فيديو الدرس: التكامل بالتعويض: التكامل غير المحدد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، نتعلم كيفية استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد التكاملات غير المحددة. من المفترض أنك لا تجد صعوبة الآن في إيجاد المشتقة العكسية لعدة دوال، بما في ذلك دوال كثيرات الحدود والدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية. في هذا الدرس، سنتناول كيفية تطبيق هذه القواعد لإيجاد المشتقة العكسية، أو التكامل، لدوال أكثر تعقيدًا.

تبعًا للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، من المهم أن تكون قادرًا على إيجاد المشتقة العكسية. ولكن لا تخبرنا الصيغ بطريقة إيجاد تكاملات مثل تكامل ﺱ أس خمسة في ﺱ أس ستة زائد تسعة أس سبعة بالنسبة إلى ﺱ. لإيجاد هذا التكامل، نستخدم طريقة خاصة تتمثل في الاستعانة بشيء إضافي، وهو متغير جديد.

يسمى هذا بالتكامل بالتعويض. ويشار إليه أحيانًا بقاعدة السلسلة العكسية. تتمثل الخطوة الأولى عادة في صياغة التكامل بهذه الصورة. لاحظ أن لدينا الدالة ﺭ في المتغير ﺱ ومشتقتها الدالة ﺭ شرطة في المتغير ﺱ. وكما هو الحال غالبًا، فمن المنطقي أن نلقي نظرة على مثال يوضح آلية عمل ذلك.

أوجد تكامل ﺱ أس خمسة مضروبًا في ﺱ أس ستة زائد تسعة الكل أس سبعة بالنسبة إلى ﺱ.

هذه ليست كثيرة حدود يسهل حساب تكاملها باستخدام القواعد القياسية لإيجاد المشتقة العكسية. ولا نريد بالتأكيد فك القوس وإيجاد المشتقة العكسية لكل حد. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن التكامل مكتوب بهذه الصيغة. لدينا الدالة ﺭ في المتغير ﺱ ومشتقتها ﺭ شرطة في ﺱ. إذا نظرنا بدقة، نلاحظ أن ﺱ أس خمسة هو أحد المضاعفات القياسية لمشتقة ﺱ أس ستة زائد تسعة. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدد.

تنص قاعدة التعويض على أنه إذا كان ﻉ يساوي ﺭ ﺱ هو دالة قابلة للاشتقاق لها فترة تعريف ﻑ، وكانت الدالة ﺩ دالة متصلة على هذه الفترة، فإن تكامل ﺩ لـ ﺭ ﺱ مضروبًا في ﺭ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي تكامل ﺩ ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. نجعل ﻉ يساوي الدالة التي عرفناها، وهي ﺭ ﺱ. إذن ﻉ يساوي ﺱ أس ستة زائد تسعة.

هذا جيد؛ لأننا عند اشتقاق الدالة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ أس خمسة. في التكامل بالتعويض، نفكر في ﺩﻉ وﺩﺱ كمشتقتين. ويمكننا كتابة ذلك بطريقة أخرى، وهي ﺩﻉ يساوي ستة ﺱ أس خمسة ﺩﺱ. لاحظ أنه على الرغم من أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا بالتأكيد، فإننا نعامله على أنه كسر في هذه العملية. نقسم الكل على ستة ونجد أن سدس ﺩﻉ يساوي ﺱ أس خمسة ﺩﺱ.

والآن نعود إلى التكامل الأصلي. نلاحظ أنه يمكننا التعويض عن ﺱ أس خمسة ﺩﺱ بسدس ﺩﻉ. كما نعوض عن ﺱ أس ستة زائد تسعة بـ ﻉ. نلاحظ الآن أن التكامل الذي نوجد قيمته هو تكامل سدس ﻉ أس سبعة ﺩﻉ. وإذا اخترنا ذلك، فيمكننا نقل العامل سدس خارج علامة التكامل، ثم نوجد قيمة سدس تكامل ﻉ أس سبعة بالنسبة إلى ﻉ.

تكامل ﻉ أس سبعة يساوي ﻉ أس ثمانية مقسومًا على ثمانية؛ لأن هذا تكامل غير محدد، زائد ﺙ وهو ثابت التكامل. نفك القوس. نلاحظ أن التكامل يساوي واحدًا على ٤٨ في ﻉ أس ثمانية زائد ﺙ واحد. لاحظ أنني كتبت ﺙ واحد لأن الثابت الأصلي للتكامل مضروب في سدس.

لكن تذكر أننا نريد في الأصل إيجاد التكامل بدلالة ﺱ. إذن، نفكر في التعريف الأصلي لـ ﻉ. قلنا إن ﻉ يساوي ﺱ أس ستة زائد تسعة. ومن ثم، نلاحظ أن التكامل يساوي واحدًا على ٤٨ في ﺱ أس ستة زائد تسعة أس ثمانية زائد ﺙ واحد.

في هذا المثال، لاحظنا أن علينا اختيار ﻉ كأحد عوامل الدالة التي سيتم تكاملها ومشتقتها موجودة أيضًا، وإن كان أحد مضاعفاتها القياسية. إذا لم يكن هذا ممكنًا، فإننا نحاول جعل ﻉ الجزء الأكثر تعقيدًا في الدالة المكاملة. وقد يكون هذا دالة داخلية في دالة مركبة أو ما شابه. دعونا نلق نظرة على مثال لذلك.

أوجد تكامل ثمانية ﺱ في ثمانية ﺱ زائد تسعة تربيع بالنسبة إلى ﺱ باستخدام طريقة التعويض.

في هذا المثال، مطلوب منا بوضوح استخدام طريقة التعويض لإيجاد التكامل. في العادة، نختار أن يكون التعويض بـ ﻉ كأحد عوامل الدالة التي سيتم تكاملها ومشتقتها موجودة أيضًا، وإن كان أحد مضاعفاتها كمية قياسية. ولكن لا تتضح دلالة ذلك الآن. إذن، بدلًا من ذلك، نحاول أن نجعل ﻉ الجزء الأكثر تعقيدًا في الدالة، ربما الدالة الداخلية في دالة مركبة.

دعونا نجرب ﻉ يساوي ثمانية ﺱ زائد تسعة. هذا يعني أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ثمانية. يمكننا معاملة ﺩﻉ وﺩﺱ كمشتقتين. تذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكننا نعامله على أنه كذلك عند إجراء عملية تكامل بالتعويض. يمكننا القول إن ﺩﻉ يساوي ثمانية ﺩﺱ. وهو ما يكافئ ثمن ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. هذا لا يساعدنا الآن. فإذا عوضنا عن ﺩﺱ بثمن ﺩﻉ وعن ثمانية ﺱ زائد تسعة بـ ﻉ، فسيظل لدينا جزء من الدالة وهو ثمانية ﺱ بدلالة ﺱ.

ولكن إذا رجعنا إلى التعويض، نلاحظ أنه يمكننا إعادة ترتيب ذلك. نطرح تسعة من الطرفين ونجد أن ثمانية ﺱ يساوي ﻉ ناقص تسعة. ومن ثم، يصبح التكامل ﻉ ناقص تسعة في ﻉ تربيع في ثمن ﺩﻉ. لننقل الثمن خارج التكامل ونفك القوس، وسنلاحظ أن لدينا كثيرة حدود بسيطة يمكننا حساب تكاملها.

تكامل ﻉ تكعيب هو ﻉ أس أربعة مقسومًا على أربعة. تكامل سالب تسعة ﻉ تربيع هو سالب تسعة ﻉ تكعيب مقسومًا على ثلاثة. يجب ألا ننسى ﺙ واحد، وهو ثابت التكامل. يمكننا تبسيط تسعة ﻉ تكعيب على ثلاثة إلى ثلاثة ﻉ تكعيب. ولكن علينا ألا ننسى التعويض عن ﻉ بثمانية ﺱ زائد تسعة في الخطوة الأخيرة.

عند القيام بذلك، نلاحظ أن التكامل يساوي ثمن في ثمانية ﺱ زائد تسعة أس أربعة مقسومًا على أربعة ناقص ثلاثة في ثمانية ﺱ زائد تسعة تكعيب زائد ﺙ واحد. عند فك القوسين، نجد أننا توصلنا إلى الحل. وهو واحد على ٣٢ في ثمانية ﺱ زائد تسعة أس أربعة ناقص ثلاثة أثمان في ثمانية ﺱ زائد تسعة تكعيب زائد ﺙ واحد.

أوجد تكامل ٤٨ ناقص ستة ﺱ على الجذر الخامس لـ ١٦ ناقص اثنين ﺱ ﺩﺱ.

لا يتضح لنا كيفية إيجاد هذا التكامل. ولكن إذا نظرنا جيدًا، نلاحظ أن البسط مضاعف قياسي للدالة الداخلية في المقام حيث ٤٨ ناقص ستة ﺱ يساوي ثلاثة في ١٦ ناقص اثنين ﺱ. هذا تلميح بأنه ينبغي علينا استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد التكامل غير المحدد.

نجعل ﻉ يساوي ١٦ ناقص اثنين ﺱ. اخترنا هذا الجزء للتعويض حيث إن ١٦ ناقص اثنين ﺱ دالة داخلية في دالة مركبة. نشتق ﻉ بالنسبة إلى ﺱ، ونلاحظ أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين. تذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكننا نعامله على أنه كذلك عند إجراء عملية تكامل بالتعويض. يمكننا ملاحظة أن هذا يماثل قولنا سالب نصف ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.

لنعوض بما لدينا في التكامل الأصلي. نلاحظ أن ٤٨ ناقص ستة ﺱ يساوي ثلاثة في ١٦ ناقص اثنين ﺱ. يصبح البسط ثلاثة ﻉ. ويصبح المقام الجذر الخامس لـ ﻉ. ونعوض عن ﺩﺱ بسالب نصف ﺩﻉ. نخرج العامل سالب ثلاثة على اثنين. نكتب المقام بالصورة ﻉ أس خمس. نقسم ﻉ أس واحد على ﻉ أس خمس.

نطرح خمسًا من واحد، فيتبقى لدينا ﻉ أس أربعة أخماس. المشتقة العكسية لـ ﻉ أس أربعة أخماس تساوي ﻉ أس تسعة أخماس مقسومًا على تسعة أخماس. هذا يساوي خمسة على تسعة في ﻉ أس تسعة أخماس. تذكر أن هذا تكامل غير محدد، إذن نضيف ثابت التكامل ﺙ.

عند فك القوس، نحصل على سالب خمسة أسداس في ﻉ أس تسعة أخماس زائد ﺙ واحد. بما أن الثابت الأصلي مضروب في سالب ثلاثة على اثنين، ونوجد التكامل بدلالة المتغير ﺱ، فيجب أن نعوض عن ﻉ بـ ١٦ ناقص اثنين ﺱ. نلاحظ أن التكامل هو سالب خمسة أسداس في ١٦ ناقص اثنين ﺱ أس تسعة أخماس زائد ﺙ واحد.

في المثالين السابقين، لاحظنا أنه يمكننا إجراء التكامل بالتعويض حتى وإن لم يتضح كيف تبدو هذه العملية. سنرى الآن كيف يمكننا استخدام العملية لحساب تكامل دوال مثلثية أكثر تعقيدًا.

أوجد تكامل سالب ٢٤ﺱ تكعيب زائد ٣٠ جا ستة ﺱ في سالب ستة ﺱ أس أربعة ناقص خمسة جتا ستة ﺱ أس خمسة بالنسبة إلى ﺱ.

لإيجاد هذا التكامل، علينا ملاحظة أن سالب ٢٤ﺱ تكعيب زائد ٣٠ جا ستة ﺱ هو مشتقة الدالة الداخلية لهذه الدالة المركبة سالب ستة ﺱ أس أربعة ناقص خمسة جتا ستة ﺱ. نستنتج من ذلك أنه يمكننا استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد هذا التكامل. نجعل ﻉ الدالة الداخلية في الدالة المركبة، ثم نستخدم النتيجة العامة لمشتقة جتا ﺃﺱ.

نلاحظ أن ﺩﻉ على ﺩﺱ، أي اشتقاق ﻉ بالنسبة إلى ﺱ، يساوي سالب ٢٤ﺱ تكعيب زائد ٣٠ جا ستة ﺱ. تذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكننا نعامله على أنه كذلك عند إجراء عملية التكامل بالتعويض. نلاحظ أن هذا يماثل قولنا ﺩﻉ يساوي سالب ٢٤ﺱ تكعيب زائد ٣٠ جا ستة ﺱ ﺩﺱ. نعوض عن سالب ٢٤ﺱ تكعيب زائد ٣٠ جا ستة ﺱ ﺩﺱ بـ ﺩﻉ. ونعوض عن سالب ستة ﺱ أس أربعة ناقص خمسة جتا ستة ﺱ بـ ﻉ.

نجد أن التكامل قد أصبح بسيطًا. وهو تكامل ﻉ أس خمسة ﺩﻉ. المشتقة العكسية لـ ﻉ أس خمسة هي ﻉ أس ستة على ستة. إذن تكامل ﻉ أس خمسة ﺩﻉ هو ﻉ أس ستة على ستة زائد ثابت التكامل ﺙ. تذكر أن التكامل بدلالة المتغير ﺱ، ومن ثم نعوض عن ﻉ بسالب ستة ﺱ أس أربعة ناقص خمسة جتا ستة ﺱ.

بذلك نكون قد أوجدنا التكامل. وهو سدس سالب ستة ﺱ أس أربعة ناقص خمسة جتا ستة ﺱ أس ستة زائد ﺙ.

في المثال الأخير، سنلقي نظرة على كيفية استخدام التكامل بالتعويض لحساب تكامل دالة لوغاريتمية.

أوجد تكامل سالب ١١ على ستة ﺱ في الجذر التكعيبي للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ﺩﺱ.

لإيجاد هذا التكامل، علينا ملاحظة أن اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ يساوي واحدًا على ﺱ وأن هذا الجزء من الدالة هو مضاعف قياسي لواحد على ﺱ. نستنتج من ذلك أنه يمكننا استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد التكامل. نجعل ﻉ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. نلاحظ أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ.

تذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكننا نعامله على أنه كذلك عند إجراء عملية تكامل بالتعويض. كما نلاحظ أن هذا يماثل قولنا ﺩﻉ يساوي واحدًا على ﺱ ﺩﺱ. لنعوض بما لدينا في التكامل. إذا أخرجنا العامل سالب ١١ سدسًا، نجد أنه يمكننا التعويض عن واحد على ﺱ ﺩﺱ بـ ﺩﻉ. كذلك نعوض عن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بـ ﻉ.

لتسهيل حساب تكامل ذلك، نتذكر أن الجذر التكعيبي لـ ﻉ يساوي ﻉ أس ثلث. نعلم أن المشتقة العكسية لـ ﻉ أس ثلث هي ﻉ أس أربعة أثلاث مقسومًا على أربعة أثلاث أو ثلاثة أرباع ﻉ أس أربعة على ثلاثة. نفك القوس ونلاحظ أن التكامل يساوي سالب ١١ على ثمانية في ﻉ أس أربعة أثلاث زائد ﺙ واحد.

غيرنا حرف ﺙ إلى ﺙ واحد، حيث ضربنا ثابت التكامل الأصلي في سالب ١١ على ستة، ومن ثم يتغير العدد. من المهم، بالتأكيد، أن نتذكر أن التكامل الأصلي لدينا بدلالة ﺱ. إذن نعوض عن ﻉ باللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. نجد أن الحل هو سالب ١١ على ثمانية في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أس أربعة أثلاث زائد ﺙ واحد.

في هذا الفيديو، لاحظنا أنه يمكننا استخدام التعويض لإيجاد تكامل دوال أكثر تعقيدًا. وعرفنا أننا عادة ما نجعل ﻉ عاملًا للدالة التي سيتم تكاملها ومشتقتها موجودة أيضًا، وإن كان أحد مضاعفاتها كمية قياسية. إذا لم يكن هذا ممكنًا، فإننا نجعل ﻉ الجزء المعقد في الدالة التي سيتم تكاملها. وقد يكون هذا دالة داخلية في دالة مركبة أو ما شابه. لاحظنا أيضًا أنه يمكن استخدام هذه الطريقة لحساب تكامل الدوال التي تتضمن جذورًا والدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية.