ملف تدريبي: القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد القِيَم الذاتية لمصفوفة، والمتجهات الذاتية المناظرة للمصفوفة.

س١:

احسب القيم الذاتية لـ:󰏡=󰂔١٠٠١󰂓.

  • أ١،١
  • ب٠،١
  • ج١، منحلة.
  • د١، منحلة.

س٢:

هل يمكن لمصفوفة لا تساوي صفرًا أن يكون ٠ القيمة الذاتية الوحيدة فيها؟

  • أنعم
  • بلا

س٣:

املأ الفراغ.

افترِض أن 󰏡 مصفوفة على النظم 𞸍×𞸍. إذن، أ(󰏡) يساوي ، ود(󰏡) يساوي .

  • أمجموع القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، حاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡
  • بمجموعة القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، المجموع السالب للقيم الذاتية للمصفوفة 󰏡
  • جد(󰏡)، أ(󰏡)
  • دحاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، مجموع القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡

س٤:

افترِض أن 𝜆، 𞸏 زوج ذاتي لمصفوفة غير منفردة 󰏡. أيُّ المصفوفات الآتية يكون ١𝜆، 𞸏 زوجًا ذاتيًّا لها؟

  • أ󰏡
  • ب󰏡١
  • ج󰏡
  • د󰏡𞸍

س٥:

إذا كانت 󰏡 مصفوفة حقيقية على النظم ٤×٤، فأيٌّ من التالي صواب عن المصفوفة 󰏡󰏡؟

١
يجب أن يكون لها قِيَم ذاتية حقيقية غير سالبة.
٢
يجب أن يكون لها قِيَم ذاتية تخيلية بحتة.
٣‬
يجب أن يكون لها أساس عياري مُتعامِد للمتجهات الذاتية.
٤
مصفوفة قابلة للاستقطار.
  • أ٢، ٣، ٤
  • ب١، ٢، ٣
  • ج١، ٢
  • د٢، ٣
  • ه١، ٣، ٤

س٦:

أوجد القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡=󰂔٠١١٠󰂓.

  • أ١+𞸕،١𞸕
  • ب٠،٢
  • ج𞸕،𞸕
  • د١،١

س٧:

ما كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة: 󰏡=󰂔٤١١٠󰂓؟

  • أ𞸍+٤𞸍١٢
  • ب𞸍٤𞸍+١٢
  • ج𞸍٤𞸍+١٢
  • د𞸍٤𞸍١٢

س٨:

لدينا المصفوفة المربعة 󰏡 ذات القيمة الذاتية 𝜆. هل صواب أن أيَّ متجه من المتجهات في فضاء 󰏡𝜆𞸕 الفارغ يُمثِّل متجهًا ذاتيًّا لـ 󰏡 التي تُطابِق 𝜆؟

  • أنعم
  • بلا

س٩:

افترِض أن القيمة الذاتية للمصفوفة الحقيقية 󰏡 هي 𝜆=١+٤𞸕١ والمتجه الذاتي المُطابِق هو 𞸏=󰂔٣+٢𞸕١󰂓.١ أيُّ الاختيارات التالية يجب أن يكون الزوج الذاتي لـ 󰏡؟

  • أ𝜆=١٤𞸕٢، 𞸏=󰂔٣٢𞸕١󰂓٢
  • ب𝜆=𝜆٢١، 𞸏=𞸏٢١
  • ج𝜆=١٤𞸕٢، 𞸏=󰂔٣٢𞸕١󰂓٢
  • د𝜆=١+٤𞸕٢، 𞸏=󰂔٣+٢𞸕١󰂓٢

س١٠:

افترض أن 󰄮𞸌 المتجه الذاتي للمصفوفة 󰏡 يناظر القيمة الذاتية التي لا تساوي صفرًا 𝜆. هل 󰏡𞸎=󰄮𞸌 قابلة للحل دائمًا؟

  • أنعم
  • بلا

س١١:

اجعل 𞸕 التحويلة الخطية التي تعكس جميع المتجهات في 𞹇٢ في محور 𞸎. مثِّل 𞸕 كمصفوفة وأوجد قيمها ومتجهاتها الذاتية.

  • أ𞸕=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٠١󰂓، و١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • ب𞸕=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٠١󰂓، و١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١٠󰂓
  • ج𞸕=󰂔٠٤٢١󰂓. قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٢١󰂓، و٤ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • د𞸕=󰂔١١٢١٥󰂓. قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓، و٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • ه𞸕=󰂔٠٤٢١󰂓. قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٢٣󰂓، و٤ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓

س١٢:

افترِض أن 𞸌 تحويل خطي يعكس جميع المتجهات في 𞹇٣ في المستوى 𞸎𞸑. افترِض أن 𞸌 مصفوفة وأوجد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية.

  • أ𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمتها الذاتية الوحيدة هي ١، ومتجهاتها الذاتية المناظرة هي 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ب𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ج𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمتها الذاتية الوحيدة هي ١، ومتجهاتها الذاتية المناظرة هي 󰃁٠١٠󰃀، 󰃭١١١󰃬.
  • د𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ه𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١١󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.

س١٣:

أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة 𞸢٠٠٠󰏡𞸁٠𞸁󰏡؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية.

  • أ󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • ب󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • ج󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • د󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • ه󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢

س١٤:

افترض أن 󰏡 تحويلة خطية تُدوِّر جميع المتجهات في 𞹇٢ عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية قياسها 𝜋٢. مثِّل 󰏡 في صورة مصفوفة، وأوجد قيمها ومتجهاتها الذاتية.

  • أ󰏡=󰂔٠١٢١󰂓. قيمها الذاتية ٢؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٢١󰂓󰂙، ٤؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • ب󰏡=󰂔٠١١٠󰂓. قيمها الذاتية 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • ج󰏡=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٠١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • د󰏡=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٠١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١٠󰂓󰂙
  • ه󰏡=󰂔٠١١٠󰂓. قيمها الذاتية 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙، 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙

س١٥:

أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة 󰃭𞸢٠٠٠٠𞸁٠𞸁٠󰃬. 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية هنا.

  • أ󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • ب󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • ج󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • د󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • ه󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁

س١٦:

احسب القِيَم الذاتية للمصفوفة:󰏡=󰂔٤١٢٥󰂓.

  • أ٩٢󰋴٧٢𞸕، ٩٢+󰋴٧٢𞸕
  • ب٣، ٦
  • ج٩٢+٣󰋴٧١٢، ٩٢+٣󰋴٧١٢
  • د٩٢٣󰋴٧١٢، ٩٢+٣󰋴٧١٢
  • ه٣، ٦

س١٧:

احسب القيم الذاتية للمصفوفة: 󰏡=󰃭١١١٢٠١٢٢٣󰃬.

  • أ١ و٣ و٣
  • ب١ و٢
  • ج٣ و١ و٢
  • د١ و٢ و٣
  • ه١ و٣ و٣

س١٨:

احسب القيم الذاتية للمصفوفة:󰏡=󰂔١٣٣٧󰂓.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.