نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة العكسية العامة ﺕﺱ للدالة دﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص واحد.
لدينا في السؤال الدالة التربيعية دﺱ، ومطلوب منا إيجاد المشتقة العكسية العامة لهذه الدالة دﺱ. وسنسمي هذه الصيغة العامة للمشتقة العكسية ﺕﺱ. دعونا نبدأ بتذكر ما المشتقة العكسية. نقول إن ﺕﺱ هي المشتقة العكسية للدالة دﺱ إذا كانت مشتقة ﺕﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي دﺱ.
لكننا نعلم أن المشتقات العكسية للدالة ليست دالة وحيدة. على سبيل المثال، مشتقة ﺱ زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا؛ إذن، ﺱ زائد واحد مشتقة عكسية لواحد. لكن إذا حسبنا مشتقة ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ، فسنحصل على واحد أيضًا. إذن، ﺱ ناقص واحد مشتقة عكسية لواحد أيضًا. في الواقع، بالنسبة إلى أي ثابت ﺙ، فإن مشتقة ﺱ زائد ﺙ بالنسبة إلى ﺱ ستساوي واحدًا. ونسمي هذه المشتقة العكسية العامة لأنه يمكننا التعويض بأي قيمة عن ﺙ وسنحصل على مشتقة عكسية ما. بهذا، نكون قد عرفنا شكل المشتقة العكسية العامة.
لنتناول الآن كيفية إيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة التربيعية دﺱ. لنبدأ بالتفكير في كل حد على حدة. هيا نبدأ بثلاثة ﺱ تربيع. علينا إيجاد مقدار مشتقته تساوي ثلاثة ﺱ تربيع. تذكر أن قاعدة القوة للاشتقاق تنص على أنه لأي ثابتين ﺃ وﻥ، فإن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بعبارة أخرى، ﺃﺱ أس ﻥ هي مشتقة عكسية لـ ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نحن هنا نريد مقدارًا عند اشتقاقه يعطينا مقدارًا به أس ﺱ يساوي اثنين. لذا، يجب أن تكون قيمة ﻥ تساوي ثلاثة. هيا نعوض بـ ﻥ يساوي ثلاثة لإيجاد قيمة ﺃ.
لنشتق ﺃﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. لنفعل ذلك، سنستخدم قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب في أس ﺱ، ثم نقلل هذا الأس بمقدار واحد. وهذا يعطينا ثلاثة ﺃﺱ تربيع. تذكر أننا نريد أن يكون ذلك مشتقة عكسية لثلاثة ﺱ تربيع. لذا، يجب أن يكون معامل ﺱ تربيع يساوي ثلاثة. لذلك، سنجعل قيمة ﺃ تساوي واحدًا. وهكذا نكون أوضحنا حتى الآن أن ﺱ تكعيب مشتقة عكسية لثلاثة ﺱ تربيع. ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق اشتقاق ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. إذا فعلنا ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، فسنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع.
هيا الآن نفعل الشيء نفسه مع الحد الثاني، سالب اثنين ﺱ. مرة أخرى، يمكن أن نفعل شيئًا مشابهًا باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا أن نلاحظ هنا أن سالب اثنين ﺱ هو نفسه سالب اثنين ﺱ أس واحد. لذا، نحن نريد دالة اشتقاقها يعطينا سالب اثنين ﺱ أس واحد. ومن ثم يجب أن نجعل قيمة ﻥ تساوي اثنين. سنجعل قيمة ﻥ تساوي اثنين ونستخدم قاعدة القوة للاشتقاق لاشتقاق ﺏﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. لنفعل ذلك، سنضرب في أس ﺱ، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا اثنين ﺏﺱ أس واحد. وبالطبع، ﺱ أس واحد يساوي ﺱ.
تذكر أننا نريد إيجاد المشتقة العكسية لسالب اثنين ﺱ، لذا يجب أن يكون معامل ﺱ مساويًا لسالب اثنين. ويتحقق ذلك إذا كانت قيمة ﺏ تساوي سالب واحد. وبهذا نكون توصلنا إلى أن سالب ﺱ تربيع مشتقة عكسية لسالب اثنين ﺱ. ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق اشتقاق سالب ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. سنستخدم قاعدة القوة للاشتقاق، وسنحصل على سالب اثنين ﺱ.
يمكننا فعل الشيء نفسه مع الحد الأخير سالب واحد. لكننا نعلم بالفعل أن مشتقة أي دالة خطية ستساوي معامل ﺱ. لذا، مثلما فعلنا في المثال السابق، يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لسالب واحد عن طريق دالة خطية بها معامل ﺱ يساوي سالب واحد. على سبيل المثال، سالب ﺱ مشتقة عكسية لسالب واحد. مرة أخرى، يمكننا التحقق من ذلك عن طريق اشتقاق سالب ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وذلك يساوي معامل ﺱ، وهو سالب واحد.
والآن بعد أن أوجدنا المشتقة العكسية لكل حد من الحدود الثلاثة للدالة دﺱ، يمكننا أن نجمعها معًا لنحصل على مشتقة عكسية للدالة دﺱ. والسبب في صحة ذلك هو أنه إذا اشتققنا هذه الدالة، يمكننا إيجاد المشتقة حدًّا تلو الآخر. وكل حد من هذه الحدود يمثل مشتقة عكسية لأحد حدود الدالة دﺱ. ومن ثم بحساب هذه المشتقة نحصل على دﺱ. لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو إيجاد المشتقة العكسية العامة. ولنفعل ذلك، علينا إضافة ثابت إلى الدالة. سنمثل ذلك بـ ث.
وهكذا، استطعنا توضيح أن الدالة دﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص واحد سيكون لها المشتقة العكسية العامة ﺕﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص ﺱ تربيع ناقص ﺱ زائد ثابت ث.
