ملف تدريبي: شرح التعريف الرسمي للنهاية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على فهم التعريف الرسمي إبسلون دلتا للنهاية، وإيجاد قيمة دلتا مناسبة لإبسلون المعطاة‎.

س١:

أوجد أكبر 𝛿>0 إذا كانت |𝑥5|<𝛿، فإن |||1𝑥15|||<110. اكتب الإجابة في صورة كسر.

  • أ53
  • ب1255
  • ج533
  • د253
  • ه4710

س٢:

أوجد أكبر 𝛿>0،مثلما إذا كانت |𝑥5|<𝛿، فإن |||1𝑥15|||<𝜀. اكتب الإجابة في صورة كسر يتضمن 𝜀.

  • أ55𝜀+1
  • ب25𝜀+105𝜀+1
  • ج25𝜀5𝜀+1
  • د25𝜀+105𝜀+1
  • ه25𝜀5𝜀+1

س٣:

أوجد أكبر 𝑎>0؛ بحيث إذا كانت|𝑥𝑎|<𝑎، فإن |||1𝑥1𝑎|||<𝜀. اكتب الإجابة في صورة كسر يتضمَّن 𝜀، 𝑎.

  • أ𝑎𝜀+2𝑎𝑎𝜀+1
  • ب𝑎𝜀1𝑎𝜀
  • ج𝑎𝜀+1𝑎𝜀
  • د𝑎𝜀𝑎𝜀+1
  • ه𝑎𝜀2𝑎𝑎𝜀+1

س٤:

في الشكل الموضَّح، لدينا التمثيل البياني للدالة 𝑦=𝑓(𝑥) التزايدية المقعرة لأعلى. بجانب النقطة (𝑥,𝑦) توجد النقطتان (𝑎,𝑦+𝑘)، (𝑏,𝑦𝑘) لكل عدد صغير 𝑘>0.

ما النقطة الأقرب إلى النقطة 𝑥 على طول المحور الأفقي؛ 𝑎 أم 𝑏؟

  • أ𝑏
  • ب𝑎

ما المسافة 𝛿 بين أقرب نقطة والنقطة 𝑥 من خلال إجابتك السابقة؟ أوجد التعبير الذي يتضمَّن الدالة 𝑓 والقيم المُطلَقة.

  • أ||𝑥𝑓(𝑓(𝑥)+𝑘)||
  • ب||𝑥+𝑓(𝑓(𝑥)𝑘)||
  • ج||𝑥𝑓(𝑓(𝑥)𝑘)||
  • د||𝑥+𝑓(𝑓(𝑥)+𝑘)||

استخدِم إجاباتك السابقة في إيجاد 𝛿؛ بحيث يكون |𝑒1|<0.1 عندما يكون |𝑥0|<𝛿. قرِّب إجابتك لأقرب 4 منازل عشرية.

س٥:

يوضِّح الشكل البياني التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎 حول النقطة (𞸎،𞸑)؛ حيث 𞸎>٠، 𞸑=󰎨(𞸎). بجوارها توجد النقطتان 󰂔󰏡،𞸑+١٢󰂓، 󰂔𞸁،𞸑١٢󰂓.

من التمثيل البياني، وبالاطلاع على المحور 𞸎، أيُّ النقطتين 󰏡، 𞸁 أقرب إلى المحور 𞸎؟ افترِض أن عدده هو 𞸋.

  • أ󰏡
  • ب𞸁

ما قيمة 󰏡 بدلالة 𞸎؟

  • أ٤𞸎٤+𞸎
  • ب٤+𞸎٢𞸎
  • ج٢𞸎٤+𞸎
  • د٤𞸎
  • ه٤+𞸎٤𞸎

إذا كانت 𞸎>٠، ٢𞸎>١٢، فإن 󰍾٢𞸎٢𞸎󰍾<١٢ بشرط أن تكون |𞸎𞸎|<𝛿 حقيقية لجميع 𝛿 الصغيرة. ما الأكبر مثل 𝛿؟

  • أ𞸎+٤𞸎
  • ب𞸎𞸎+٤
  • ج𞸎𞸎+٢٢
  • د𞸎+٤𞸎٢
  • ه𞸎𞸎+٤٢

الغرض من الشرط ٢𞸎>١٢ ضمان أن يكون الشكل حقيقيًّا. هل نفس 𝛿 صحيح إذا كانت 𞸎٤؟

  • أنعم
  • بلا

يبدو أن جميع براهينك اعتمدت على حقيقة أن التمثيل البياني للدالة 󰎨 يتحدَّب لأعلى. افترِض أن 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎. أوجد 𝛿>٠؛ بحيث تكون |󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)|<١٤ إذا كانت |𞸎𞸎|<𝛿. افترِض أن 𞸎 موجبة.

  • أ𝛿=٢𞸎٤+(٤+𞸤)𞸤𞸤𞸎
  • ب𝛿=(٤+𞸤)(٤)𞸤𞸎𞸤
  • ج𝛿=(٤+𞸤)(٤)𞸤𞸎𞸤
  • د𝛿=٢𞸎٤+(٤+𞸤)𞸤𞸤𞸎
  • ه𝛿=(٤+𞸤)+(٤)𞸤𞸎𞸤

س٦:

التمثيل البياني للدالة 𝑓(𝑥)=5(𝑥2) مقعر لأسفل، ويتناقص عند 𝑥>2. نريد إيجاد قيمة 𝛿العظمى؛ بحيث، بالنسبة إلى 𝜀>0المعطى، فهذا يعني أنه إذا كان |𝑥3|<𝛿، فإن |𝑓(𝑥)𝑓(3)|<𝜀. ستكون 𝛿، بالطبع، دالة 𝜀.

ما الدالة العكسية القريبة من 𝑥=3؟ اكتب مقدارًا يعبر عن 𝑓(𝑥).

  • أ25𝑥
  • ب2+5𝑥
  • ج2+𝑥5
  • د2+5+𝑥
  • ه25+𝑥

باستخدام تقعر منحنى 𝑓، أوجد أي نقطة أقرب إلى 3،𝑓(4+𝜀)، أو 𝑓(4𝜀)، على طول المحور الأفقي. (لا توجدها مع وضع 𝜀الصغيرة فقط في الاعتبار.)

  • أ𝑓(4+𝜀)
  • ب𝑓(4𝜀)

من الإجابات السابقة، أوجد مقدارًا بدلالة 𝜀 لأكبر 𝛿؛ بحيث إذا كانت |𝑥3|<𝛿، فإن 4𝜀<𝑓(𝑥)<4+𝜀.

  • أ2+1+𝜀
  • ب1+𝜀1
  • ج11𝜀
  • د2+1𝜀

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.