ملف تدريبي: المشتقات الاتجاهية والتدرج

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد المشتقة الاتجاهية ومتجه التدرج لدالة في متغيِّرين أو ٣ متغيِّرات.

س١:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ عند النقطة في اتجاه .

  • أ
  • ب٤
  • ج
  • د
  • ه

س٢:

أوجِد المشتقة الاتجاهية للدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸤٢𞸑 عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸌=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ ٣ 𞸤 󰋴 ٢
  • ب ٢ 󰋴 ٢ 𞸤
  • ج ٣ 𞸤 󰋴 ٢ ٢
  • د ٢ 𞸤 󰋴 ٢
  • ه ٢ 𞸤 󰋴 ٢ ٢

س٣:

أوجد المُشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸤٢𞸑𞸏 عند النقطة (١،١،١) في اتجاه 𞸌=󰃭١󰋴٣،١󰋴٣،١󰋴٣󰃬.

  • أ ٤ 𞸤
  • ب ٤ 𞸤 󰋴 ٣
  • ج 𞸤 󰋴 ٣
  • د ٣ 𞸤 󰋴 ٣
  • ه ٢ 𞸤 󰋴 ٣

س٤:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸑𞸏 عند النقطة (١،١،١) في اتجاه 󰄮𞸌=󰃭١󰋴٣،١󰋴٣،١󰋴٣󰃬.

  • أ ٣ 󰋴 ٣
  • ب ٣ 󰋴 ٣ ١
  • ج 󰋴 ٣ ١
  • د 󰋴 ٣
  • ه ١ 󰋴 ٣

س٥:

أوجد مشتقة 󰎨(𞸎،𞸑)=١𞸎+𞸑٢٢ الاتجاهية عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸕=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ 󰋴 ٢ ٢
  • ب ٣ 󰋴 ٢ ٢
  • ج 󰋴 ٢ ٢
  • د 󰋴 ٢
  • ه 󰋴 ٢

س٦:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑)=󰋴𞸎+𞸑+٤٢٢ عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸏=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ 󰋴 ٣ ٣
  • ب 󰋴 ٣
  • ج ٣ 󰋴 ٢ ٢
  • د 󰋴 ٢ ٢
  • ه ٢ 󰋴 ٣ ٣

س٧:

أوجد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=󰋴𞸎+𞸑+٤٢٢.

  • أ 󰃭 ٢ 𞸎 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ ، ٢ 𞸑 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ 󰃬 ٢ ٢ ٢ ٢
  • ب 󰃭 𞸑 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ ، 𞸎 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ 󰃬 ٢ ٢ ٢ ٢
  • ج 󰃭 𞸎 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ ، 𞸑 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ 󰃬 ٢ ٢ ٢ ٢
  • د 󰂔 𞸎 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ ، 𞸑 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ 󰂓 ٢ ٢ ٢ ٢
  • ه 󰃭 ٢ 𞸑 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ ، ٢ 𞸎 󰋴 𞸎 + 𞸑 + ٤ 󰃬 ٢ ٢ ٢ ٢

س٨:

نحصل على درجة الحرارة 𞸃 لجسم صلب من الدالة 𞸃(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸤+𞸤+𞸤𞸎٢𞸑٤𞸏؛ حيث 𞸎، 𞸑، 𞸏 إحداثيات الفضاء بالنسبة إلى مركز الجسم. في أي اتجاه من النقطة (٣،١،٢) ستقل درجة الحرارة بشكل أسرع؟

  • أ 𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒٣٢٨
  • ب 𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒٣٢٨
  • ج 𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒١٦٨
  • د 𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒١٦٨

س٩:

في أي اتجاه يكون أسرع تزايد للدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸑+𞸎𞸑٢٣ من النقطة (٢،٣)؟ وفي أي اتجاه يكون أسرع تناقص لها؟ (اكتب إجابتك باستخدام متجهات الوحدة.)

  • أ 󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬
  • ب 󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬
  • ج 󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬
  • د 󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬

س١٠:

افترِض أن الدالة تُعطى بالعلاقة . أيُّ العبارات التالية ليست صوابًا؟

  • أ
  • ب
  • ج
  • د

س١١:

احسب تدرُّج الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=٢𞸎+٥𞸑.

  • أ ( ٢ ، ٥ )
  • ب 󰂔 ١ ٥ ، ١ ٢ 󰂓
  • ج 󰂔 ١ ٢ ، ١ ٥ 󰂓
  • د ( ٥ ، ٢ )
  • ه ( ٢ 𞸎 ، ٥ 𞸑 )

س١٢:

أوجد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎+𞸑١٢٢.

  • أ ( ٢ 𞸑 ١ ، ٢ 𞸎 ١ )
  • ب ( ٢ 𞸎 ١ ، ٢ 𞸑 ١ )
  • ج ( 𞸎 ، 𞸑 )
  • د ( ٢ 𞸎 ، ٢ 𞸑 )
  • ه ( ٢ 𞸑 ، ٢ 𞸎 )

س١٣:

أوجِد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸑.𞸤

  • أ 󰃁 ١ 𞸎 𞸑 ، ١ 𞸎 𞸑 󰃀
  • ب 󰁓 𞸎 ، 𞸑 󰁒 𞸤 𞸤
  • ج ( 𞸎 ، 𞸑 )
  • د 󰃁 ١ 𞸑 ، ١ 𞸎 󰃀
  • ه 󰃁 ١ 𞸎 ، ١ 𞸑 󰃀

س١٤:

احسب تدرج الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸤٢𞸑.

  • أ 󰁓 ٢ 𞸤 ، 𞸎 𞸤 󰁒 𞸑 𞸑
  • ب 󰁓 𞸎 𞸤 ، ٢ 𞸎 𞸤 󰁒 ٢ 𞸑 𞸑
  • ج 󰁓 ٢ 𞸎 𞸤 ، 𞸑 𞸎 𞸤 󰁒 𞸑 ٢ 𞸑
  • د 󰁓 𞸎 𞸤 ، ٢ 𞸤 󰁒 𞸑 𞸑
  • ه 󰁓 ٢ 𞸎 𞸤 ، 𞸎 𞸤 󰁒 𞸑 ٢ 𞸑

س١٥:

أوجِد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=١𞸎+𞸑٢٢.

  • أ 󰃁 ٢ 𞸎 ( 𞸎 + 𞸑 ) ، ٢ 𞸑 ( 𞸎 + 𞸑 ) 󰃀 ٢ ٢ ٢ ٢
  • ب 󰃁 ٢ 𞸎 ( 𞸎 + 𞸑 ) ، ٢ 𞸑 ( 𞸎 + 𞸑 ) 󰃀 ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
  • ج 󰃁 𞸎 ( 𞸎 + 𞸑 ) ، 𞸑 ( 𞸎 + 𞸑 ) 󰃀 ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
  • د 󰃁 ٢ 𞸎 ( 𞸎 + 𞸑 ) ، ٢ 𞸑 ( 𞸎 + 𞸑 ) 󰃀 ٢ ٢ ٢ ٢
  • ه 󰃁 ٢ 𞸎 ( 𞸎 + 𞸑 ) ، ٢ 𞸑 ( 𞸎 + 𞸑 ) 󰃀 ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

س١٦:

احسب المشتقة للدالة 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎+𞸑+𞸏.٢٢٢

  • أ ( 𞸎 ، 𞸑 ، 𞸏 )
  • ب ( ٢ 𞸎 ، ٢ 𞸏 ، ٢ 𞸑 )
  • ج ( ٢ ، ٢ ، ٢ )
  • د ( ٢ 𞸑 ، ٢ 𞸎 ، ٢ 𞸏 )
  • ه ( ٢ 𞸎 ، ٢ 𞸑 ، ٢ 𞸏 )

س١٧:

احسب تدرج 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸤.٢𞸑𞸏

  • أ 󰁓 𞸎 𞸏 𞸤 ، ٢ 𞸎 𞸤 ، 𞸎 𞸑 𞸤 󰁒 ٢ 𞸑 𞸏 𞸑 𞸏 ٢ 𞸑 𞸏
  • ب 󰁓 𞸎 𞸑 𞸤 ، 𞸎 𞸏 𞸤 ، ٢ 𞸎 𞸤 󰁒 ٢ 𞸑 𞸏 ٢ 𞸑 𞸏 𞸑 𞸏
  • ج 󰁓 𞸎 𞸏 𞸤 ، 𞸎 𞸑 𞸤 ، ٢ 𞸎 𞸤 󰁒 ٢ 𞸑 𞸏 ٢ 𞸑 𞸏 𞸑 𞸏
  • د 󰁓 ٢ 𞸎 𞸤 ، 𞸎 𞸏 𞸤 ، 𝑥 𞸑 𞸤 󰁒 𞸑 𞸏 ٢ 𞸑 𞸏 ٢ 𞸑 𞸏
  • ه 󰁓 ٢ 𞸑 𞸤 ، 𞸑 𞸏 𞸤 ، 𞸑 𞸤 󰁒 𞸎 𞸏 ٢ 𞸎 𞸏 ٢ 𞸎 𞸏

س١٨:

أوجد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸑𞸏.

  • أ ( 𞸎 𞸏 𞸎 𞸑 𞸏 ، 𞸑 𞸏 𞸎 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸑 𞸎 𞸑 𞸏 )
  • ب ( 𞸑 𞸏 𞸎 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸑 𞸎 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸏 𞸎 𞸑 𞸏 )
  • ج ( 𞸎 𞸏 ، 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸑 )
  • د ( 𞸑 𞸏 𞸎 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸏 𞸎 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸑 𞸎 𞸑 𞸏 )
  • ه ( 𞸑 𞸏 ، 𞸎 𞸏 ، 𞸎 𞸑 )

س١٩:

احسب التدرُّج لكل

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س٢٠:

أوجد الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)؛ حيث الحقل الاتجاهي 󰄮𞸇(𞸎،𞸑)=󰁓𞸎𞸑،󰎨(𞸎،𞸑)󰁒 هو حقل التدرج.

  • أ 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 𞸎 𞸑 ٢ ٢
  • ب 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 𞸎 ٢ ٢
  • ج 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 𞸎 ٢
  • د 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 𞸑 ٢ ٢
  • ه 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 𞸎 𞸑

س٢١:

افترِض أن 𞸅=𞹟(𝜙(𞸎،𞸑))؛ حيث 𝜙=(𞸎+𞸑،𞸎𞸑،𞸎𞸑)٢٢٢٢. عبِّر عن التدرج 𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓 (المُمثَّل في صورة مصفوفة على النظم ١×٢) بدلالة المصفوفة على النظم ١×٣، وهي مصفوفة 𞹟(𞸔)؛ حيث 𞸔=𝜙󰂔𝜋،٢٣󰂓، ومصفوفة المشتقة الجزئية 𝜙.

  • أ 𞸅 󰂔 𝜋 ، ٢ ٣ 󰂓 = 𞹟 ( 𞸔 ) ٢ 𝜋 ٤ ٣ ٢ 𝜋 ٤ ٣ ٢ ٣ 𝜋
  • ب 𞸅 󰂔 𝜋 ، ٢ ٣ 󰂓 = 𞹟 ( 𞸔 ) 𝜋 ٢ ٣ 𝜋 ٢ ٣ ٢ ٣ 𝜋
  • ج 𞸅 󰂔 𝜋 ، ٢ ٣ 󰂓 = 𞹟 ( 𞸔 ) 𝜋 ٢ ٣ 𝜋 ٢ ٣ ٢ ٣ 𝜋
  • د 𞸅 󰂔 𝜋 ، ٢ ٣ 󰂓 = 𞹟 ( 𞸔 ) ٢ 𝜋 ٤ ٣ ٢ 𝜋 ٤ ٣ ٢ ٣ 𝜋
  • ه 𞸅 󰂔 𝜋 ، ٢ ٣ 󰂓 = 𞹟 ( 𞸔 ) ٢ 𝜋 ٤ ٣ ٢ 𝜋 ٤ ٣ ٢ ٣ 𝜋

س٢٢:

افترِض أن 𞸅=󰎨(𝜙(𞸎،𞸑))؛ حيث 𝜙=󰁓𞸎+𞸑،𞸎𞸑،𞸎𞸑󰁒٢٢٢٢، 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=٠١𞸎+٦𞸑٦١𞸏. بمعلومية وجود خط مستقيم في مستوى 𞸎-𞸑؛ حيث 𞸅=٠، أوجد معادلة هذا الخط المستقيم.

  • أ 𞸑 = 𞸎 ٢
  • ب 𞸑 = 𞸎
  • ج 𞸑 = ٢ 𞸎
  • د 𞸑 = 𞸎
  • ه 𞸑 = ٢ 𞸎

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.