ورقة تدريب الدرس: المشتقات الاتجاهية والتدرج الرياضيات

البدء في التمرين

في ورقة التدريب هذه، سوف نتدرَّب على إيجاد مشتقة دوال متعدِّدة المتغيِّرات في اتجاه معطًى (المشتقة الاتجاهية)، وإيجاد متجه تدرج الدالة.

س١:

أوجد الدالة 𝑄(𝑥,𝑦)؛ حيث الحقل الاتجاهي ⃑𝐹(𝑥,𝑦)=(𝑥𝑦,𝑄(𝑥,𝑦)) هو حقل التدرج.

  • أ𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦
  • ب𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥
  • ج𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦2
  • د𝑄(𝑥,𝑦)=𝑥2
  • ه𝑄(𝑥,𝑦)=𝑦2

س٢:

افترِض أن 𝑤=𝐹(𝜙(𝑥,𝑦))؛ حيث 𝜙=(𝑥+𝑦,𝑥−𝑦,𝑥𝑦). عبِّر عن التدرج ∇𝑤𝜋,−23 (المُمثَّل في صورة مصفوفة على النظم 1×2) بدلالة المصفوفة على النظم 1×3، وهي مصفوفة ∇𝐹(𝑞)؛ حيث 𝑞=𝜙𝜋,−23، ومصفوفة المشتقة الجزئية 𝜙.

  • أ∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2𝜋432𝜋−43−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • ب∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2𝜋−432𝜋−43−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • ج∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2𝜋−432𝜋43−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • د∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝜋−23𝜋23−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • ه∇𝑤𝜋,−23=∇𝐹(𝑞)⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝜋−23𝜋−23−23𝜋⎞⎟⎟⎟⎟⎠

س٣:

افترِض أن 𞸅=󰎨(𝜙(𞸎،𞸑))؛ حيث 𝜙=󰁓𞸎+𞸑،𞸎−𞸑،𞸎𞸑󰁒٢٢٢٢، 󰎨(𞸋،𞸐،𞸓)=٠١𞸋+٦𞸐−٦١𞸓. بمعلومية وجود خط مستقيم في مستوى 𞸎-𞸑؛ حيث ∇𞸅=٠، أوجد معادلة هذا الخط المستقيم.

  • أ𞸑=𞸎
  • ب𞸑=٢𞸎
  • ج𞸑=𞸎٢
  • د𞸑=−٢𞸎
  • ه𞸑=−𞸎

س٤:

قاعدة السلسلة لتركيب المنحنى 𝜙(𞸍)=(𞸎(𞸍)،𞸑(𞸍)) والدالة 󰎨(𞸎،𞸑) تشير إلى أن 𞸃𞸃𞸍󰎨(𝜙(𞸍))=∇󰎨×𝜙′(𞸍)؛ حيث ∇󰎨(𞸎،𞸑) يمثِّل تدرج 󰎨. لدينا الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎+𞸑٢٢ والمنحنى 𝜙(𞸍)=((٢𞸍)،(𞸍))ﺟﺎﺟﺘﺎ. عند نقاط محددة، مثل نقطة الأصل، أو النقطتين أ، 𞸁 في الشكل؛ 𞸃𞸃𞸍󰁓󰎨(𝜙(𞸍))󰁒=٠.

أوجد البارامترين 𞸍،𞸍∈]٠،٢𝜋]أ𞸁 للنقطتين أ، 𞸁. وضِّح إجابتك بدلالة ﺟﺘﺎ−١.

  • أ𞸍=١٢󰂔١٤󰂓أﺟﺘﺎ−١، 𞸍=٢𝜋𞸁
  • ب𞸍=󰂔١٢󰂓أﺟﺘﺎ−١، 𞸍=𝜋٢𞸁
  • ج𞸍=١٢󰂔١٢󰂓أﺟﺘﺎ−١، 𞸍=٢𝜋𞸁
  • د𞸍=١٤󰃭󰋺١٢󰃬أﺟﺘﺎ−١، 𞸍=𝜋𞸁
  • ه𞸍=󰂔١٤󰂓أﺟﺘﺎ−١، 𞸍=𝜋٢𞸁

س٥:

افترِض أن 𞹟=󰎨(𝜙(𞸓،𞸍)) مع 𝜙=󰁓𝜙،𝜙،𝜙󰁒١٢٣ مُعطاة من خلال التحويل الخطي 𝜙(𞸓،𞸍)=(󰏡𞸓+𞸁𞸍،𞸢𞸓+𞸃𞸍،𞸤𞸓+𞸅𞸍)؛ حيث 󰏡،…،𞸅 ثوابت.

ما 𝜙(𞸓،𞸍)٢؟

  • أ𞸤𞸓+𞸅𞸍
  • ب𞸢𞸓+𞸃𞸍
  • ج󰏡𞸓+𞸁𞸍

إذا اعتبرنا أن المجالين 𞹇٢ من 𝜙، 𞹇٣ من 󰎨 مُتكوِّنان من متجهات العمود، يُمكِن كتابة 𝜙 في صورة ضرب في المصفوفة. ما هذه المصفوفة؟

  • أ󰃭󰏡𞸃𞸁𞸤𞸢𞸅󰃬
  • ب󰃁󰏡𞸢𞸤𞸁𞸃𞸅󰃀
  • ج󰃁𞸁𞸃𞸅󰏡𞸢𞸤󰃀
  • د󰃭𞸁󰏡𞸃𞸢𞸅𞸤󰃬
  • ه󰃭󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅󰃬

توجد ٦ مشتقات جزئية لـ 𝜙. أوجد قيمة 𝜕𝜙𝜕𞸍󰂔𝜋،−٢٣󰂓٣.

  • أ𞸤
  • ب𝜋𞸓−٢٣𞸅
  • ج𞸅
  • د𝜋𞸓+𞸅
  • ه−٢٣𞸅

يُمكِن أيضًا النظر إلى تدرُّج ∇󰎨 لـ 󰎨 عند النقطة (١،٢،٣) لـ 𞹇٣ باعتباره مطابقة خطية في 𞹇. ما المصفوفة من الرتبة ١×٣ المُناظِرة؟

  • أ󰂔𝜕󰎨𝜕𞸏(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸑(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸎(١،٢،٣)󰂓
  • ب󰂔𝜕󰎨𝜕𞸑(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸏(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸎(١،٢،٣)󰂓
  • ج⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝜕󰎨𝜕𞸎(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸑(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸏(١،٢،٣)⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • د⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝜕󰎨𝜕𞸑(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸏(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸎(١،٢،٣)⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • ه󰂔𝜕󰎨𝜕𞸎(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸑(١،٢،٣)𝜕󰎨𝜕𞸏(١،٢،٣)󰂓

الآن 𞹟=󰎨(󰏡𞸓+𞸁𞸍،𞸢𞸓+𞸃𞸍،𞸤𞸓+𞸅𞸍) دالة من 𞹇٢ إلى 𞹇 بتدرُّج تُمثِّله مصفوفة من الرتبة ١×٢. بكتابة 𞸋 لكلِّ 𝜙󰂔𝜋،−٢٣󰂓، ما هذه المصفوفة عند النقطة 󰂔𝜋،−٢٣󰂓؟

  • أ󰂔󰏡𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸁𝜕󰎨𝜕𞸑(𞸋)+𞸢𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)𞸃𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸤𝜕󰎨𝜕𞸑+𞸅𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)󰂓
  • ب󰂔𞸁𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸃𝜕󰎨𝜕𞸑(𞸋)+𞸅𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)󰏡𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸢𝜕󰎨𝜕𞸑+𞸤𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)󰂓
  • ج󰂔󰏡𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸢𝜕󰎨𝜕𞸑(𞸋)+𞸤𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)𞸁𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸃𝜕󰎨𝜕𞸑+𞸅𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)󰂓
  • د⎞⎟⎟⎟⎠󰏡𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸢𝜕󰎨𝜕𞸑(𞸋)+𞸤𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)𞸁𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸃𝜕󰎨𝜕𞸑+𞸅𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)⎛⎜⎜⎜⎝
  • ه⎞⎟⎟⎟⎠𞸁𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸃𝜕󰎨𝜕𞸑(𞸋)+𞸅𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)󰏡𝜕󰎨𝜕𞸎(𞸋)+𞸢𝜕󰎨𝜕𞸑+𞸤𝜕󰎨𝜕𞸏(𞸋)⎛⎜⎜⎜⎝

اكتب معادلة مصفوفية تربط ∇𞹟󰂔𝜋،−٢٣󰂓 بـ ∇󰎨(𞸋).

  • أ∇𞹟󰂔𝜋،−٢٣󰂓=∇󰎨(𞸋)×󰃭󰏡𞸃𞸁𞸤𞸢𞸅󰃬
  • ب∇𞹟󰂔𝜋،−٢٣󰂓=∇󰎨(𞸋)×󰃭󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅󰃬
  • ج∇𞹟󰂔𝜋،−٢٣󰂓=∇󰎨(𞸋)×󰃭𞸁󰏡𞸃𞸢𞸅𝑒󰃬
  • د∇𞹟󰂔𝜋،−٢٣󰂓=∇󰎨(𞸋)×󰃁󰏡𞸢𝑒𝑏𝑑𝑓󰃀
  • ه∇𞹟󰂔𝜋،−٢٣󰂓=∇󰎨(𞸋)×󰃁𞸁𞸃𞸅󰏡𞸢𞸤󰃀

الممارسة مفتاحك للتفوق.

تدرَّب يوميًا على عدد من الأسئلة المجانية للحصول على أعلى الدرجات. حمِّل تطبيق Nagwa Practice الآن!

امسح الكود!

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.