ملف تدريبي: المشتقات الاتجاهية والتدرج

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد مشتقة دوال متعدِّدة المتغيِّرات في اتجاه معطًى (المشتقة الاتجاهية)، وإيجاد متجه تدرج الدالة.

س١:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ عند النقطة في اتجاه .

  • أ
  • ب٤
  • ج
  • د
  • ه

س٢:

أوجِد المشتقة الاتجاهية للدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸤٢𞸑 عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸌=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ٣𞸤󰋴٢
  • ب٢󰋴٢𞸤
  • ج٣𞸤󰋴٢٢
  • د٢𞸤󰋴٢
  • ه٢𞸤󰋴٢٢

س٣:

أوجد المُشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸤٢𞸑𞸏 عند النقطة (١،١،١) في اتجاه 𞸌=󰃭١󰋴٣،١󰋴٣،١󰋴٣󰃬.

  • أ٤𞸤
  • ب٤𞸤󰋴٣
  • ج𞸤󰋴٣
  • د٣𞸤󰋴٣
  • ه٢𞸤󰋴٣

س٤:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸑𞸏 عند النقطة (١،١،١) في اتجاه 󰄮𞸌=󰃭١󰋴٣،١󰋴٣،١󰋴٣󰃬.

  • أ٣󰋴٣
  • ب٣󰋴٣١
  • ج󰋴٣١
  • د󰋴٣
  • ه١󰋴٣

س٥:

أوجد مشتقة 󰎨(𞸎،𞸑)=١𞸎+𞸑٢٢ الاتجاهية عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸕=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ󰋴٢٢
  • ب٣󰋴٢٢
  • ج󰋴٢٢
  • د󰋴٢
  • ه󰋴٢

س٦:

أوجد المشتقة الاتجاهية لـ 󰎨(𞸎،𞸑)=󰋴𞸎+𞸑+٤٢٢ عند النقطة (١،١) في اتجاه 𞸏=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬.

  • أ󰋴٣٣
  • ب󰋴٣
  • ج٣󰋴٢٢
  • د󰋴٢٢
  • ه٢󰋴٣٣

س٧:

أوجد تدرُّج الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=󰋴𞸎+𞸑+٤٢٢.

  • أ󰃭𞸎󰋴𞸎+𞸑+٤،𞸑󰋴𞸎+𞸑+٤󰃬٢٢٢٢
  • ب󰂔𞸎󰋴𞸎+𞸑+٤،𞸑󰋴𞸎+𞸑+٤󰂓٢٢٢٢
  • ج󰃭٢𞸎󰋴𞸎+𞸑+٤،٢𞸑󰋴𞸎+𞸑+٤󰃬٢٢٢٢
  • د󰃭٢𞸑󰋴𞸎+𞸑+٤،٢𞸎󰋴𞸎+𞸑+٤󰃬٢٢٢٢
  • ه󰃭𞸑󰋴𞸎+𞸑+٤،𞸎󰋴𞸎+𞸑+٤󰃬٢٢٢٢

س٨:

نحصل على درجة الحرارة 𞸃 لجسم صلب من الدالة 𞸃(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸤+𞸤+𞸤𞸎٢𞸑٤𞸏؛ حيث 𞸎، 𞸑، 𞸏 إحداثيات الفضاء بالنسبة إلى مركز الجسم. في أي اتجاه من النقطة (٣،١،٢) ستقل درجة الحرارة بشكل أسرع؟

  • أ𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒٣٢٨
  • ب𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒٣٢٨
  • ج𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒١٦٨
  • د𞸃 ستقل أسرع في اتجاه 󰁓𞸤،٢𞸤،٤𞸤󰁒١٦٨

س٩:

في أي اتجاه يكون أسرع تزايد للدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸑+𞸎𞸑٢٣ من النقطة (٢،٣)؟ وفي أي اتجاه يكون أسرع تناقص لها؟ (اكتب إجابتك باستخدام متجهات الوحدة.)

  • أ󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬
  • ب󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩٢󰋴١٤٩،٠١󰋴١٤٩󰃬
  • ج󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬
  • د󰎨 لها أسرع تزايد في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬، ولها أسرع تناقص في اتجاه 󰃭٩󰋴٧٩،٤󰋴٧٩󰃬

س١٠:

افترِض أن الدالة تُعطى بالعلاقة . أيُّ العبارات التالية ليست صوابًا؟

  • أ
  • ب
  • ج
  • د

س١١:

احسب تدرُّج الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=٢𞸎+٥𞸑.

  • أ(٢،٥)
  • ب󰂔١٥،١٢󰂓
  • ج󰂔١٢،١٥󰂓
  • د(٥،٢)
  • ه(٢𞸎،٥𞸑)

س١٢:

أوجد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎+𞸑١٢٢.

  • أ(𞸎،𞸑)
  • ب(٢𞸑١،٢𞸎١)
  • ج(٢𞸎١،٢𞸑١)
  • د(٢𞸑،٢𞸎)
  • ه(٢𞸎،٢𞸑)

س١٣:

أوجِد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸑.𞸤

  • أ󰃁١𞸎𞸑،١𞸎𞸑󰃀
  • ب󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸤𞸤
  • ج(𞸎،𞸑)
  • د󰃁١𞸑،١𞸎󰃀
  • ه󰃁١𞸎،١𞸑󰃀

س١٤:

احسب تدرج الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸤٢𞸑.

  • أ󰁓٢𞸤،𞸎𞸤󰁒𞸑𞸑
  • ب󰁓𞸎𞸤،٢𞸎𞸤󰁒٢𞸑𞸑
  • ج󰁓٢𞸎𞸤،𞸑𞸎𞸤󰁒𞸑٢𞸑
  • د󰁓𞸎𞸤،٢𞸤󰁒𞸑𞸑
  • ه󰁓٢𞸎𞸤،𞸎𞸤󰁒𞸑٢𞸑

س١٥:

أوجِد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑)=١𞸎+𞸑٢٢.

  • أ󰃁٢𞸎(𞸎+𞸑)،٢𞸑(𞸎+𞸑)󰃀٢٢٢٢
  • ب󰃁٢𞸎(𞸎+𞸑)،٢𞸑(𞸎+𞸑)󰃀٢٢٢٢٢٢
  • ج󰃁𞸎(𞸎+𞸑)،𞸑(𞸎+𞸑)󰃀٢٢٢٢٢٢
  • د󰃁٢𞸎(𞸎+𞸑)،٢𞸑(𞸎+𞸑)󰃀٢٢٢٢
  • ه󰃁٢𞸎(𞸎+𞸑)،٢𞸑(𞸎+𞸑)󰃀٢٢٢٢٢٢

س١٦:

احسب المشتقة للدالة 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎+𞸑+𞸏.٢٢٢

  • أ(𞸎،𞸑،𞸏)
  • ب(٢𞸎،٢𞸏،٢𞸑)
  • ج(٢،٢،٢)
  • د(٢𞸑،٢𞸎،٢𞸏)
  • ه(٢𞸎،٢𞸑،٢𞸏)

س١٧:

احسب تدرج 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸤.٢𞸑𞸏

  • أ󰁓𞸎𞸏𞸤،٢𞸎𞸤،𞸎𞸑𞸤󰁒٢𞸑𞸏𞸑𞸏٢𞸑𞸏
  • ب󰁓𞸎𞸑𞸤،𞸎𞸏𞸤،٢𞸎𞸤󰁒٢𞸑𞸏٢𞸑𞸏𞸑𞸏
  • ج󰁓𞸎𞸏𞸤،𞸎𞸑𞸤،٢𞸎𞸤󰁒٢𞸑𞸏٢𞸑𞸏𞸑𞸏
  • د󰁓٢𞸎𞸤،𞸎𞸏𞸤،𝑥𞸑𞸤󰁒𞸑𞸏٢𞸑𞸏٢𞸑𞸏
  • ه󰁓٢𞸑𞸤،𞸑𞸏𞸤،𞸑𞸤󰁒𞸎𞸏٢𞸎𞸏٢𞸎𞸏

س١٨:

أوجد تدرُّج 󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸎𞸑𞸏.

  • أ(𞸎𞸏𞸎𞸑𞸏،𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏،𞸎𞸑𞸎𞸑𞸏)
  • ب(𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏،𞸎𞸑𞸎𞸑𞸏،𞸎𞸏𞸎𞸑𞸏)
  • ج(𞸎𞸏،𞸑𞸏،𞸎𞸑)
  • د(𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏،𞸎𞸏𞸎𞸑𞸏،𞸎𞸑𞸎𞸑𞸏)
  • ه(𞸑𞸏،𞸎𞸏،𞸎𞸑)

س١٩:

احسب التدرُّج لكل

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س٢٠:

أوجد الدالة 󰎨(𞸎،𞸑)؛ حيث الحقل الاتجاهي 󰄮𞸇(𞸎،𞸑)=󰁓𞸎𞸑،󰎨(𞸎،𞸑)󰁒 هو حقل التدرج.

  • أ󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸑٢٢
  • ب󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎٢٢
  • ج󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎٢
  • د󰎨(𞸎،𞸑)=𞸑٢٢
  • ه󰎨(𞸎،𞸑)=𞸎𞸑

س٢١:

افترِض أن 𞸅=𞹟(𝜙(𞸎،𞸑))؛ حيث 𝜙=(𞸎+𞸑،𞸎𞸑،𞸎𞸑)٢٢٢٢. عبِّر عن التدرج 𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓 (المُمثَّل في صورة مصفوفة على النظم ١×٢) بدلالة المصفوفة على النظم ١×٣، وهي مصفوفة 𞹟(𞸔)؛ حيث 𞸔=𝜙󰂔𝜋،٢٣󰂓، ومصفوفة المشتقة الجزئية 𝜙.

  • أ𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓=𞹟(𞸔)٢𝜋٤٣٢𝜋٤٣٢٣𝜋
  • ب𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓=𞹟(𞸔)𝜋٢٣𝜋٢٣٢٣𝜋
  • ج𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓=𞹟(𞸔)𝜋٢٣𝜋٢٣٢٣𝜋
  • د𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓=𞹟(𞸔)٢𝜋٤٣٢𝜋٤٣٢٣𝜋
  • ه𞸅󰂔𝜋،٢٣󰂓=𞹟(𞸔)٢𝜋٤٣٢𝜋٤٣٢٣𝜋

س٢٢:

افترِض أن 𞸅=󰎨(𝜙(𞸎،𞸑))؛ حيث 𝜙=󰁓𞸎+𞸑،𞸎𞸑،𞸎𞸑󰁒٢٢٢٢، 󰎨(𞸋،𞸐،𞸓)=٠١𞸋+٦𞸐٦١𞸓. بمعلومية وجود خط مستقيم في مستوى 𞸎-𞸑؛ حيث 𞸅=٠، أوجد معادلة هذا الخط المستقيم.

  • أ𞸑=𞸎
  • ب𞸑=٢𞸎
  • ج𞸑=𞸎٢
  • د𞸑=٢𞸎
  • ه𞸑=𞸎

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.