فيديو السؤال: استخدام متطابقات فيثاغورس لحساب المقادير المثلثية الرياضيات

أوجد (جا 𝜃 + جتا 𝜃)^٢، علمًا بأن جا 𝜃 جتا 𝜃 = ٦‏/‏٧.

٠٢:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 تربيع، علمًا بأن جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي ستة على سبعة.

أول شيء علينا فعله لحل هذا السؤال هو كتابة جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 تربيع كقوسين. يمكننا التعامل مع هذا المقدار مثلما نتعامل مع أي عملية إيجاد مفكوك ذات حدين وضرب القوسين لإيجاد الحدود الأربعة التالية: جا 𝜃 في جا 𝜃 زائد جا 𝜃 في جتا 𝜃 زائد جتا 𝜃 في جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 في جتا 𝜃.

نعلم أنه لا يهم ترتيب ضرب جا 𝜃 في جتا 𝜃 معًا. وهذا يعني أن جتا 𝜃 جا 𝜃 هو نفسه المقدار جا 𝜃 جتا 𝜃. وعند وضع هذا في الاعتبار، نجد أن الحدين الأوسطين هما في الواقع الشيء نفسه. ومن ثم يمكننا جمعهما معًا.

ثمة شيء آخر يمكننا القيام به لترتيب معادلتنا، وهو كتابة جا 𝜃 في جا 𝜃 في صورة جا 𝜃 تربيع. هذا يمكن كتابته كذلك في صورة جا تربيع 𝜃، والشيء نفسه ينطبق على جتا. لنعد كتابة هذين الحدين في مقدارنا. الآن وقد أعدنا كتابة المعادلة، لنعد ترتيب الحدود.

بالنظر إلى أول حدين من المقدار، ربما يمكنكم التعرف على إحدى متطابقات فيثاغورس. تفيد هذه المتطابقة أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. والشيء الثاني الذي نلاحظه هو أن المسألة تعطينا قيمة جا 𝜃 جتا 𝜃.

يمكننا إذن إجراء تعويضين في المقدار. أولًا، يمكننا التعويض عن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 بواحد. وثانيًا، يمكننا التعويض عن جا 𝜃 جتا 𝜃 بستة على سبعة.

لجعل عملية الجمع أسهل، يمكننا إعادة كتابة الواحد في صورة سبعة على سبعة حتى يتطابق المقامان. بضرب ستة على سبعة في اثنين، نحصل على ١٢ على سبعة. وبإضافة سبعة على سبعة إلى ١٢ على سبعة، نجد أن الناتج يساوي ١٩ على سبعة.

يمكننا إذن القول إن جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 الكل تربيع يساوي ١٩ على سبعة عندما يكون جا 𝜃 في جتا 𝜃 مساويًا لستة على سبعة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.