ملف تدريبي: حاصل الضرب الاتجاهي في الفراغ

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفراغ، وكيفية استخدام ذلك لإيجاد مساحة الأشكال الهندسية.

س١:

افترض أن 󰄮󰄮󰄮𞸎=󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞸑=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٤󰄮󰄮𞹏. احسب 󰄮󰄮󰄮𞸎×󰄮󰄮󰄮𞸑.

  • أ(٠،٤،٢)
  • ب(٢،٠،٠)
  • ج(٣،٠،٠)
  • د(٢،٣،٠)
  • ه(٤،٠،٣)

س٢:

إذا كان 󰏡=٩󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=٣󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

  • أ󰄮󰄮󰄮𞹎٢٧󰄮󰄮󰄮𞹑+٥١󰄮󰄮𞹏
  • ب٣١󰄮󰄮󰄮𞹎٤٥󰄮󰄮󰄮𞹑+١٢󰄮󰄮𞹏
  • ج٧٢󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑١٢󰄮󰄮𞹏
  • د١٢󰄮󰄮󰄮𞹎٤٥󰄮󰄮󰄮𞹑+٣١󰄮󰄮𞹏

س٣:

إذا كان 󰏡=(٥،٩،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،١،٧)، فأوجد 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

  • أ٢٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٧٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٣٢󰄮󰄮𞹏
  • ب٤٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٣٣󰄮󰄮󰄮𞹑٣١󰄮󰄮𞹏
  • ج٢٦󰄮󰄮󰄮𞹎٧٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٣٢󰄮󰄮𞹏
  • د٣٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٢٦󰄮󰄮󰄮𞹑٧٣󰄮󰄮𞹏

س٤:

إذا كان 󰏡=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٥󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰂔٤󰏡󰂓×󰁓٢󰄮󰄮𞸁󰁒.

  • أ٠٨󰄮󰄮󰄮𞹑+٨٤󰄮󰄮𞹏
  • ب٠٦١󰄮󰄮󰄮𞹑+٦٩󰄮󰄮𞹏
  • ج٤٢󰄮󰄮󰄮𞹎٢٧󰄮󰄮󰄮𞹑٠٠٢󰄮󰄮𞹏
  • د٠٦١󰄮󰄮󰄮𞹑٦٩󰄮󰄮𞹏

س٥:

إذا كان 󰏡=(٤،٢،٩)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٣،٤)، فأوجد 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

  • أ٦١󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑٦٣󰄮󰄮𞹏
  • ب٥٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٠٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٤󰄮󰄮𞹏
  • ج٩١󰄮󰄮󰄮𞹎٢٥󰄮󰄮󰄮𞹑+٠٢󰄮󰄮𞹏
  • د٠٢󰄮󰄮󰄮𞹎٢٥󰄮󰄮󰄮𞹑+٩١󰄮󰄮𞹏

س٦:

󰄮󰄮󰄮𞸎، 󰄮󰄮󰄮𞸑 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞸎=(٢،١،٤)، 󰄮󰄮󰄮𞸑=(١،٢،٠). أوجد 󰄮󰄮󰄮𞸎×󰄮󰄮󰄮𞸑.

  • أ(٤،٢،٢١)
  • ب(٤،٢،٩)
  • ج(٨،٤،٣)
  • د(٢،٢،٠)
  • ه(٨،٤،٥)

س٧:

󰄮󰄮𞸕، 󰄮󰄮𞸖 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮𞸕=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮𞹏+󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸖=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮𞹏+٣󰄮󰄮󰄮𞹑. احسب 󰄮󰄮𞸕×󰄮󰄮𞸖.

  • أ(٣،٢١،٣)
  • ب(٣،٦،٩)
  • ج(٢١،٠،٢١)
  • د(٠،٦،٢١)
  • ه(٠،٠،٠)

س٨:

󰄮󰄮󰄮𞸎، 󰄮󰄮󰄮𞸑 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞸎=(٧،٢،٠١)، 󰄮󰄮󰄮𞸑=(٢،٦،٤). احسب 󰄮󰄮󰄮𞸎×󰄮󰄮󰄮𞸑.

  • أ(٤١،٢١،٠٤)
  • ب(٤٣،٤٥،٤٦)
  • ج(٢٥،٨،٨٣)
  • د(٨٢،٤،٠٤)
  • ه(٨٦،٨٤،٨٣)

س٩:

إذا كان 𞸀=(٣،٤،٤)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،٥،٤)، 󰄮󰄮𞸢=(٤،٤،٢)، فأوجد 󰂔𞸀󰄮󰄮𞸁󰂓×󰂔󰄮󰄮𞸢𞸀󰂓.

  • أ٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑+٥١󰄮󰄮𞹏
  • ب٢󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑٨󰄮󰄮𞹏
  • ج٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٦١󰄮󰄮󰄮𞹑+٩١󰄮󰄮𞹏
  • د٦󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑٥١󰄮󰄮𞹏

س١٠:

أوجد متجهات الوحدة العمودية على كلٍّ من المتجهين 󰏡=(٤،٢،٠)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٦،٤).

  • أ󰂔١٣،٢٣،٢٣󰂓 أو 󰂔١٣،٢٣،٢٣󰂓
  • ب(٤٢،٨٤،٨٤) أو (٤٢،٨٤،٨٤)
  • ج(١،٢،٢) أو (١،٢،٢)
  • د(٨،٦١،٦١) أو (٨،٦١،٦١)

س١١:

󰄮󰄮𞸐، 󰄮𞸅 متجهان؛ حيث 󰄮󰄮𞸐=(٥،١،٢)، 󰄮𞸅=(٤،٤،٣). احسب 󰄮󰄮𞸐×󰄮𞸅.

  • أ(٥،٣٢،٤٢)
  • ب(١١،٣٢،٦١)
  • ج(٠٢،٤،٦)
  • د(٣٢،٦٢،٤)
  • ه(٥٣،١،٦١)

س١٢:

إذا كان 󰏡=(٣،٤،٠)، 󰄮󰄮𞸁=(١،٥،١)، فأوجد متجه الوحدة المتعامد على المستوى الذي يحتوي على المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁.

  • أ٤󰋴٦٤١󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰋴٦٤١󰄮󰄮󰄮𞹑+١١󰋴٦٤١󰄮󰄮𞹏
  • ب٤󰋴٦٨٣󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰋴٦٨٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٩١󰋴٦٨٣󰄮󰄮𞹏
  • ج٤󰋴٦٤١󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰋴٦٤١󰄮󰄮󰄮𞹑+١١󰋴٦٤١󰄮󰄮𞹏
  • د١١󰋴٦٨٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٤󰋴٦٨٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰋴٦٨٣󰄮󰄮𞹏

س١٣:

󰄮󰄮󰄮𞸑=(١،٣،٢)، 󰄮󰄮󰄮𞸎=(٧،٢،٠١). احسب 󰄮󰄮󰄮𞸑×󰄮󰄮󰄮𞸎.

  • أ(٧،٦،٠٢)
  • ب(٤٣،٤٢،٩١)
  • ج(٢١،٦٣،٠١)
  • د(٦٢،٤،٩١)
  • ه(٢٣،٧٢،٧١)

س١٤:

إذا كانت (󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹑،󰄮󰄮𞹏) تُكوِّن مجموعة يمينية؛ 󰏡=٦١󰄮󰄮󰄮𞹎+٤󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸁=٩١󰄮󰄮󰄮𞹎+٨󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 يُكوِّنان ضلعين متجاورين لمثلث، فأوجد حاصل ضرب 󰏡 في 󰄮󰄮𞸁، ومساحة المثلث المرسوم.

  • أ󰏡×󰄮󰄮𞸁=٤٠٢󰄮󰄮𞹏، والمساحة =٢٠١وة
  • ب󰏡×󰄮󰄮𞸁=٢٥󰄮󰄮𞹏، والمساحة =٦٢وة
  • ج󰏡×󰄮󰄮𞸁=٦٣٣󰄮󰄮𞹏، والمساحة =٨٦١وة
  • د󰏡×󰄮󰄮𞸁=٨٨󰄮󰄮𞹏، والمساحة =٤٤وة
  • ه󰏡×󰄮󰄮𞸁=٢٧٢󰄮󰄮𞹏، والمساحة =٦٣١وة

س١٥:

إذا كانت مساحة 󰏡𞸁𞸢 تساوي ٣٤٠، فما قيمة 󰍻󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰍻؟

س١٦:

إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا مساحته ٢٤٨٫٥ سم٢، فأوجد 󰍻󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍻.

س١٧:

إذا كان 𞸃=(٠،٢،٨)، 𞸤=(٦،٤،٦)، 𞸅=(٤،٩،٢)، فأوجد مساحة المثلث 𞸃𞸤𞸅 لأقرب جزء من مائة.

س١٨:

رءوس المثلث 󰏡𞸁𞸢 هي 󰏡(٥،٤)، 𞸁(١،٥)، 𞸢(٣،٢). استخدِم المتجهات لتحديد مساحته.

س١٩:

افترِض أن 󰏡=(١،١،٣)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٨،٨) يُمثِّلان ضلعين في مثلث. ما مساحة هذا المثلث، لأقرب جزء من مائة؟

س٢٠:

إذا كان 𞸀=(٥،٠،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٣،١،٣)، فأوجد 𞸀×󰂔𞸀٢󰄮󰄮𞸁󰂓.

  • أ١١󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٧󰄮󰄮𞹏
  • ب󰄮󰄮󰄮𞹎٥١󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏
  • ج٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٤٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٠١󰄮󰄮𞹏
  • د󰄮󰄮󰄮𞹎+٢١󰄮󰄮󰄮𞹑+٥󰄮󰄮𞹏

س٢١:

إذا كان 𞸀=٠١󰄮󰄮󰄮𞹑+٥󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸁=٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٩󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰍻٥󰄮󰄮𞸁×𞸀󰍻.

  • أ٥٢󰋴١٠٢
  • ب٥٢󰋴٩٢١
  • ج٠١󰋴٩٢١
  • د٠١󰋴١٠٢

س٢٢:

إذا كان 𞸀=(٢،٤،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،١،٥)، 󰄮󰄮𞸢=(٠،٣،٠)، فأوجد 𞸀×󰁓󰄮󰄮𞸁+󰄮󰄮𞸢󰁒.

  • أ٦١󰄮󰄮󰄮𞹎٤١󰄮󰄮󰄮𞹑+٤٢󰄮󰄮𞹏
  • ب٦١󰄮󰄮󰄮𞹎+٤١󰄮󰄮󰄮𞹑٤٢󰄮󰄮𞹏
  • ج٨󰄮󰄮󰄮𞹎٦١󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏
  • د٨󰄮󰄮󰄮𞹎+٦١󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏

س٢٣:

إذا كان 󰏡=(٩،٥،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٧،𞸊،٥)، 󰄮󰄮𞸢=(٠١،٥٥،𞸌٣)، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢، فأوجِد 𞸊𞸌.

س٢٤:

إذا كان المتجهان 󰂔٦،󰄮𞸊،١󰂓، (٢١،٦،٢) متوازيَيْن، فأوجد قيمة 󰄮𞸊.

س٢٥:

إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متجهي وحدة و𝜃 قياس الزاوية بينهما، فأوجد 󰍻󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁)×(󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓󰍻.

  • أ𝜃
  • ب٢𝜃
  • ج󰏡𞸁𝜃
  • د٢󰏡𞸁𝜃
  • ه󰏡𞸁𝜃٢٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.