ملف تدريبي: حاصل الضرب الاتجاهي في الفراغ

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفراغ، وكيفية استخدام ذلك لإيجاد مساحة الأشكال الهندسية.

س١:

افترض أن 󰄮󰄮󰄮𞸎=󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞸑=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٤󰄮󰄮𞹏. احسب 󰄮󰄮󰄮𞸎×󰄮󰄮󰄮𞸑.

  • أ ( ٤ ، ٠ ، ٣ )
  • ب ( ٢ ، ٣ ، ٠ )
  • ج ( ٣ ، ٠ ، ٠ )
  • د ( ٢ ، ٠ ، ٠ )
  • ه ( ٠ ، ٤ ، ٢ )

س٢:

إذا كان 󰏡=٩󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=٣󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

  • أ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٢ ٧ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٥ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ١ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٤ ٥ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٣ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ٧ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ١ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٣ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٤ ٥ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ١ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏

س٣:

إذا كان 󰏡=(٥،٩،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،١،٧)، فأوجد 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

  • أ ٢ ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٧ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٣ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٤ ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٣ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٣ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ٢ ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٧ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٣ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٣ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٢ ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٧ ٣ 󰄮 󰄮 𞹏

س٤:

إذا كان 󰏡=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٥󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰂔٤󰏡󰂓×󰁓٢󰄮󰄮𞸁󰁒.

  • أ ٠ ٨ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٨ ٤ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٠ ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٦ ٩ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ٤ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٢ ٧ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٠ ٠ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٠ ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٦ ٩ 󰄮 󰄮 𞹏

س٥:

إذا كان 󰏡=(٤،٢،٩)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٣،٤)، فأوجد 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

  • أ ٥ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٠ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٤ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٦ ٣ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ٠ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٢ ٥ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٩ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٩ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٢ ٥ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٠ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏

س٦:

، متجهان؛ حيث ، . أوجد .

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س٧:

󰄮 󰄮 𞸕 ، 󰄮 󰄮 𞸖 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮𞸕=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮𞹏+󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸖=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮𞹏+٣󰄮󰄮󰄮𞹑. احسب 󰄮󰄮𞸕×󰄮󰄮𞸖.

  • أ ( ٠ ، ٦ ، ٢ ١ )
  • ب ( ٢ ١ ، ٠ ، ٢ ١ )
  • ج ( ٣ ، ٢ ١ ، ٣ )
  • د ( ٣ ، ٦ ، ٩ )
  • ه ( ٠ ، ٠ ، ٠ )

س٨:

󰄮 󰄮 󰄮 𞸎 ، 󰄮 󰄮 󰄮 𞸑 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞸎=(٧،٢،٠١)، 󰄮󰄮󰄮𞸑=(٢،٦،٤). احسب 󰄮󰄮󰄮𞸎×󰄮󰄮󰄮𞸑.

  • أ ( ٤ ١ ، ٢ ١ ، ٠ ٤ )
  • ب ( ٤ ٣ ، ٤ ٥ ، ٤ ٦ )
  • ج ( ٨ ٦ ، ٨ ٤ ، ٨ ٣ )
  • د ( ٨ ٢ ، ٤ ، ٠ ٤ )
  • ه ( ٢ ٥ ، ٨ ، ٨ ٣ )

س٩:

إذا كان 𞸀=(٣،٤،٤)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،٥،٤)، 󰄮󰄮𞸢=(٤،٤،٢)، فأوجد 󰂔𞸀󰄮󰄮𞸁󰂓×󰂔󰄮󰄮𞸢𞸀󰂓.

  • أ ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٥ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٨ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٦ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٥ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٩ ١ 󰄮 󰄮 𞹏

س١٠:

أوجد متجهات الوحدة العمودية على كلٍّ من المتجهين 󰏡=(٤،٢،٠)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٦،٤).

  • أ ( ١ ، ٢ ، ٢ ) أو (١،٢،٢)
  • ب ( ٤ ٢ ، ٨ ٤ ، ٨ ٤ ) أو (٤٢،٨٤،٨٤)
  • ج ( ٨ ، ٦ ١ ، ٦ ١ ) أو (٨،٦١،٦١)
  • د 󰂔 ١ ٣ ، ٢ ٣ ، ٢ ٣ 󰂓 أو 󰂔١٣،٢٣،٢٣󰂓

س١١:

󰄮 󰄮 𞸐 ، 󰄮 𞸅 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮𞸐=(٥،١،٢)، 󰄮𞸅=(٤،٤،٣). احسب 󰄮󰄮𞸐×󰄮𞸅.

  • أ ( ٥ ٣ ، ١ ، ٦ ١ )
  • ب ( ١ ١ ، ٣ ٢ ، ٦ ١ )
  • ج ( ٠ ٢ ، ٤ ، ٦ )
  • د ( ٣ ٢ ، ٦ ٢ ، ٤ )
  • ه ( ٥ ، ٣ ٢ ، ٤ ٢ )

س١٢:

إذا كان 󰏡=(٣،٤،٠)، 󰄮󰄮𞸁=(١،٥،١)، فأوجد متجه الوحدة المتعامد على المستوى الذي يحتوي على المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁.

  • أ ٤ 󰋴 ٦ ٤ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٣ 󰋴 ٦ ٤ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ١ ١ 󰋴 ٦ ٤ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٤ 󰋴 ٦ ٨ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٣ 󰋴 ٦ ٨ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٩ ١ 󰋴 ٦ ٨ ٣ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ١ ١ 󰋴 ٦ ٨ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٤ 󰋴 ٦ ٨ ٣ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٣ 󰋴 ٦ ٨ ٣ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٤ 󰋴 ٦ ٤ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٣ 󰋴 ٦ ٤ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ١ ١ 󰋴 ٦ ٤ ١ 󰄮 󰄮 𞹏

س١٣:

󰄮 󰄮 󰄮 𞸑 = ( ١ ، ٣ ، ٢ ) ، 󰄮 󰄮 󰄮 𞸎 = ( ٧ ، ٢ ، ٠ ١ ) . احسب 󰄮󰄮󰄮𞸑×󰄮󰄮󰄮𞸎.

  • أ ( ٢ ٣ ، ٧ ٢ ، ٧ ١ )
  • ب ( ٢ ١ ، ٦ ٣ ، ٠ ١ )
  • ج ( ٤ ٣ ، ٤ ٢ ، ٩ ١ )
  • د ( ٦ ٢ ، ٤ ، ٩ ١ )
  • ه ( ٧ ، ٦ ، ٠ ٢ )

س١٤:

إذا كانت (󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹑،󰄮󰄮𞹏) تُكوِّن مجموعة يمينية؛ 󰏡=٦١󰄮󰄮󰄮𞹎+٤󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸁=٩١󰄮󰄮󰄮𞹎+٨󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 يُكوِّنان ضلعين متجاورين لمثلث، فأوجد حاصل ضرب 󰏡 في 󰄮󰄮𞸁، ومساحة المثلث المرسوم.

  • أ 󰏡 × 󰄮 󰄮 𞸁 = ٨ ٨ 󰄮 󰄮 𞹏 ، والمساحة =٤٤وة
  • ب 󰏡 × 󰄮 󰄮 𞸁 = ٦ ٣ ٣ 󰄮 󰄮 𞹏 ، والمساحة =٨٦١وة
  • ج 󰏡 × 󰄮 󰄮 𞸁 = ٢ ٥ 󰄮 󰄮 𞹏 ، والمساحة =٦٢وة
  • د 󰏡 × 󰄮 󰄮 𞸁 = ٤ ٠ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏 ، والمساحة =٢٠١وة
  • ه 󰏡 × 󰄮 󰄮 𞸁 = ٢ ٧ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏 ، والمساحة =٦٣١وة

س١٥:

إذا كانت مساحة 󰏡𞸁𞸢 تساوي ٣٤٠، فما قيمة 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰍼؟

س١٦:

إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا مساحته ٢٤٨٫٥ سم٢، فأوجد 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍼.

س١٧:

إذا كان 𞸃=(٠،٢،٨)، 𞸤=(٦،٤،٦)، 𞸅=(٤،٩،٢)، فأوجد مساحة المثلث 𞸃𞸤𞸅 لأقرب جزء من مائة.

س١٨:

رءوس المثلث 󰏡𞸁𞸢 هي 󰏡(٥،٤)، 𞸁(١،٥)، 𞸢(٣،٢). استخدِم المتجهات لتحديد مساحته.

س١٩:

افترِض أن 󰏡=(١،١،٣)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٨،٨) يُمثِّلان ضلعين في مثلث. ما مساحة هذا المثلث، لأقرب جزء من مائة؟

س٢٠:

إذا كان 𞸀=(٥،٠،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٣،١،٣)، فأوجد 𞸀×󰂔𞸀٢󰄮󰄮𞸁󰂓.

  • أ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٢ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٥ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٤ ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٠ ١ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٥ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٥ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ١ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٢ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٧ 󰄮 󰄮 𞹏

س٢١:

إذا كان 𞸀=٠١󰄮󰄮󰄮𞹑+٥󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٩󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰍼٥󰄮󰄮𞸁×𞸀󰍼.

  • أ ٥ ٢ 󰋴 ١ ٠ ٢
  • ب ٠ ١ 󰋴 ١ ٠ ٢
  • ج ٠ ١ 󰋴 ٩ ٢ ١
  • د ٥ ٢ 󰋴 ٩ ٢ ١

س٢٢:

إذا كان 𞸀=(٢،٤،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،١،٥)، 󰄮󰄮𞸢=(٠،٣،٠)، فأوجد 𞸀×󰁓󰄮󰄮𞸁+󰄮󰄮𞸢󰁒.

  • أ ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٤ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 + ٤ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ب ٨ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٥ 󰄮 󰄮 𞹏
  • ج ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 + ٤ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٤ ٢ 󰄮 󰄮 𞹏
  • د ٨ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹎 ٦ ١ 󰄮 󰄮 󰄮 𞹑 ٥ 󰄮 󰄮 𞹏

س٢٣:

إذا كان 󰏡=(٩،٥،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٧،𞸊،٥)، 󰄮󰄮𞸢=(٠١،٥٥،𞸌٣)، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢، فأوجِد 𞸊𞸌.

س٢٤:

إذا كان المتجهان 󰂔٦،󰄮𞸊،١󰂓، (٢١،٦،٢) متوازيَيْن، فأوجد قيمة 󰄮𞸊.

  • أ ٦
  • ب٧
  • ج ٣
  • د١

س٢٥:

إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متجهي وحدة و𝜃 قياس الدائرة بينهما، فأوجد 󰍼󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁)×(󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓󰍼.

  • أ 󰏡 𞸁 𝜃 ٢ ٢
  • ب 𝜃
  • ج ٢ 𝜃
  • د 󰏡 𞸁 𝜃
  • ه ٢ 󰏡 𞸁 𝜃

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.