ملف تدريبي: نظرية جرين

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تطبيق نظرية جرين لإيجاد قيمة تكامل خطي حول منحنًى مغلق في صورة تكامل ثنائي على المنطقة المستوية المحدودة بالمنحنى.

س١:

افترض أن 𞸢 دائرة معادلتها 𞸎+𞸑=١٢٢. استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة 󰏈٢𞸑𞸃𞸎٣𞸎𞸃𞸑𞸢؛ حيث 𞸢 منقولة عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ ٥ 𝜋
  • ب 𝜋
  • ج ٥ 𝜋
  • د ٠ ١ 𝜋
  • ه ٠ ١ 𝜋

س٢:

استخدم نظرية جرين لحساب التكامل الخطي 󰏈󰁓𞸎𞸑󰁒𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢٢؛ حيث يدور الحدُّ 𞹇=󰁙(𞸎،𞸑)٠𞸎١،٢𞸎𞸑٢𞸎󰁘٢ حول المنحنى 𞸌 عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ ٦ ١ ٥ ١
  • ب ٨ ٥ ١
  • ج٠
  • د ٦ ١ ٥ ١
  • ه ٨ ٥ ١

س٣:

استخدِم نظرية جرين لإيجاد قيمة التكامل الخطي 󰏈𞸎𞸑𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢؛ حيث 𞸌 يُمثِّل حد 𞹇=󰁙(𞸎،𞸑)٠𞸎١،𞸎𞸑𞸎󰁘٢، عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٠
  • ب ١ ٢ ١
  • ج ٥ ٢ ١
  • د ١ ٢ ١
  • ه ٥ ٢ ١

س٤:

افترِض أن 𞸌 منحنى حدِّي للمثلث الذي رءوسه (٠،٠)،(٤،٠)، (٠،٤). استخدِم نظرية غرين لإيجاد قيمة 󰏈󰂔𞸤+𞸑󰂓𞸃𞸎+󰂔𞸤+𞸎󰂓𞸃𞸑𞸌𞸎٢𞸑٢٢٢؛ حيث اتجاه 𞸌 عكس اتجاه عقارب الساعة.

س٥:

احسب 󰏈󰁓𞸎+𞸑󰁒𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢٢؛ حيث 𞸌𞸎=𞸍،𞸑=𞸍،٠𞸍٢𝜋.

س٦:

احسب 󰏈𞸎𞸃𞸎+𞸑𞸃𞸑𞸌 لكل 𞸌𞸎=٢𞸍،𞸑=٣𞸍.

س٧:

احسب 󰏈𞸤𞸑𞸃𞸎+󰁓𞸑+𞸤𞸑󰁒𞸃𞸑𞸌𞸎٣𞸎؛ حيث 𞸌 الحد المحيط بالمستطيل الذي رءوسه (١،١)، (١،١)، (١،١)، (١،١) بالتحرك في اتجاه عكس عقارب الساعة.

س٨:

استخدِم نظرية جرين لتحديد شروط 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 التي تجعل الحقل الاتجاهي 󰄮󰎨(𞸎،𞸑)=(󰏡𞸎+𞸁𞸑،𞸢𞸎+𞸃𞸑) مُحافِظًا. في تلك الحالة، ما دالة الجهد 󰎨(𞸎،𞸑) لكل 󰄮󰎨 التي تُحقِّق 󰎨(٠،٠)=٠؟

  • أ 𞸢 = 𞸁 ، 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 󰏡 ٢ 𞸎 𞸁 𞸎 𞸑 + 𞸃 ٢ 𞸑 ٢ ٢
  • ب 𞸢 = 𞸁 ، 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 󰏡 𞸎 + 𞸁 𞸎 𞸑 + 𞸃 𞸑 ٢ ٢
  • ج 𞸢 = 𞸁 ، 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 󰏡 ٢ 𞸎 + ٢ 𞸁 𞸎 𞸑 + 𞸃 ٢ 𞸑 ٢ ٢
  • د 𞸢 = 𞸁 ، 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 󰏡 ٢ 𞸎 + 𞸁 𞸎 𞸑 + 𞸃 ٢ 𞸑 ٢ ٢
  • ه 𞸢 = 𞸁 ، 󰎨 ( 𞸎 ، 𞸑 ) = 󰏡 ٢ 𞸎 ٢ 𞸁 𞸎 𞸑 + 𞸃 ٢ 𞸑 ٢ ٢

س٩:

يوضِّح الرسم البياني 󰎨(𞸎)=٣󰂔𞸎+١٣󰂓(𞸎١) في الفترة [٠،١]. افترِض أن 𞸍 هي المنطقة المُظلَّلة، 𞸌 المسار الذي يحُدُّها، عكس عقارب الساعة. افترِض أن 󰄮𞸇(𞸎،𞸑)=𞸑󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑.

استخدِم نظرية جرين لحساب 󰏈󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𞸌.

احسب 󰏅󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𞸌١؛ حيث يكون 𞸌١ هو الخط من 󰏡 إلى 𞸁.

احسب 󰏅󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𞸌٢؛ حيث يكون 𞸌٢ هو المنحنى من 𞸁 إلى 𞸢.

احسب 󰏅󰄮𞸇𞸃󰄮𞸓𝐶٣؛ حيث يكون 𞸌٣ هو الخط من 𞸢 إلى 󰏡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.