ملف تدريبي: شرح التعريف الرسمي للنهاية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على فهم التعريف الرسمي إبسلون دلتا للنهاية، وإيجاد قيمة دلتا مناسبة لإبسلون المعطاة‎.

س١:

أوجد أكبر 𝛿>٠ إذا كانت |𞸎٥|<𝛿، فإن 󰍾١𞸎١٥󰍾<١٠١. اكتب الإجابة في صورة كسر.

  • أ٥٢٣
  • ب٣٥٣
  • ج٧٤٠١
  • د٥٣
  • ه١٥٥٢

س٢:

أوجد أكبر 𝛿>٠،مثلما إذا كانت |𞸎٥|<𝛿، فإن 󰍾١𞸎١٥󰍾<𝜀. اكتب الإجابة في صورة كسر يتضمن 𝜀.

  • أ٥٢𝜀٥𝜀+١
  • ب٥٢𝜀+٠١٥𝜀+١
  • ج٥٢𝜀٥𝜀+١
  • د٥٥𝜀+١
  • ه٥٢𝜀+٠١٥𝜀+١

س٣:

أوجد أكبر 𝛿>٠؛ بحيث إذا كانت|𞸎󰏡|<𝛿، فإن 󰍾١𞸎١𝑎󰍾<𝜀. اكتب الإجابة في صورة كسر يتضمَّن 𝜀، 󰏡.

  • أ󰏡𝜀+١󰏡𝜀٢
  • ب󰏡𝜀٢󰏡󰏡𝜀+١٢
  • ج󰏡𝜀+٢󰏡󰏡𝜀+١٢
  • د󰏡𝜀󰏡𝜀+١٢
  • ه󰏡𝜀١󰏡𝜀٢

س٤:

في الشكل الموضَّح، لدينا التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) التزايدية المُحدَّبة لأسفل. بجانب النقطة (𞸎،𞸑) توجد النقطتان (󰏡،𞸑+𞸊)، (𞸁،𞸑𞸊) في حالة 𞸊>٠.

ما النقطة الأقرب إلى النقطة 𞸎 على طول المحور الأفقي؛ 󰏡 أم 𞸁؟

  • أ𞸁
  • ب󰏡

ما المسافة 𝛿 بين أقرب نقطة والنقطة 𞸎 من خلال إجابتك السابقة؟ أوجد التعبير الذي يتضمَّن الدالة 󰎨 والقيم المُطلَقة.

  • أ󰍸𞸎󰎨󰁓󰎨(𞸎)+𞸊󰁒󰍸١
  • ب󰍸𞸎+󰎨󰁓󰎨(𞸎)+𞸊󰁒󰍸١
  • ج󰍸𞸎󰎨󰁓󰎨(𞸎)𞸊󰁒󰍸١
  • د󰍸𞸎+󰎨󰁓󰎨(𞸎)𞸊󰁒󰍸١

استخدِم إجاباتك السابقة في إيجاد 𝛿؛ بحيث يكون 󰍸𞸤١󰍸<١٫٠𞸎 عندما يكون |𞸎٠|<𝛿. قرِّب إجابتك لأقرب ٤ أرقام عشرية.

س٥:

يوضِّح الشكل البياني التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎 حول النقطة (𞸎،𞸑)؛ حيث 𞸎>٠، 𞸑=󰎨(𞸎). بجوارها توجد النقطتان 󰂔󰏡،𞸑+١٢󰂓، 󰂔𞸁،𞸑١٢󰂓.

من التمثيل البياني، وبالاطلاع على المحور 𞸎، أيُّ النقطتين 󰏡، 𞸁 أقرب إلى المحور 𞸎؟ افترِض أن عدده هو 𞸋.

  • أ󰏡
  • ب𞸁

ما قيمة 󰏡 بدلالة 𞸎؟

  • أ٤𞸎٤+𞸎
  • ب٤+𞸎٢𞸎
  • ج٢𞸎٤+𞸎
  • د٤𞸎
  • ه٤+𞸎٤𞸎

إذا كانت 𞸎>٠، ٢𞸎>١٢، فإن 󰍾٢𞸎٢𞸎󰍾<١٢ بشرط أن تكون |𞸎𞸎|<𝛿 حقيقية لجميع 𝛿 الصغيرة. ما الأكبر مثل 𝛿؟

  • أ𞸎+٤𞸎
  • ب𞸎𞸎+٤
  • ج𞸎𞸎+٢٢
  • د𞸎+٤𞸎٢
  • ه𞸎𞸎+٤٢

الغرض من الشرط ٢𞸎>١٢ ضمان أن يكون الشكل حقيقيًّا. هل نفس 𝛿 صحيح إذا كانت 𞸎٤؟

  • أنعم
  • بلا

يبدو أن جميع براهينك اعتمدت على حقيقة أن التمثيل البياني للدالة 󰎨 يتحدَّب لأعلى. افترِض أن 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎. أوجد 𝛿>٠؛ بحيث تكون |󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)|<١٤ إذا كانت |𞸎𞸎|<𝛿. افترِض أن 𞸎 موجبة.

  • أ𝛿=٢𞸎٤+(٤+𞸤)𞸤𞸤𞸎
  • ب𝛿=(٤+𞸤)(٤)𞸤𞸎𞸤
  • ج𝛿=(٤+𞸤)(٤)𞸤𞸎𞸤
  • د𝛿=٢𞸎٤+(٤+𞸤)𞸤𞸤𞸎
  • ه𝛿=(٤+𞸤)+(٤)𞸤𞸎𞸤

س٦:

التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٥(𞸎٢)٢ مقعر لأسفل، ويتناقص عند 𞸎>٢. نريد إيجاد قيمة 𝛿العظمى؛ بحيث، بالنسبة إلى 𝜀>٠المعطى، فهذا يعني أنه إذا كان |𞸎٣|<𝛿، فإن |󰎨(𞸎)󰎨(٣)|<𝜀. ستكون 𝛿، بالطبع، دالة 𝜀.

ما الدالة العكسية القريبة من 𞸎=٣؟ اكتب مقدارًا يعبر عن 󰎨(𞸎)١.

  • أ٢󰋴٥+𞸎
  • ب٢+󰋴𞸎٥
  • ج٢+󰋴٥𞸎
  • د٢󰋴٥𞸎
  • ه٢+󰋴٥+𞸎

باستخدام تقعر منحنى 󰎨، أوجد أي نقطة أقرب إلى ٣،󰎨(٤+𝜀)١، أو 󰎨(٤𝜀)١، على طول المحور الأفقي. (لا توجدها مع وضع 𝜀الصغيرة فقط في الاعتبار.)

  • أ󰎨(٤𝜀)١
  • ب󰎨(٤+𝜀)١

من الإجابات السابقة، أوجد مقدارًا بدلالة 𝜀 لأكبر 𝛿؛ بحيث إذا كانت |𞸎٣|<𝛿، فإن ٤𝜀<󰎨(𞸎)<٤+𝜀.

  • أ١󰋴١𝜀
  • ب٢+󰋴١𝜀
  • ج󰋴١+𝜀١
  • د٢+󰋴١+𝜀

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.