نسخة الفيديو النصية
اكتب معاملات الحدود الناتجة من مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس أربعة.
لدينا في هذا السؤال تعبير ذو حدين. وهو عبارة عن مجموع حدين من الحدود وحيدة الحد. وهذا التعبير مرفوع للقوة أربعة. ولذلك، سنستخدم مفكوك ذات الحدين لإيجاد معاملات الحدود الناتجة من إيجاد قيمة ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. وتنص نظرية ذات الحدين على أنه لأي قيم صحيحة موجبة لـ ﻥ، يمكن كتابة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ على صورة المجموع من ﻙ يساوي صفرًا إلى ﻥﻥ توافيق ﻙ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻙ في ﺏ أس ﻙ.
والآن، يبدو أنه يصعب التعامل مع ذلك. وعليه، يمكننا بدلًا من ذلك التفكير فيه في صورة مفكوك. وهي ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ زائد ﻥ توافيق اثنين ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين ﺏ تربيع وهكذا حتى نصل إلى ﺏ أس ﻥ.
لاحظ كيف تقل قوى ﺃ بمقدار واحد في كل حد، بينما تزيد قوى ﺏ بمقدار واحد. دعونا نقارن ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ بمفكوك ذي الحدين الذي نريد إيجاده. وهو ما يساوي ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. نلاحظ أنه يمكننا أن نجعل ﺃ يساوي ﺱ، ولنقل إن ﺏ يساوي ﺹ، والأس ﻥ يساوي أربعة.
بعد ذلك باستخدام الصورة الثانية من مفكوك ذات الحدين، نجد أن الحد الأول في مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس أربعة هو ﺱ أس أربعة. ثم، الحد الثاني هو أربعة توافيق واحد ﺱ أس أربعة ناقص واحد ﺹ، أو أربعة توافيق واحد ﺱ تكعيب ﺹ. تذكر أننا نقلل قوة ﺱ في كل مرة ونزيد قوة ﺹ. ويكون الحد الثالث هو أربعة توافيق اثنين ﺱ تربيع ﺹ تربيع. بعد ذلك، لدينا أربعة توافيق ثلاثة ﺱﺹ تكعيب. والحد الرابع والأخير هو ﺹ أس أربعة.
يمكننا أن نلاحظ بوضوح أن المعاملين، أي العددين المضروبين في ﺱ أس أربعة وﺹ أس أربعة، يساويان واحدًا. ولكن معاملات الحدود الأخرى أصعب قليلًا. فهي معطاة على صورة أربعة توافيق واحد، وأربعة توافيق اثنين، وأربعة توافيق ثلاثة. لكن ماذا يعني ذلك؟ حسنًا، ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. وبذلك، أربعة توافيق واحد يساوي مضروب أربعة على مضروب واحد في مضروب أربعة ناقص واحد. لكن بالطبع يمكننا إعادة كتابة المقام على صورة مضروب واحد في مضروب ثلاثة.
بعد ذلك، نتذكر أن مضروب أربعة يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد، ومضروب ثلاثة يساوي ثلاثة في اثنين في واحد. نقسم البسط والمقام على ثلاثة واثنين وواحد، بعبارة أخرى، نقسم على مضروب ثلاثة. فنجد أن أربعة توافيق واحد يساوي أربعة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي أربعة. وبهذا يصبح المعامل الثاني لدينا هو أربعة؛ المعامل هنا هو العدد المضروب في ﺱ تكعيب ﺹ الذي لدينا في التعبير. والآن، في الواقع، ليس علينا إجراء العملية نفسها مع أربعة توافيق ثلاثة. إذا عوضنا عن ﻥ بأربعة، وعن ﺭ بثلاثة في صيغة ﻥ توافيق ﺭ، فسنلاحظ أن ذلك يساوي مضروب أربعة على مضروب ثلاثة في مضروب واحد. هذا هو نفسه أربعة توافيق واحد. وبذلك، فإن أربعة توافيق ثلاثة يساوي أربعة أيضًا. هذا هو معامل ﺱﺹ تكعيب.
لكننا بحاجة إلى إيجاد قيمة أربعة توافيق اثنين. وهذا يساوي مضروب أربعة على مضروب اثنين في مضروب اثنين. دعونا نكتب مضروب أربعة على صورة أربعة في ثلاثة في مضروب اثنين. بعد ذلك، نكتب واحدًا من مضروبي اثنين على صورة اثنين في واحد. ونلاحظ أنه يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على مضروب اثنين. كما يمكننا أيضًا قسمة كل من البسط والمقام على اثنين. ونجد أن أربعة توافيق اثنين يساوي اثنين في ثلاثة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ستة. وبذلك، نكون قد أوجدنا مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. إنه يساوي واحد ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تكعيب ﺹ زائد ستة ﺱ تربيع ﺹ تربيع زائد أربعة ﺱﺹ تكعيب زائد واحد ﺹ أس أربعة.
وفي الحقيقة، لو كنا لاحظنا أن معاملي ﺱ وﺹ في المقدار ذي الحدين الأصلي يساويان واحدًا، لكان بإمكاننا أن ندرك أن معاملات الحدود الناتجة من المفكوك معطاة على صورة ﻥ توافيق ﻙ لقيم ﻙ من صفر إلى ﻥ، أي من صفر إلى أربعة. في كلتا الحالتين، نحصل في النهاية على المعاملات وهي واحد وأربعة وستة وأربعة وواحد.
