ملف تدريبي: نظرية جرين

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تطبيق نظرية جرين لإيجاد قيمة تكامل خطي حول منحنًى مغلق في صورة تكامل ثنائي على المنطقة المستوية المحدودة بالمنحنى.

س١:

افترض أن 𝐶 دائرة معادلتها 𝑥+𝑦=1. استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة 2𝑦𝑥3𝑥𝑦dd؛ حيث 𝐶 منقولة عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ10𝜋
  • ب5𝜋
  • ج𝜋
  • د5𝜋
  • ه10𝜋

س٢:

استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة التكامل الخطي 󰏈󰁓𞸎𞸑󰁒𞸃𞸎+٢𞸎𞸑𞸃𞸑𞸌٢٢؛ حيث 𞸌 منحنًى يحدُّ المنطقة 𞸒=󰁙(𞸎،𞸑)٠𞸎١،٢𞸎𞸑٢𞸎󰁘٢، والمنحنى 𞸌 عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٨٥١
  • ب٦١٥١
  • ج٠
  • د٦١٥١
  • ه٨٥١

س٣:

استخدِم نظرية جرين لإيجاد قيمة التكامل الخطي 𝑥𝑦𝑥+2𝑥𝑦𝑦dd؛ حيث 𝐶 يُمثِّل حد 𝑅=(𝑥,𝑦)0𝑥1,𝑥𝑦𝑥:، عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ512
  • ب0
  • ج112
  • د112
  • ه512

س٤:

افترِض أن 𝐶 منحنى حدِّي للمثلث الذي رءوسه (0,0),(4,0)، (0,4). استخدِم نظرية غرين لإيجاد قيمة 𝑒+𝑦𝑥+𝑒+𝑥𝑦dd؛ حيث اتجاه 𝐶 عكس اتجاه عقارب الساعة.

س٥:

احسب 𝑥+𝑦𝑥+2𝑥𝑦𝑦dd؛ حيث 𝐶𝑥=𝑡,𝑦=𝑡:cossin، 0𝑡2𝜋.

س٦:

أوجد قيمة 𝑥𝑥+𝑦𝑦dd؛ حيث 𝐶𝑥=2𝑡,𝑦=3𝑡:cossin، 0𝑡2𝜋.

س٧:

افترض أن 𞸌 الحد المحيط بالمستطيل الذي رءوسه (١،١)،(١،١)،(١،١)، (١،١). استخدم نظرية جرين لإيجاد قيمة 󰏈𞸤𞸑𞸃𞸎+󰁓𞸑+𞸤𞸑󰁒𞸃𞸑𞸌𞸎٣𞸎؛ حيث 𞸌 يتحرَّك عكس اتجاه عقارب الساعة.

  • أ٢󰁓(١)(١)󰁒󰂔𞸤١𞸤󰂓
  • ب٢󰁓(١)+(١)󰁒󰂔𞸤+١𞸤󰂓
  • ج١󰁓(١)(١)󰁒󰂔٢𞸤١𞸤󰂓
  • د٠
  • ه٢󰁓(١)+(١)󰁒󰂔𞸤١𞸤󰂓

س٨:

استخدِم نظرية جرين لتحديد شروط 𝑎، 𝑏، 𝑐، 𝑑 التي تجعل الحقل الاتجاهي 𝐹(𝑥,𝑦)=(𝑎𝑥+𝑏𝑦,𝑐𝑥+𝑑𝑦) مُحافِظًا. في تلك الحالة، ما دالة الجهد 𝑓(𝑥,𝑦) لكل 𝐹 التي تُحقِّق 𝑓(0,0)=0؟

  • أ𝑐=𝑏,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎2𝑥𝑏𝑥𝑦+𝑑2𝑦
  • ب𝑐=𝑏,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎2𝑥2𝑏𝑥𝑦+𝑑2𝑦
  • ج𝑐=𝑏,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎𝑥+𝑏𝑥𝑦+𝑑𝑦
  • د𝑐=𝑏,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎2𝑥+𝑏𝑥𝑦+𝑑2𝑦
  • ه𝑐=𝑏,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎2𝑥+2𝑏𝑥𝑦+𝑑2𝑦

س٩:

استخدِم نظرية جرين لإيجاد 𝐹𝑟d؛ حيث 𝐶 دائرة نصف قطرها 𝑟 ومركزها عند نقطة الأصل، 𝐹(𝑥,𝑦)=(2𝑥+5𝑦,2𝑥+7𝑦).

  • أ2𝜋𝑟
  • ب5𝜋𝑟
  • ج3𝜋𝑟
  • د5𝜋𝑟
  • ه3𝜋𝑟

س١٠:

يوضِّح الرسم البياني 𝑓(𝑥)=3𝑥+13(𝑥1) في الفترة [0,1]. افترِض أن 𝑅 هي المنطقة المُظلَّلة، 𝐶 المسار الذي يحُدُّها، عكس عقارب الساعة. افترِض أن 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑦𝑖+𝑦𝑗.

استخدِم نظرية جرين لحساب 𝐹𝑟d.

احسب 𝐹𝑟d؛ حيث يكون 𝐶 هو الخط من 𝑎 إلى 𝑏.

احسب 𝐹𝑟d؛ حيث يكون 𝐶 هو المنحنى من 𝑏 إلى 𝑐.

احسب 𝐹𝑟d؛ حيث يكون 𝐶 هو الخط من 𝑐 إلى 𝑎.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.