نسخة الفيديو النصية
المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ طول ضلعه ٨٢ سنتيمترًا. عندما توضع ثلاث كتل متساوية عند رءوس المثلث، يكون مركز كتلة النظام هو ﻡ. عندما تزال الكتلة الموضوعة عند الرأس ﺟ، يكون مركز كتلة النظام هو ﻡ شرطة. أوجد إحداثيات مركزي كتلتي النظامين، ﻡ وﻡ شرطة.
في هذا السؤال، لدينا شكلان يمثلان نظامين يتضمنان المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ نفسه. طول ضلع المثلث يساوي ٨٢ سنتيمترًا. في الشكل واحد، لدينا كتل متساوية موضوعة عند الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ. وجاء في السؤال أن مركز كتلة النظام هو ﻡ. في الشكل اثنين، أزيلت الكتلة الموضوعة عند الرأس ﺟ؛ ومن ثم أصبحت لدينا كتلتان فقط عند الرأسين ﺃ وﺏ. وهذه المرة، مركز الكتلة هو ﻡ شرطة.
مطلوب منا إيجاد إحداثيات كل من ﻡ وﻡ شرطة. لإيجاد إحداثيات ﻡ، سنبدأ بملء الجدول الآتي بالنسبة إلى الشكل واحد. سنفترض أن الكتل المتساوية عند الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ تساوي ﻙ من الجرامات. بما أن النقطة ﺏ تقع عند نقطة الأصل، فإن إحداثييها هما: صفر، صفر. تقع النقطة ﺟ على مسافة ٨٢ سنتيمترًا على المحور ﺱ، إذن إحداثياها هما:٨٢، صفر. نظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع، فإن الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ يساوي ٨٢ مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي ٤١. والإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ يساوي ارتفاع المثلث القائم الزاوية المرسوم.
بتطبيق نظرية فيثاغورس، نعرف أن ﻝ تربيع يساوي ٨٢ تربيع ناقص ٤١ تربيع. وهو ما يساوي ٥٠٤٣. بعد ذلك، نحسب الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. ونظرًا لأن ﻝ لا بد أن يكون موجبًا، فإن ﻝ يساوي ٤١ جذر ثلاثة. وبذلك، تكون إحداثيات الرأس ﺃ هي: ٤١، ٤١ جذر ثلاثة.
يمكننا الآن إيجاد إحداثيات مركز كتلة النظام الأول؛ ﻡ. الإحداثي ﺱ للنقطة ﻡ، الذي سنسميه ﺱﻡ واحد، يساوي ﻙ مضروبًا في ٤١ زائد ﻙ مضروبًا في صفر زائد ﻙ مضروبًا في ٨٢ الكل مقسوم على ﻙ زائد ﻙ زائد ﻙ. وهنا نضرب الكتل النسبية عند كل رأس من الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ في الإحداثي ﺱ المناظر لكل منها. وبعد ذلك نوجد مجموع هذه القيم، ثم نقسم على مجموع الكتل. يبسط المقدار الذي يعبر عن ﺱﻡ واحد إلى ٤١ﻙ زائد ٨٢ﻙ مقسومًا على ثلاثة ﻙ. بعد ذلك، يمكننا أن نقسم المقدار على العامل المشترك ﻙ؛ لأن الكتلة لا يمكن أن تساوي صفرًا. بهذا يتبقى لدينا ١٢٣ مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يساوي ٤١. إذن، الإحداثي ﺱ للنقطة ﻡ هو ٤١. بتكرار ذلك مع الإحداثي ﺹ، نحصل على ٤١ جذر ثلاثة ﻙ على ثلاثة ﻙ. مرة أخرى، نحذف حدي ﻙ ويتبقى لدينا ٤١ جذر ثلاثة على ثلاثة. وهذا هو الإحداثي ﺹ للنقطة ﻡ.
لننتقل الآن إلى الشكل اثنين لإيجاد إحداثيات ﻡ شرطة. الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ لها الإحداثيات نفسها. لكن، هذه المرة، ليست هناك كتلة عند الرأس ﺟ. الإحداثي ﺱ لمركز كتلة هذا النظام، الذي سنسميه ﺱﻡ اثنين، يساوي ﻙ مضروبًا في ٤١ زائد ﻙ مضروبًا في صفر مقسومًا على ﻙ زائد ﻙ. نلاحظ أن الكتلة الكلية لهذا النظام تساوي اثنين ﻙ. يبسط المقدار الذي يعبر عن ﺱﻡ اثنين إلى ٤١ﻙ على اثنين ﻙ. نقسم مرة أخرى على ﻙ، فنحصل على ٤١ على اثنين. إذن، الإحداثي ﺱ لـ ﻡ شرطة يساوي ٤١ على اثنين. بتكرار ذلك مع الإحداثي ﺹ، نحصل على ٤١ جذر ثلاثة ﻙ مقسومًا على اثنين ﻙ. ويبسط هذا إلى ٤١ جذر ثلاثة على اثنين.
لدينا الآن إحداثيات كل من ﻡ وﻡ شرطة كما هو مطلوب، ومن الجدير بالذكر أن ﻡ شرطة هي نقطة المنتصف للنقطتين ﺃ وﺏ. إذن، إحداثيات مركز كتلة النظام الأول هي: ٤١، ٤١ جذر ثلاثة على ثلاثة، وإحداثيات مركز كتلة النظام الثاني هي:٤١ على اثنين، ٤١ جذر ثلاثة على اثنين.
