تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل زوج من المعادلات الآنِيَّة باستخدام المصفوفات

أحمد مدحت

استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات التالي: ٤ﺱ + ﺹ = ٣٣، ٣ﺱ + ٤ﺹ = ٢٨

٠٣:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

عندنا في المثال عايزين نستخدم المصفوفات علشان نحل نظام المعادلات أربعة س زائد ص يساوي تلاتة وتلاتين، وتلاتة س زائد أربعة ص يساوي تمنية وعشرين.

أول حاجة هنعملها إن إحنا هنعبّر عن المعادلتين اللي عندنا في صورة معادلة المصفوفة. ومعادلة المصفوفة عبارة عن مصفوفة المعاملات في مصفوفة المتغيرات يساوي مصفوفة الثوابت. بالنسبة لمصفوفة المعاملات، هتكون على نَظم اتنين في اتنين؛ وده لأن إحنا عندنا معادلتين، وفي المعادلتين دول موجود متغيرين.

فالأول هنوجد مصفوفة المعاملات. في العمود الأول من المصفوفة، هنكتب معاملات المتغير س. ومعاملات المتغير س هي: أربعة وتلاتة. كده إحنا خلّصنا العمود الأول من المصفوفة. بالنسبة للعمود التاني، هنكتب فيه معاملات المتغير ص. ومعاملات المتغير ص هي: واحد وأربعة. وبكده هيبقى إحنا كوّنّا مصفوفة المعاملات.

بالنسبة لمصفوفة المتغيرات، فهتكون على نَظم اتنين في واحد. وبما إن معاملات المتغير س هي اللي كانت في العمود الأول، فالصف الأول من مصفوفة المتغيرات هيكون فيه المتغير س. وفي الصف التاني هنكتب المتغير ص. وبكده هيبقى إحنا أوجدنا مصفوفة المتغيرات.

بعد كده مصفوفة الثوابت هتكون على نَظم اتنين في واحد. الصف الأول من مصفوفة الثوابت هيكون فيه العدد تلاتة وتلاتين. والصف التاني من المصفوفة دي هيكون فيه العدد تمنية وعشرين. بكده مصفوفة المعاملات في مصفوفة المتغيرات يساوي مصفوفة الثوابت.

بعد كده علشان نحلّ معادلة المصفوفة دي، هنضرب الطرفين بتوعها في المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات. فبالتالي هنوجد المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات. ومصفوفة المعاملات على نَظم اتنين في اتنين. والمعكوس الضربي للمصفوفة اللي على نَظم اتنين في اتنين، زي المصفوفة أ ج ب د، المصفوفة دي بيبقى المعكوس الضربي ليها هو واحد على، أ د ناقص ب ج، في المصفوفة اللي الصف الأول بتاعها هو د وسالب ج، والصف التاني بتاعها هو سالب ب وَ أ.

معنى كده إن المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات يساوي واحد على؛ أربعة في أربعة، ناقص تلاتة في واحد؛ في المصفوفة اللي الصف الأول فيها هيبقى عبارة عن أربعة وسالب واحد، والصف التاني فيها يبقى عبارة عن سالب تلاتة وأربعة. يعني المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات هو واحد على تلتاشر في مصفوفة صفّها الأول هو أربعة وسالب واحد، وصفّها التاني هو سالب تلاتة وأربعة.

الخطوة اللي بعد كده إن إحنا نضرب معادلة المصفوفة في المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات. وإحنا لمّا هنضرب المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات في مصفوفة المعاملات، هيكون الناتج هو مصفوفة الوحدة. معنى كده إنه هيتبقّى في الطرف الأيمن من معادلة المصفوفة، مصفوفة المتغيرات. بكده مصفوفة المتغيرات تساوي المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات في مصفوفة الثوابت.

فلمّا هنضرب المصفوفة اللي صفّها الأول هو أربعة وسالب واحد، وصفّها التاني هو سالب تلاتة وأربعة؛ في مصفوفة الثوابت؛ هيبقى عندنا إن مصفوفة المتغيرات تساوي واحد على تلتاشر في مصفوفة على النَّظم اتنين في واحد. الصف الأول فيها هيبقى عبارة عن أربعة في تلاتة وتلاتين، زائد سالب واحد في تمنية وعشرين. والصف التاني فيها عبارة عن سالب تلاتة في تلاتة وتلاتين، زائد أربعة في تمنية وعشرين.

فلمّا هنضرب هنلاقي مصفوفة المتغيرات تساوي واحد على تلتاشر، في المصفوفة اللي على نَظم اتنين في واحد؛ صفّها الأول هو مية وأربعة، وصفّها التاني هو تلتاشر. ولمّا هنضرب واحد على تلتاشر في المصفوفة اللي عندنا، فلمّا هنضرب هنلاقي مصفوفة المتغيرات تساوي مصفوفة على النَّظم اتنين في واحد. الصف الأول فيها بيحتوي على العدد تمنية، والصف التاني فيها بيحتوي على العدد واحد. معنى كده إن هيبقى حل نظام المعادلات اللي عندنا هو س تساوي تمنية، وَ ص تساوي واحد.