ملف تدريبي: القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد القِيَم الذاتية لمصفوفة، والمتجهات الذاتية المناظرة للمصفوفة.

س١:

احسب القيم الذاتية لـ:𝐴=1001.

  • أ1,1
  • ب0,1
  • ج1، منحلة.
  • د1، منحلة.

س٢:

هل يمكن لمصفوفة لا تساوي صفرًا أن يكون 0 القيمة الذاتية الوحيدة فيها؟

  • أنعم
  • بلا

س٣:

املأ الفراغ.

افترِض أن 󰏡 مصفوفة على النظم 𞸍×𞸍. إذن، أ(󰏡) يساوي ، ود(󰏡) يساوي .

  • أمجموع القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، حاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡
  • بمجموعة القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، المجموع السالب للقيم الذاتية للمصفوفة 󰏡
  • جد(󰏡)، أ(󰏡)
  • دحاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡، مجموع القيم الذاتية للمصفوفة 󰏡

س٤:

افترض أنَّ 𝑇𝐿(𝑉,𝑉) تحويل خطي. إذن 𝜆𝐹 تكون قيمًا ذاتية للقيمة 𝑇 فقط في حالة أنَّ

  • أ𝑇𝜆𝐼 دالة قابلة للعكس.
  • ب𝑇+𝜆𝐼 دالة غير أحادية.
  • ج𝑇𝜆𝐼 دالة غير أحادية.
  • د𝑇𝜆𝐼 دالة غامرة.

س٥:

افترِض أن 𝜆، 𝑣 زوج ذاتي لمصفوفة غير منفردة 𝐴. أيُّ المصفوفات الآتية يكون 1𝜆، 𝑣 زوجًا ذاتيًّا لها؟

  • أ𝐴
  • ب𝐴
  • ج𝐴
  • د𝐴

س٦:

إذا كانت 𝐴 مصفوفة حقيقية على النظم 4×4، فأيٌّ من التالي صواب عن المصفوفة 𝐴𝐴؟

  1. يجب أن يكون لها قِيَم ذاتية حقيقية غير سالبة.
  2. يجب أن يكون لها قِيَم ذاتية تخيلية بحتة.
  3. يجب أن يكون لها أساس عياري مُتعامِد للمتجهات الذاتية.
  4. مصفوفة قابلة للاستقطار.
  • أ1، 3، 4
  • ب2، 3، 4
  • ج1، 2
  • د2، 3
  • ه1، 2، 3

س٧:

أوجد القيم الذاتية للمصفوفة 𝐴=0110.

  • أ0,2
  • ب𝑖,𝑖
  • ج1+𝑖,1𝑖
  • د1,1

س٨:

افترِض أن المصفوفة على النظم 3×3، 𝐴، هي مصفوفة مُكافِئة صفيًّا لمصفوفة الوحدة. أيٌّ من الآتي قد يكون خطأ؟

  • أالفضاء الصفري للمصفوفة 𝐴 هو المتجه الصفري.
  • بالقِيَم الذاتية للمصفوفة 𝐴 لا تساوي صفرًا.
  • جdet𝐴=1
  • دفضاء الصفوف للمصفوفة 𝐴 هو 𝑅.
  • ه𝐴 ليست مصفوفة منفردة.

س٩:

ما كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة: 𝐴=4110؟

  • أ𝑡+4𝑡1
  • ب𝑡4𝑡+1
  • ج𝑡4𝑡+1
  • د𝑡4𝑡1

س١٠:

لدينا المصفوفة المربعة 𝐴 ذات القيمة الذاتية 𝜆. هل صواب أن أيَّ متجه من المتجهات في فضاء 𝐴𝜆𝐼 الفارغ يُمثِّل متجهًا ذاتيًّا لـ 𝐴 التي تُطابِق 𝜆؟

  • أنعم
  • بلا

س١١:

افترِض أن القيمة الذاتية للمصفوفة الحقيقية 𝐴 هي 𝜆=1+4𝑖 والمتجه الذاتي المُطابِق هو 𝑣=3+2𝑖1. أيُّ الاختيارات التالية يجب أن يكون الزوج الذاتي لـ 𝐴؟

  • أ𝜆=1+4𝑖، 𝑣=3+2𝑖1
  • ب𝜆=𝜆، 𝑣=𝑣
  • ج𝜆=14𝑖، 𝑣=32𝑖1
  • د𝜆=14𝑖، 𝑣=32𝑖1

س١٢:

افترض أن 𝑣 المتجه الذاتي للمصفوفة 𝐴 يناظر القيمة الذاتية التي لا تساوي صفرًا 𝜆. هل 𝐴𝑥=𝑣 قابلة للحل دائمًا؟

  • أنعم
  • بلا

س١٣:

اجعل 𞸕 التحويلة الخطية التي تعكس جميع المتجهات في 𞹇٢ في محور 𞸎. مثِّل 𞸕 كمصفوفة وأوجد قيمها ومتجهاتها الذاتية.

  • أ𞸕=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٠١󰂓، و١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • ب𞸕=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية هي ١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٠١󰂓، و١ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١٠󰂓
  • ج𞸕=󰂔٠٤٢١󰂓. قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٢١󰂓، و٤ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • د𞸕=󰂔١١٢١٥󰂓. قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓، و٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓
  • ه𞸕=󰂔٠٤٢١󰂓. قيمها الذاتية هي ٢ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔٢٣󰂓، و٤ بالمتجه الذاتي المناظر 󰂔١١󰂓

س١٤:

افترِض أن 𞸌 تحويل خطي يعكس جميع المتجهات في 𞹇٣ في المستوى 𞸎𞸑. افترِض أن 𞸌 مصفوفة وأوجد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية.

  • أ𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمتها الذاتية الوحيدة هي ١، ومتجهاتها الذاتية المناظرة هي 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ب𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ج𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمتها الذاتية الوحيدة هي ١، ومتجهاتها الذاتية المناظرة هي 󰃁٠١٠󰃀، 󰃭١١١󰃬.
  • د𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١٠󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.
  • ه𞸌=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬. قيمها الذاتية هي ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠٠١󰃀، ١، ومتجهه الذاتي المناظر هو 󰃁٠١١󰃀، 󰃁١٠٠󰃀.

س١٥:

أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة 𞸢٠٠٠󰏡𞸁٠𞸁󰏡؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية.

  • أ󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • ب󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • ج󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • د󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢
  • ه󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆󰏡+𞸕𞸁،󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢

س١٦:

افترض أن 󰏡 تحويلة خطية تُدوِّر جميع المتجهات في 𞹇٢ عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية قياسها 𝜋٢. مثِّل 󰏡 في صورة مصفوفة، وأوجد قيمها ومتجهاتها الذاتية.

  • أ󰏡=󰂔٠١٢١󰂓. قيمها الذاتية ٢؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٢١󰂓󰂙، ٤؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • ب󰏡=󰂔٠١١٠󰂓. قيمها الذاتية 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • ج󰏡=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٠١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١١󰂓󰂙
  • د󰏡=󰂔١٠٠١󰂓. قيمها الذاتية ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔٠١󰂓󰂙، ١؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔١٠󰂓󰂙
  • ه󰏡=󰂔٠١١٠󰂓. قيمها الذاتية 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙، 𞸕؛ حيث المتجه الذاتي المناظر 󰂚󰂔𞸕١󰂓󰂙

س١٧:

أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة 󰃭𞸢٠٠٠٠𞸁٠𞸁٠󰃬. 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية هنا.

  • أ󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • ب󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • ج󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • د󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁
  • ه󰃇󰃁١٠٠󰃀󰃆𞸢،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁،󰃇󰃁٠𞸕١󰃀󰃆𞸕𞸁

س١٨:

احسب القِيَم الذاتية للمصفوفة:󰏡=󰂔٤١٢٥󰂓.

  • أ٩٢󰋴٧٢𞸕، ٩٢+󰋴٧٢𞸕
  • ب٣، ٦
  • ج٩٢+٣󰋴٧١٢، ٩٢+٣󰋴٧١٢
  • د٩٢٣󰋴٧١٢، ٩٢+٣󰋴٧١٢
  • ه٣، ٦

س١٩:

احسب القيم الذاتية للمصفوفة: 󰏡=󰃭١١١٢٠١٢٢٣󰃬.

  • أ١ و٣ و٣
  • ب١ و٢
  • ج٣ و١ و٢
  • د١ و٢ و٣
  • ه١ و٣ و٣

س٢٠:

احسب القيم الذاتية للمصفوفة:𝐴=1337.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.