ملف تدريبي: القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تحديد القيم الذاتية لمصفوفة مربعة غير صفرية من خلال إيجاد القيم القياسية التي تحقِّق المعادلة المميزة.

س١:

احسب القيم الذاتية لـ:󰏡=󰂔١٠٠١󰂓.

  • أ ١ ، ١
  • ب ٠ ، ١
  • ج١، منحلة.
  • د ١ ، منحلة.

س٢:

هل يمكن لمصفوفة لا تساوي صفرًا أن يكون ٠ القيمة الذاتية الوحيدة فيها؟

  • أنعم
  • بلا

س٣:

املأ الفراغ.

افترِض أن 󰏡 مصفوفة على النظم 𞸍×𞸍. إذن، أ(󰏡) يساوي ، ود(󰏡) يساوي .

  • أمجموع القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، حاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡
  • بمجموعة القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، المجموع السالب للقيم الذاتية للمصفوفة 󰏡
  • ج د ( 󰏡 ) ، أ ( 󰏡 )
  • دحاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، مجموع القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡

س٤:

افترِض أن 𝜆، 𞸏 زوج ذاتي لمصفوفة غير منفردة 󰏡. أيُّ المصفوفات الآتية يكون ١𝜆، 𞸏 زوجًا ذاتيًّا لها؟

  • أ 󰏡
  • ب 󰏡 ١
  • ج 󰏡
  • د 󰏡 𞸍

س٥:

إذا كانت 󰏡 مصفوفة حقيقية على النظم ٤×٤، فأيٌّ من التالي صواب عن المصفوفة 󰏡󰏡؟

١
يجب أن يكون لها قِيَم ذاتية حقيقية غير سالبة.
٢
يجب أن يكون لها قِيَم ذاتية تخيلية بحتة.
٣‬
يجب أن يكون لها أساس عياري مُتعامِد للمتجهات الذاتية.
٤
مصفوفة قابلة للاستقطار.
  • أ٢، ٣، ٤
  • ب١، ٢، ٣
  • ج١، ٢
  • د٢، ٣
  • ه١، ٣، ٤

س٦:

أوجد القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡=󰂔٠١١٠󰂓.

  • أ ١ + 𞸕 ، ١ 𞸕
  • ب ٠ ، ٢
  • ج 𞸕 ، 𞸕
  • د ١ ، ١

س٧:

ما كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة: 󰏡=󰂔٤١١٠󰂓؟

  • أ 𞸍 + ٤ 𞸍 ١ ٢
  • ب 𞸍 ٤ 𞸍 + ١ ٢
  • ج 𞸍 ٤ 𞸍 + ١ ٢
  • د 𞸍 ٤ 𞸍 ١ ٢

س٨:

لدينا المصفوفة المربعة 󰏡 ذات القيمة الذاتية 𝜆. هل صواب أن أيَّ متجه من المتجهات في فضاء 󰏡𝜆𞸕 الفارغ يُمثِّل متجهًا ذاتيًّا لـ 󰏡 التي تُطابِق 𝜆؟

  • أنعم
  • بلا

س٩:

افترِض أن القيمة الذاتية للمصفوفة الحقيقية 󰏡 هي 𝜆=١+٤𞸕١ والمتجه الذاتي المُطابِق هو 𞸏=󰂔٣+٢𞸕١󰂓.١ أيُّ الاختيارات التالية يجب أن يكون الزوج الذاتي لـ 󰏡؟

  • أ 𝜆 = ١ ٤ 𞸕 ٢ ، 𞸏 = 󰂔 ٣ ٢ 𞸕 ١ 󰂓 ٢
  • ب 𝜆 = 𝜆 ٢ ١ ، 𞸏 = 𞸏 ٢ ١
  • ج 𝜆 = ١ ٤ 𞸕 ٢ ، 𞸏 = 󰂔 ٣ ٢ 𞸕 ١ 󰂓 ٢
  • د 𝜆 = ١ + ٤ 𞸕 ٢ ، 𞸏 = 󰂔 ٣ + ٢ 𞸕 ١ 󰂓 ٢

س١٠:

افترض أن 𞸌 المتجه الذاتي للمصفوفة 󰏡 يناظر القيمة الذاتية التي لا تساوي صفرًا 𝜆. هل 󰏡𞸎=𞸌 قابلة للحل دائمًا؟

  • ألا
  • بنعم

س١١:

اجعل 𞸕 التحويلة الخطية التي تعكس جميع المتجهات في 𞹇٢ في محور 𞸎. مثِّل 𞸕 كمصفوفة وأوجد قيمها ومتجهاتها الذاتية.

  • أ 𞸕 = 󰂔 ١ ٠ ٠ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٠١󰂓، و١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • ب 𞸕 = 󰂔 ١ ٠ ٠ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٠١󰂓، و١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١٠󰂓
  • ج 𞸕 = 󰂔 ٠ ٤ ٢ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٢١󰂓، و٤ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • د 𞸕 = 󰂔 ١ ١ ٢ ١ ٥ 󰂓 . قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓، و٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • ه 𞸕 = 󰂔 ٠ ٤ ٢ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٢٣󰂓، و٤ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓

س١٢:

افترِض أن 𞸌 تحويل خطي يعكس جميع المتجهات في 𞹇٣ في المستوى 𞸎𞸑. افترِض أن 𞸌 مصفوفة وأوجد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية.

  • أ 𞸌 = 󰃭 ١ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ٠ ٠ ١ 󰃬 . قيمتها الذاتية الوحيدة هي ١، ومتجهاتها الذاتية المناظرة هي 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ب 𞸌 = 󰃭 ١ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ٠ ٠ ١ 󰃬 . قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ج 𞸌 = 󰃭 ١ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ٠ ٠ ١ 󰃬 . قيمتها الذاتية الوحيدة هي ١، ومتجهاتها الذاتية المناظرة هي 󰃁٠١٠󰃀، 󰃭١١١󰃬.
  • د 𞸌 = 󰃭 ١ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ٠ ٠ ١ 󰃬 . قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ه 𞸌 = 󰃭 ١ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ٠ ٠ ١ 󰃬 . قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١١󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.

س١٣:

أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة 𞸢٠٠٠󰏡𞸁٠𞸁󰏡؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية.

  • أ 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 + 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢
  • ب 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 + 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢
  • ج 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 + 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢
  • د 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 + 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢
  • ه 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 󰏡 + 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢

س١٤:

افترض أن 󰏡 تحويلة خطية تُدوِّر جميع المتجهات في 𞹇٢ عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية قياسها 𝜋٢. مثِّل 󰏡 في صورة مصفوفة، وأوجد قيمها ومتجهاتها الذاتية.

  • أ 󰏡 = 󰂔 ٠ ١ ٢ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية ٢؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٢١󰂓󰂙، ٤؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • ب 󰏡 = 󰂔 ٠ ١ ١ ٠ 󰂓 . قيمها الذاتية 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • ج 󰏡 = 󰂔 ١ ٠ ٠ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٠١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • د 󰏡 = 󰂔 ١ ٠ ٠ ١ 󰂓 . قيمها الذاتية ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٠١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١٠󰂓󰂙
  • ه 󰏡 = 󰂔 ٠ ١ ١ ٠ 󰂓 . قيمها الذاتية 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙، 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙

س١٥:

أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة 󰃭𞸢٠٠٠٠𞸁٠𞸁٠󰃬. 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية هنا.

  • أ 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁
  • ب 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁
  • ج 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁
  • د 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁
  • ه 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 󰃆 𞸢 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁 ، 󰃇 󰃁 ٠ 𞸕 ١ 󰃀 󰃆 𞸕 𞸁

س١٦:

احسب القِيَم الذاتية للمصفوفة:󰏡=󰂔٤١٢٥󰂓.

  • أ ٩ ٢ 󰋴 ٧ ٢ 𞸕 ، ٩ ٢ + 󰋴 ٧ ٢ 𞸕
  • ب ٣ ، ٦
  • ج ٩ ٢ + ٣ 󰋴 ٧ ١ ٢ ، ٩ ٢ + ٣ 󰋴 ٧ ١ ٢
  • د ٩ ٢ ٣ 󰋴 ٧ ١ ٢ ، ٩ ٢ + ٣ 󰋴 ٧ ١ ٢
  • ه٣، ٦

س١٧:

احسب القيم الذاتية للمصفوفة: 󰏡=󰃭١١١٢٠١٢٢٣󰃬.

  • أ١ و٣ و٣
  • ب١ و٢
  • ج ٣ و١ و٢
  • د ١ و٢ و٣
  • ه ١ و٣ و٣

س١٨:

احسب القيم الذاتية للمصفوفة:󰏡=󰂔١٣٣٧󰂓.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.