ملف تدريبي: نظرية جرين

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تطبيق نظرية جرين لإيجاد قيمة تكامل خطي حول منحنًى مغلق في صورة تكامل ثنائي على المنطقة المستوية المحدودة بالمنحنى.

س١:

افترض أن 𞸢 دائرة معادلتها 𞸎+𞸑=١٢٢. استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة 󰏈٢𞸑𞸃𞸎٣𞸎𞸃𞸑𞸢؛ حيث 𞸢 منقولة عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٥𝜋
  • ب𝜋
  • ج٥𝜋
  • د٠١𝜋
  • ه٠١𝜋

س٢:

استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة التكامل الخطي 󰏈󰁓𞸎𞸑󰁒𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢٢؛ حيث 𞸌 منحنًى يحدُّ المنطقة 𞸒=󰁙(𞸎،𞸑)٠𞸎١،٢𞸎𞸑٢𞸎󰁘٢، والمنحنى 𞸌 عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٨٥١
  • ب٦١٥١
  • ج٠
  • د٦١٥١
  • ه٨٥١

س٣:

استخدِم نظرية جرين لإيجاد قيمة التكامل الخطي 󰏈𞸎𞸑𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢؛ حيث 𞸌 يُمثِّل حد 𞹇=󰁙(𞸎،𞸑)٠𞸎١،𞸎𞸑𞸎󰁘٢، عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٠
  • ب١٢١
  • ج٥٢١
  • د١٢١
  • ه٥٢١

س٤:

افترِض أن 𞸌 منحنى حدِّي للمثلث الذي رءوسه (٠،٠)،(٤،٠)، (٠،٤). استخدِم نظرية غرين لإيجاد قيمة 󰏈󰂔𞸤+𞸑󰂓𞸃𞸎+󰂔𞸤+𞸎󰂓𞸃𞸑𞸌𞸎٢𞸑٢٢٢؛ حيث اتجاه 𞸌 عكس اتجاه عقارب الساعة.

س٥:

احسب 󰏈󰁓𞸎+𞸑󰁒𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢٢؛ حيث 𞸌𞸎=𞸍،𞸑=𞸍،٠𞸍٢𝜋.

س٦:

أوجد قيمة 󰏈𞸎𞸃𞸎+𞸑𞸃𞸑𞸌؛ حيث 𞸌𞸎=٢𞸍،𞸑=٣𞸍، ٠𞸍٢𝜋.

  • أ١٢
  • ب٢𝜋
  • ج٠
  • د٢𝜋
  • ه١٢

س٧:

افترض أن 𞸌 الحد المحيط بالمستطيل الذي رءوسه (١،١)،(١،١)،(١،١)، (١،١). استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة 󰏈𞸤𞸑𞸃𞸎+󰁓𞸑+𞸤𞸑󰁒𞸃𞸑𞸌𞸎٣𞸎؛ حيث 𞸌 يتحرَّك عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٢󰁓(١)(١)󰁒󰂔𞸤١𞸤󰂓
  • ب٢󰁓(١)+(١)󰁒󰂔𞸤+١𞸤󰂓
  • ج١󰁓(١)(١)󰁒󰂔٢𞸤١𞸤󰂓
  • د٠
  • ه٢󰁓(١)+(١)󰁒󰂔𞸤١𞸤󰂓

س٨:

استخدِم نظرية جرين لتحديد شروط 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 التي تجعل الحقل الاتجاهي 󰄮󰎨(𞸎،𞸑)=(󰏡𞸎+𞸁𞸑،𞸢𞸎+𞸃𞸑) مُحافِظًا. في تلك الحالة، ما دالة الجهد 󰎨(𞸎،𞸑) لكل 󰄮󰎨 التي تُحقِّق 󰎨(٠،٠)=٠؟

  • أ𞸢=𞸁،󰎨(𞸎،𞸑)=󰏡٢𞸎𞸁𞸎𞸑+𞸃٢𞸑٢٢
  • ب𞸢=𞸁،󰎨(𞸎،𞸑)=󰏡𞸎+𞸁𞸎𞸑+𞸃𞸑٢٢
  • ج𞸢=𞸁،󰎨(𞸎،𞸑)=󰏡٢𞸎+٢𞸁𞸎𞸑+𞸃٢𞸑٢٢
  • د𞸢=𞸁،󰎨(𞸎،𞸑)=󰏡٢𞸎+𞸁𞸎𞸑+𞸃٢𞸑٢٢
  • ه𞸢=𞸁،󰎨(𞸎،𞸑)=󰏡٢𞸎٢𞸁𞸎𞸑+𞸃٢𞸑٢٢

س٩:

استخدِم نظرية جرين لإيجاد 󰏅󰄮󰄮𞹟×𞸃󰄮𞸓𞸌؛ حيث 𞸌 دائرة نصف قطرها 𞸓 ومركزها عند نقطة الأصل، 󰄮󰄮𞹟(𞸎،𞸑)=(٢𞸎+٥𞸑،٢𞸎+٧𞸑).

  • أ٢𝜋𞸓٢
  • ب٥𝜋𞸓٢
  • ج٣𝜋𞸓٢
  • د٥𝜋𞸓٢
  • ه٣𝜋𞸓٢

س١٠:

يوضِّح الرسم البياني 󰎨(𞸎)=٣󰂔𞸎+١٣󰂓(𞸎١) في الفترة [٠،١]. افترِض أن 𞸍 هي المنطقة المُظلَّلة، 𞸌 المسار الذي يحُدُّها، عكس عقارب الساعة. افترِض أن 󰄮𞸇(𞸎،𞸑)=𞸑󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑.

استخدِم نظرية جرين لحساب 󰏈󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𞸌.

احسب 󰏅󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𞸌١؛ حيث يكون 𞸌١ هو الخط من 󰏡 إلى 𞸁.

احسب 󰏅󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𞸌٢؛ حيث يكون 𞸌٢ هو المنحنى من 𞸁 إلى 𞸢.

احسب 󰏅󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𝐶٣؛ حيث يكون 𞸌٣ هو الخط من 𞸢 إلى 󰏡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.