ]،١[، ومحدب لأعلى في الفترة ]١،[.
  • د المنحنى محدب لأعلى في الفترة ]،١[، ومحدب لأسفل في الفترة ]١،[.

س٢٥:

أوجد نقطتي انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢٣𞸎+٤٤٢.

  • أ نقطتا الانقلاب هما 󰂔١،٥٢󰂓، 󰂔١،٥٢󰂓
  • ب نقطتا الانقلاب هما 󰂔١،١١٢󰂓، 󰂔١،١١٢󰂓
  • ج نقطتا الانقلاب هما 󰂔١،٣٢󰂓، 󰂔١،٣٢󰂓
  • د نقطتا الانقلاب هما (١،٢)، (١،٢)
  • ه نقطتا الانقلاب هما (١،٤)، (١،٤)

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.