ملف تدريبي: المشتقات الاتجاهية والتدرج

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد مشتقة دوال متعدِّدة المتغيِّرات في اتجاه معطًى (المشتقة الاتجاهية)، وإيجاد متجه تدرج الدالة.

س١:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦−1 عند النقطة (1,1) في اتجاه 𝑣=1√2,1√2.

  • أ√2
  • ب3√2
  • ج4√2
  • د4
  • ه2√2

س٢:

أوجِد المشتقة الاتجاهية للدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸤٢𞸑 عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸌=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ٣𞸤󰋴٢
  • ب٢󰋴٢𞸤
  • ج٣𞸤󰋴٢٢
  • د٢𞸤󰋴٢
  • ه٢𞸤󰋴٢٢

س٣:

أوجد المُشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸤٢𞸑𞸏 عند النقطة (١،١،١) في اتجاه 𞸌=󰃭١󰋴٣،١󰋴٣،١󰋴٣󰃬.

  • أ٤𞸤
  • ب٤𞸤󰋴٣
  • ج𞸤󰋴٣
  • د٣𞸤󰋴٣
  • ه٢𞸤󰋴٣

س٤:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑦𝑧sin عند النقطة (1,1,1) في اتجاه ⃑𝑣=1√3,1√3,1√3.

  • أ3√31cos
  • بcos1√3
  • ج√31cos
  • د√3
  • ه3√3

س٥:

أوجد مشتقة 𝑓(𝑥,𝑦)=1𝑥+𝑦 الاتجاهية عند النقطة (1,1) في اتجاه 𝑣=1√2,1√2.

  • أ√2
  • ب√22
  • ج−√22
  • د−√2
  • ه−3√22

س٦:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 𝑓(𝑥,𝑦)=√𝑥+𝑦+4 عند النقطة (1,1) في اتجاه 𝑣=1√2,1√2.

  • أ2√33
  • ب√33
  • ج√3
  • د3√22
  • ه√22

س٧:

أوجد تدرُّج الدالة 𝑓(𝑥,𝑦)=√𝑥+𝑦+4.

  • أ𝑥√𝑥+𝑦+4,𝑦√𝑥+𝑦+4
  • ب𝑥√𝑥+𝑦+4,𝑦√𝑥+𝑦+4
  • ج2𝑥√𝑥+𝑦+4,2𝑦√𝑥+𝑦+4
  • د2𝑦√𝑥+𝑦+4,2𝑥√𝑥+𝑦+4
  • ه𝑦√𝑥+𝑦+4,𝑥√𝑥+𝑦+4

س٨:

نحصل على درجة الحرارة 𝑇 لجسم صلب من الدالة 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑒+𝑒+𝑒؛ حيث 𝑥، 𝑦، 𝑧 إحداثيات الفضاء بالنسبة إلى مركز الجسم. في أي اتجاه من النقطة (3,1,2) ستقل درجة الحرارة بشكل أسرع؟

  • أ𝑇 ستقل أسرع في اتجاه −𝑒,−2𝑒,4𝑒
  • ب𝑇 ستقل أسرع في اتجاه 𝑒,2𝑒,−4𝑒
  • ج𝑇 ستقل أسرع في اتجاه 𝑒,2𝑒,−4𝑒
  • د𝑇 ستقل أسرع في اتجاه −𝑒,−2𝑒,4𝑒

س٩:

في أي اتجاه يكون أسرع تزايد للدالة 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦+𝑥𝑦 من النقطة (2,3)؟ وفي أي اتجاه يكون أسرع تناقص لها؟ (اكتب إجابتك باستخدام متجهات الوحدة.)

  • أ𝑓 لها أسرع تزايد في اتجاه 29√941,10√941، ولها أسرع تناقص في اتجاه −29√941,−10√941
  • ب𝑓 لها أسرع تزايد في اتجاه −29√941,−10√941، ولها أسرع تناقص في اتجاه 29√941,10√941
  • ج𝑓 لها أسرع تزايد في اتجاه 9√97,4√97، ولها أسرع تناقص في اتجاه −9√97,−4√97
  • د𝑓 لها أسرع تزايد في اتجاه −9√97,−4√97، ولها أسرع تناقص في اتجاه 9√97,4√97

س١٠:

افترِض أن الدالة 𝑓ℝ→ℝ: تُعطى بالعلاقة 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦sin. أيُّ العبارات التالية ليست صوابًا؟

  • أ𝐷𝑓(𝑥,𝑦)=𝐷𝑓(𝑥,𝑦)=0
  • ب𝐷𝑓(𝑥,𝑦)=𝑦sin
  • ج𝐷𝑓(𝑥,𝑦)=𝐷𝑓(𝑥,𝑦)
  • د(𝐷𝑓(𝑥,𝑦))+(𝐷𝑓(𝑥,𝑦))=1

س١١:

احسب تدرُّج الدالة 𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥+5𝑦.

  • أ15,12
  • ب12,15
  • ج(2𝑥,5𝑦)
  • د(2,5)
  • ه(5,2)

س١٢:

أوجد تدرُّج 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦−1.

  • أ(𝑥,𝑦)
  • ب(2𝑦−1,2𝑥−1)
  • ج(2𝑥−1,2𝑦−1)
  • د(2𝑦,2𝑥)
  • ه(2𝑥,2𝑦)

س١٣:

أوجِد تدرُّج 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦.ln

  • أ1𝑥𝑦,1𝑥𝑦
  • ب1𝑥,1𝑦
  • ج(𝑥,𝑦)lnln
  • د(𝑥,𝑦)
  • ه1𝑦,1𝑥

س١٤:

احسب تدرج الدالة 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑒.

  • أ(2𝑒,𝑥𝑒)
  • ب2𝑥𝑒,𝑦𝑥𝑒
  • ج2𝑥𝑒,𝑥𝑒
  • د𝑥𝑒,2𝑥𝑒
  • ه(𝑥𝑒,2𝑒)

س١٥:

أوجِد تدرُّج 𝑓(𝑥,𝑦)=1𝑥+𝑦.

  • أ2𝑥(𝑥+𝑦),2𝑦(𝑥+𝑦)
  • ب−2𝑥(𝑥+𝑦),−2𝑦(𝑥+𝑦)
  • ج−𝑥(𝑥+𝑦),−𝑦(𝑥+𝑦)
  • د2𝑥(𝑥+𝑦),−2𝑦(𝑥+𝑦)
  • ه−2𝑥(𝑥+𝑦),2𝑦(𝑥+𝑦)

س١٦:

احسب المشتقة للدالة 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎+𞸑+𞸏.٢٢٢

  • أ(𞸎،𞸑،𞸏)
  • ب(٢𞸎،٢𞸏،٢𞸑)
  • ج(٢،٢،٢)
  • د(٢𞸑،٢𞸎،٢𞸏)
  • ه(٢𞸎،٢𞸑،٢𞸏)

س١٧:

احسب تدرج 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑒.

  • أ2𝑥𝑒,𝑥𝑧𝑒,𝑥𝑦𝑒
  • ب𝑥𝑧𝑒,2𝑥𝑒,𝑥𝑦𝑒
  • ج𝑥𝑧𝑒,𝑥𝑦𝑒,2𝑥𝑒
  • د𝑥𝑦𝑒,𝑥𝑧𝑒,2𝑥𝑒
  • ه2𝑦𝑒,𝑦𝑧𝑒,𝑦𝑒

س١٨:

أوجد تدرُّج 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑦𝑧.sin

  • أ(𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧,𝑥𝑧𝑥𝑦𝑧,𝑥𝑦𝑥𝑦𝑧)coscoscos
  • ب(𝑦𝑧,𝑥𝑧,𝑥𝑦)
  • ج(𝑥𝑧,𝑦𝑧,𝑥𝑦)
  • د(𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧,𝑥𝑦𝑥𝑦𝑧,𝑥𝑧𝑥𝑦𝑧)coscoscos
  • ه(𝑥𝑧𝑥𝑦𝑧,𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧,𝑥𝑦𝑥𝑦𝑧)coscoscos

س١٩:

احسب التدرُّج لكل 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=√𝑥+𝑦+𝑧.

  • أ𝑥𝑥+𝑦+𝑧,𝑦𝑥+𝑦+𝑧,𝑧𝑥+𝑦+𝑧
  • ب𝑦√𝑥+𝑦+𝑧,𝑥√𝑥+𝑦+𝑧,𝑧√𝑥+𝑦+𝑧
  • ج𝑥√𝑥+𝑦+𝑧,𝑧√𝑥+𝑦+𝑧,𝑦√𝑥+𝑦+𝑧
  • د1√𝑥+𝑦+𝑧,1√𝑥+𝑦+𝑧,1√𝑥+𝑦+𝑧
  • ه𝑥√𝑥+𝑦+𝑧,𝑦√𝑥+𝑦+𝑧,𝑧√𝑥+𝑦+𝑧

س٢٠:

أوجد الدالة 𝑄(𝑥,𝑦)؛ حيث الحقل الاتجاهي ⃑𝐹(𝑥,𝑦)=(𝑥𝑦,𝑄(𝑥,𝑦)) هو حقل التدرج.

  • أ𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦
  • ب𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥
  • ج𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦2
  • د𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥2
  • ه𝑄(𝑥,𝑦)=𝑦2

س٢١:

افترِض أن 𝑤=𝐹(𝜙(𝑥,𝑦))؛ حيث 𝜙=(𝑥+𝑦,𝑥−𝑦,𝑥𝑦). عبِّر عن التدرج ∇𝑤𝜋,−23 (المُمثَّل في صورة مصفوفة على النظم 1×2) بدلالة المصفوفة على النظم 1×3، وهي مصفوفة ∇𝐹(𝑞)؛ حيث 𝑞=𝜙𝜋,−23، ومصفوفة المشتقة الجزئية 𝜙.

  • أ∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2𝜋432𝜋−43−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • ب∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2𝜋−432𝜋−43−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • ج∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2𝜋−432𝜋43−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • د∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝜋−23𝜋23−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • ه∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝜋−23𝜋−23−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠

س٢٢:

افترِض أن 𞸅=󰎨(𝜙(𞸎،𞸑))؛ حيث 𝜙=󰁓𞸎+𞸑،𞸎−𞸑،𞸎𞸑󰁒٢٢٢٢، 󰎨(𞸋،𞸐،𞸓)=٠١𞸋+٦𞸐−٦١𞸓. بمعلومية وجود خط مستقيم في مستوى 𞸎-𞸑؛ حيث ∇𞸅=٠، أوجد معادلة هذا الخط المستقيم.

  • أ𞸑=𞸎
  • ب𞸑=٢𞸎
  • ج𞸑=𞸎٢
  • د𞸑=−٢𞸎
  • ه𞸑=−𞸎

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.