ملف تدريبي: شرح التعريف الرسمي للنهاية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على فهم التعريف الرسمي إبسلون دلتا للنهاية، وإيجاد قيمة دلتا مناسبة لإبسلون المعطاة‎.

س١:

أوجد أكبر 𝛿>٠ إذا كانت |𞸎٥|<𝛿، فإن 󰍾١𞸎١٥󰍾<١٠١. اكتب الإجابة في صورة كسر.

  • أ ٥ ٢ ٣
  • ب ٣ ٥ ٣
  • ج ٧ ٤ ٠ ١
  • د ٥ ٣
  • ه ١ ٥ ٥ ٢

س٢:

أوجد أكبر 𝛿>٠،مثلما إذا كانت |𞸎٥|<𝛿، فإن 󰍾١𞸎١٥󰍾<𝜀. اكتب الإجابة في صورة كسر يتضمن 𝜀.

  • أ ٥ ٢ 𝜀 ٥ 𝜀 + ١
  • ب ٥ ٢ 𝜀 + ٠ ١ ٥ 𝜀 + ١
  • ج ٥ ٢ 𝜀 ٥ 𝜀 + ١
  • د ٥ ٥ 𝜀 + ١
  • ه ٥ ٢ 𝜀 + ٠ ١ ٥ 𝜀 + ١

س٣:

أوجد أكبر 𝛿>٠؛ بحيث إذا كانت|𞸎󰏡|<𝛿، فإن 󰍾١𞸎١𝑎󰍾<𝜀. اكتب الإجابة في صورة كسر يتضمَّن 𝜀، 󰏡.

  • أ 󰏡 𝜀 + ١ 󰏡 𝜀 ٢
  • ب 󰏡 𝜀 ٢ 󰏡 󰏡 𝜀 + ١ ٢
  • ج 󰏡 𝜀 + ٢ 󰏡 󰏡 𝜀 + ١ ٢
  • د 󰏡 𝜀 󰏡 𝜀 + ١ ٢
  • ه 󰏡 𝜀 ١ 󰏡 𝜀 ٢

س٤:

في الشكل الموضَّح، لدينا التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) التزايدية المُحدَّبة لأسفل. بجانب النقطة (𞸎،𞸑) توجد النقطتان (󰏡،𞸑+𞸊)، (𞸁،𞸑𞸊) في حالة 𞸊>٠.

ما النقطة الأقرب إلى النقطة 𞸎 على طول المحور الأفقي؛ 󰏡 أم 𞸁؟

  • أ 𞸁
  • ب 󰏡

ما المسافة 𝛿 بين أقرب نقطة والنقطة 𞸎 من خلال إجابتك السابقة؟ أوجد التعبير الذي يتضمَّن الدالة 󰎨 والقيم المُطلَقة.

  • أ 󰍸 𞸎 󰎨 󰁓 󰎨 ( 𞸎 ) + 𞸊 󰁒 󰍸 ١
  • ب 󰍸 𞸎 + 󰎨 󰁓 󰎨 ( 𞸎 ) + 𞸊 󰁒 󰍸 ١
  • ج 󰍸 𞸎 󰎨 󰁓 󰎨 ( 𞸎 ) 𞸊 󰁒 󰍸 ١
  • د 󰍸 𞸎 + 󰎨 󰁓 󰎨 ( 𞸎 ) 𞸊 󰁒 󰍸 ١

استخدِم إجاباتك السابقة في إيجاد 𝛿؛ بحيث يكون 󰍸𞸤١󰍸<١٫٠𞸎 عندما يكون |𞸎٠|<𝛿. قرِّب إجابتك لأقرب ٤ أرقام عشرية.

س٥:

يوضِّح الشكل البياني التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎 حول النقطة (𞸎،𞸑)؛ حيث 𞸎>٠، 𞸑=󰎨(𞸎). بجوارها توجد النقطتان 󰂔󰏡،𞸑+١٢󰂓، 󰂔𞸁،𞸑١٢󰂓.

من التمثيل البياني، وبالاطلاع على المحور 𞸎، أيُّ النقطتين 󰏡، 𞸁 أقرب إلى المحور 𞸎؟ افترِض أن عدده هو 𞸋.

  • أ 󰏡
  • ب 𞸁

ما قيمة 󰏡 بدلالة 𞸎؟

  • أ ٤ 𞸎 ٤ + 𞸎
  • ب ٤ + 𞸎 ٢ 𞸎
  • ج ٢ 𞸎 ٤ + 𞸎
  • د ٤ 𞸎
  • ه ٤ + 𞸎 ٤ 𞸎

إذا كانت 𞸎>٠، ٢𞸎>١٢، فإن 󰍾٢𞸎٢𞸎󰍾<١٢ بشرط أن تكون |𞸎𞸎|<𝛿 حقيقية لجميع 𝛿 الصغيرة. ما الأكبر مثل 𝛿؟

  • أ 𞸎 + ٤ 𞸎
  • ب 𞸎 𞸎 + ٤
  • ج 𞸎 𞸎 + ٢ ٢
  • د 𞸎 + ٤ 𞸎 ٢
  • ه 𞸎 𞸎 + ٤ ٢

الغرض من الشرط ٢𞸎>١٢ ضمان أن يكون الشكل حقيقيًّا. هل نفس 𝛿 صحيح إذا كانت 𞸎٤؟

  • أنعم
  • بلا

يبدو أن جميع براهينك اعتمدت على حقيقة أن التمثيل البياني للدالة 󰎨 يتحدَّب لأعلى. افترِض أن 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎. أوجد 𝛿>٠؛ بحيث تكون |󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)|<١٤ إذا كانت |𞸎𞸎|<𝛿. افترِض أن 𞸎 موجبة.

  • أ 𝛿 = ٢ 𞸎 ٤ + ( ٤ + 𞸤 ) 𞸤 𞸤 𞸎
  • ب 𝛿 = ( ٤ + 𞸤 ) ( ٤ ) 𞸤 𞸎 𞸤
  • ج 𝛿 = ( ٤ + 𞸤 ) ( ٤ ) 𞸤 𞸎 𞸤
  • د 𝛿 = ٢ 𞸎 ٤ + ( ٤ + 𞸤 ) 𞸤 𞸤 𞸎
  • ه 𝛿 = ( ٤ + 𞸤 ) + ( ٤ ) 𞸤 𞸎 𞸤

س٦:

التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٥(𞸎٢)٢ مقعر لأسفل، ويتناقص عند 𞸎>٢. نريد إيجاد قيمة 𝛿العظمى؛ بحيث، بالنسبة إلى 𝜀>٠المعطى، فهذا يعني أنه إذا كان |𞸎٣|<𝛿، فإن |󰎨(𞸎)󰎨(٣)|<𝜀. ستكون 𝛿، بالطبع، دالة 𝜀.

ما الدالة العكسية القريبة من 𞸎=٣؟ اكتب مقدارًا يعبر عن 󰎨(𞸎)١.

  • أ ٢ 󰋴 ٥ + 𞸎
  • ب ٢ + 󰋴 𞸎 ٥
  • ج ٢ + 󰋴 ٥ 𞸎
  • د ٢ 󰋴 ٥ 𞸎
  • ه ٢ + 󰋴 ٥ + 𞸎

باستخدام تقعر منحنى 󰎨، أوجد أي نقطة أقرب إلى ٣،󰎨(٤+𝜀)١، أو 󰎨(٤𝜀)١، على طول المحور الأفقي. (لا توجدها مع وضع 𝜀الصغيرة فقط في الاعتبار.)

  • أ 󰎨 ( ٤ 𝜀 ) ١
  • ب 󰎨 ( ٤ + 𝜀 ) ١

من الإجابات السابقة، أوجد مقدارًا بدلالة 𝜀 لأكبر 𝛿؛ بحيث إذا كانت |𞸎٣|<𝛿، فإن ٤𝜀<󰎨(𞸎)<٤+𝜀.

  • أ ١ 󰋴 ١ 𝜀
  • ب ٢ + 󰋴 ١ 𝜀
  • ج 󰋴 ١ + 𝜀 ١
  • د ٢ + 󰋴 ١ + 𝜀

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.