نسخة الفيديو النصية
ربط الضرب بالقسمة
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل العلاقة بين الضرب والقسمة. كما سنتعلم كيف نكتب مجموعة من الحقائق المرتبطة بعضها ببعض. لنبدأ بإجراء اختبار رياضيات صعب للغاية. لا داعي للقلق، فالأمر لا يخصك. إنه يخص هذه المجموعة المكونة من ١٠ أطفال. قبل أن يبدءوا، لنرتبهم في صفين متساويين. ها نحن أولاء. لقد رتبنا الأطفال في صفين حيث يوجد خمسة أطفال في كل صف. أو إذا نظرنا إلى الأطفال بطريقة مختلفة، فيمكننا القول إن لدينا خمسة أعمدة أو مجموعات مكونة من طفلين. وكما تعلمون، يمكننا استخدام الجمل العددية لتوضيح إجمالي عدد الأطفال، والذي نعرف أنه ١٠، بطريقتين مختلفتين. مجموعتان من خمسة تساويان ١٠، وخمس مجموعات من اثنين تساوي ١٠.
وهذا يوضح ما نعرفه بالفعل عن حقائق الضرب. يمكننا تبديل العدد الذي نضرب فيه، وسنحصل أيضًا على الإجابة نفسها. إذن، اثنان في خمسة يساوي ١٠، وخمسة في اثنين يساوي ١٠. هل يمكننا أن نقول إن هاتين الجملتين هما حقيقتان عدديتان مختلفتان أم إنهما تمثلان الحقيقة نفسها؟ لنصفهما بأنهما حقيقتان عدديتان مختلفتان ولكنهما مترابطتان. إنهما من عائلة واحدة، أليس كذلك؟ وتحتويان على الأعداد نفسها. تحتوي كل من جملتي الضرب على اثنين وخمسة و١٠. هل توجد حقائق عددية أخرى يمكننا تكوينها باستخدام هذه الأعداد؟ ماذا لو فكرنا بطريقة عكسية؟
لمساعدتنا في فهم المقصود من ذلك، دعونا نفكر في عمليات الجمع والطرح للحظة. نحن نعلم أن الجمع يعني تجميع الأعداد معًا. لكن الطرح يمثل العملية العكسية من خلال فصل الأعداد والأخذ منها. فالجمع والطرح هما ما نسميهما معكوس أحدهما للآخر؛ أي إنهما عمليتان عكسيتان. لذا، إذا كانت لدينا حقيقة عددية مثل اثنان زائد ثلاثة يساوي خمسة، فيمكننا التفكير بطريقة عكسية واستخدام العملية العكسية لتحويل هذه الحقيقة إلى حقيقة أخرى مرتبطة بها. إذا بدأنا بالعدد خمسة وطرحنا منه ثلاثة، فسيتبقى لدينا اثنان. وكيف نعرف ذلك؟ نعرف ذلك لأن اثنين زائد ثلاثة يساوي خمسة. وبالطريقة نفسها التي يكون فيها الجمع والطرح عمليتين عكسيتين، فإن الضرب والقسمة هما عمليتان عكسيتان أيضًا.
لذا عندما نتكلم عن النظر إلى عمليتي الضرب هاتين والبدء في التفكير بطريقة عكسية، فإن ما نقوله حقًّا هو: «لنبدأ بناتج جملتي الضرب لدينا، أي الكمية الكلية، وهي ١٠ أطفال، ولنستخدم المعكوس». لنقسم ١٠ بطرق مختلفة، باستخدام حقائق الضرب لدينا لمساعدتنا. إذا كنت تتذكر، أول حقيقة ضرب لاحظناها تتعلق بعدد الصفوف. وقلنا إنه يوجد صفان بهما خمسة أطفال في كل صف. إذن، إذا بدأنا بمجموعة مكونة من ١٠ أطفال، فيمكننا أن نسأل أنفسنا ماذا سيحدث إذا أخذنا هؤلاء الأطفال العشرة وقسمناهم إلى جزأين متساويين؟ سيكون لدينا خمسة أطفال في كل جزء، نعم، تمامًا مثلما يوجد خمسة أطفال في كل صف.
وتوجد حقيقة أخرى تتعلق بالقسمة في هذه العائلة أيضًا. وكما نعرف أن خمسة أمثال من العدد اثنين تساوي ١٠، فيمكننا تقسيم ١٠ إلى خمس مجموعات متساوية. ونعلم أنه سيكون هناك طفلان في كل مجموعة. ١٠ مقسومًا على خمسة يساوي اثنين، ومن ثم فإن الأعداد اثنين وخمسة و١٠ هي جزء من عائلة. يمكننا استخدامها لكتابة حقائق الضرب والقسمة المترابطة. اثنان في خمسة يساوي ١٠، وخمسة في اثنين يساوي ١٠. ١٠ مقسومًا على اثنين يساوي خمسة، و١٠ مقسومًا على خمسة يساوي اثنين.
وإليكم حقيقة ضرب جديدة. خمسة في أربعة يساوي ٢٠. ما عدد الحقائق الأخرى التي يمكننا كتابتها والتي تمثل جزءًا من العائلة نفسها؟ حسنًا، بالإضافة إلى حقيقة الضرب هذه، تذكر أنه يمكننا تبديل العددين اللذين نضربهما. إذن، أربعة في خمسة يساوي ٢٠ أيضًا. وبعد ذلك، يمكننا أن نبدأ بالعدد ٢٠ ونفكر في المعكوس أيضًا.
إذا كانت خمسة أمثال من العدد أربعة تساوي ٢٠، إذن يمكننا أن نقسم ٢٠ إلى مجموعات مكونة من أربعة، وسيكون لدينا خمس مجموعات منها. وإذا كنا نعلم أن أربعة أمثال من العدد خمسة تساوي ٢٠، فيمكننا تقسيم ٢٠ إلى مجموعات مكونة من خمسة، وسيكون لدينا أربع مجموعات منها. بذلك، نكون قد أوجدنا حقيقتي ضرب، ثم نظرنا إلى المعكوس وأوجدنا حقيقتي قسمة. وتحتوي كل من هذه الحقائق على الأعداد خمسة وأربعة و٢٠.
هل تظن أنك فهمت الأمر الآن؟ ها هي حقيقة جدول ضرب أخرى. ما عدد الحقائق المترابطة التي يمكننا التفكير فيها؟ حسنًا، هذا سؤال خادع بعض الشيء؛ وأتساءل عما إذا كان بإمكانك معرفة السبب. العددان اللذان نضربهما معًا متساويان. لذا، إذا بدلناهما، فسنحصل على الحقيقة نفسها. وإذا فكرنا في المعكوس، فيمكننا كتابة ٣٦ مقسومًا على ستة يساوي ستة. لكن مرة أخرى، القسمة الأخرى التي يمكننا كتابتها هي قسمة متماثلة، وهي ٣٦ مقسومًا على ستة يساوي ستة. إنه لسؤال خادع إلى حد ما لكي ننتهي به. إذن، توجد حقيقتان فقط في هذه العائلة. هيا ننتقل للإجابة على بعض الأسئلة الآن، ولن يكون من بينها سؤال خادع. كل ما علينا فعله هو محاولة تطبيق كل ما تعلمناه عن عائلات حقائق الضرب والقسمة هذه.
أوجد الأعداد الناقصة بتكوين ست مجموعات متساوية من ٥٤ كتابًا. ستة في (فراغ) يساوي ٥٤. ٥٤ مقسومًا على ستة يساوي (فراغ). و٥٤ مقسومًا على تسعة يساوي (فراغ).
في الصورة، يمكننا رؤية ٥٤ كتابًا. وقد رتبت بهذه الطريقة بحيث تساعدنا في الإجابة عن هذا السؤال. لدينا ثلاث جمل عددية، وهي جملة ضرب وجملتا قسمة. وفي كل جملة عددية، يوجد عدد ناقص. أخبرنا السؤال أن علينا إيجاد هذه الأعداد الناقصة بتكوين ست مجموعات متساوية من الكتب التي عددها ٥٤. هل يمكنك ملاحظة كيف يمكننا رسم بعض الصفوف على هذا الشكل لمعرفة ذلك؟ الطريقة التي رتبت بها الكتب هي استخدام ستة صفوف متساوية. وهذه طريقة سريعة لإيجاد المجموعات الست المتساوية. ها قد فعلناها، لدينا ست مجموعات متساوية. ويوجد كتاب، كتابان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة كتب في كل مجموعة.
إذن، هيا نستخدم ما يمكننا رؤيته لمساعدتنا في كتابة هذه الحقائق المترابطة. ستة مضروبًا في (فراغ) يساوي ٥٤. في هذه الجملة، يمكننا التفكير بالعدد ستة باعتباره يمثل الصفوف الستة. والعدد ٥٤، الذي يمثل حاصل الضرب لدينا، هو العدد الكلي للكتب التي لدينا. إذن، ستة أمثال من (فراغ) تساوي ٥٤. وكما رأينا، توجد تسعة كتب في كل صف. إذن، يمكننا القول إن ستة في تسعة يساوي ٥٤. الجملة العددية التالية لدينا تمثل معكوس الضرب. فعلينا القسمة فيها. ٥٤ مقسومًا على ستة يساوي (فراغ). بعبارة أخرى، إذا بدأنا بإجمالي عدد الكتب، وهو ٥٤، وقسمناه إلى ستة صفوف متساوية، فما عدد الكتب في كل صف؟ الإجابة هي تسعة. إذا كانت ستة أمثال من العدد تسعة تساوي ٥٤، فيمكننا إذن أن نقسم ٥٤ إلى ست مجموعات متساوية؛ وسيكون لدينا تسعة في كل مجموعة.
انظر كيف تحتوي هاتان الجملتان العدديتان على الأعداد ستة وتسعة و٥٤. هل تعتقد أن الجملة العددية الأخيرة جزء من عائلة الحقائق نفسها؟ إنها تحتوي بالتأكيد على العددين ٥٤ وتسعة، لذا قد نتوقع أن العدد الناقص سيكون ستة. دعونا نر إذا ما كنا على صواب أو لا. ٥٤ مقسومًا على تسعة يساوي (فراغ). والآن، بالإضافة إلى أن هذه الشبكة المصفوفة من الكتب عبارة عن ستة صفوف بها تسعة كتب، يمكننا أن ننظر أيضًا إلى الكتب بطريقة مختلفة ونفكر فيها على أنها تسعة أعمدة بها ستة كتب. إذن، إذا قسمنا ٥٤ إلى تسع مجموعات متساوية، كما توقعنا، فسيكون هناك ستة في كل مجموعة. لقد استخدمنا هذه الشبكة المصفوفة المكونة من ٥٤ كتابًا لمساعدتنا في إيجاد ثلاث حقائق ضرب وقسمة مترابطة. ونعلم أنها تنتمي لعائلة واحدة؛ لأنها تحتوي على الأعداد الثلاثة نفسها: ستة في تسعة يساوي ٥٤، و٥٤ مقسومًا على ستة يساوي تسعة، و٥٤ مقسومًا على تسعة يساوي ستة. إذن، الأعداد الناقصة هي: تسعة، وتسعة، وستة.
أوجد جميع الأعداد الناقصة في تلك الحقائق المرتبطة. ستة في ثلاثة يساوي (فراغ)، وثلاثة في (فراغ) يساوي ١٨، و١٨ مقسومًا على ستة يساوي (فراغ)، ثم (فراغ) مقسومًا على ثلاثة يساوي ستة.
في هذا السؤال، لدينا أربع حقائق عددية. ونعلم أنها ليست مجرد حقائق عددية عادية. إنها مترابطة. فهي جزء من عائلة واحدة. ما أوجه التشابه والاختلاف بين هذه الحقائق؟ حسنًا، أولًا، كما سمعنا، كل حقيقة من هذه الحقائق تحتوي على عدد ناقص. لكن جميعها في أماكن مختلفة، لذا علينا التفكير بعناية في الأعداد الناقصة. اثنتان من هذه العمليات الحسابية عمليتا ضرب، واثنتان منها عمليتا قسمة. وعلى الرغم من أن هذه العلميات قد تبدو وكأنها أنواع مختلفة من الجمل العددية، فهي مترابطة لأننا نعلم أن القسمة هي معكوس أو عكس الضرب.
يوجد شيء آخر مثير للاهتمام يتعلق بهذه الحقائق العددية. هل يمكنكم اكتشافه؟ تتكرر الأعداد نفسها باستمرار. يمكننا أن نرى الأعداد ستة وثلاثة وكذلك ١٨. هذه هي الأعداد الوحيدة المستخدمة في هذه الجمل العددية. وأتساءل عن سبب حدوث ذلك. حسنًا، مفتاح الإجابة كلها يتمثل في الحقيقة العددية الأولى. ستة في ثلاثة يساوي (فراغ). هيا نمثل هذه العملية الحسابية باستخدام قطع العد. يمكننا التفكير في أن ستة في ثلاثة يساوي ستة أمثال من العدد ثلاثة. وهذا هو نفسه ثلاثة، ستة، تسعة، ١٢، ١٥، ١٨ بالضبط. بالتالي، العدد الناقص هو ثالث عدد من الأعداد الثلاثة لدينا. إذن، ستة في ثلاثة يساوي ١٨.
هل تعتقد أن جميع هذه الحقائق العددية تتضمن الأعداد الثلاثة نفسها؟ لنلق نظرة على الحقيقة الثانية. ثلاثة في (فراغ) يساوي ١٨. حسنًا، نعلم أن لدينا العدد ١٨ في هذه المجموعة، لكن ١٨ يساوي ثلاثة أمثال من ماذا؟ لمساعدتنا في إيجاد العدد الناقص، علينا استخدام القسمة، حتى وإن كان السؤال يتضمن عملية ضرب. علينا أن نبدأ بالعدد ١٨ ونقسمه إلى ثلاث مجموعات متساوية. توجد ست قطع عد في كل مجموعة. ومثلما نعلم أن ستة أمثال من العدد ثلاثة تساوي ١٨، نعلم أيضًا أن ثلاثة أمثال من العدد ستة تساوي ١٨. وبالطبع، هذا أمر نعرفه عن عمليات الضرب، أليس كذلك؟ يمكننا تبديل العددين اللذين نضربهما معًا وسنظل نحصل على الناتج نفسه.
الحقيقة التالية هي حقيقة قسمة. ونظرًا لأن العدد الناقص هو الإجابة، أي العدد الذي يأتي بعد علامة يساوي، فيمكننا ببساطة حساب ناتج القسمة. ١٨ مقسومًا على ستة يساوي (فراغ). والآن، يمكننا أن نفعل أحد الأمرين هنا. يمكننا إيجاد كم من العدد ستة موجود في العدد ١٨، أو يمكننا تقسيم ١٨ إلى ست مجموعات متساوية لمعرفة العدد الموجود في كل مجموعة. لنتبع الطريقة الثانية. واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة. والآن، أظن أنك على الأرجح قد عرفت الإجابة قبل البدء في تقسيم هذا العدد. إذا كنا نعلم أن ستة في ثلاثة يساوي ١٨، فإننا نعرف أيضًا المعكوس. أي إن ١٨ مقسومًا على ستة يساوي ثلاثة.
إذن، فما العدد الذي نقسمه على ثلاثة لنحصل على ستة؟ العدد الناقص في جملة القسمة الأخيرة هو١٨. نعرف أن الضرب والقسمة عمليتان عكسيتان، فهما معكوس أحدهما للآخر. إذن، باستخدام حقيقة أن العدد ستة في ثلاثة يساوي ١٨، يمكننا إيجاد أربع حقائق عددية مترابطة. ستة في ثلاثة يساوي ١٨، وثلاثة في ستة يساوي ١٨، و١٨ مقسومًا على ستة يساوي ثلاثة، و١٨ مقسومًا على ثلاثة يساوي ستة. إذن، الأعداد الناقصة هي ١٨ وستة وثلاثة و١٨ مرة أخرى.
إذا كان أربعة في سبعة يساوي ٢٨، فإن ٢٨ مقسومًا على أربعة يساوي (فراغ).
الكثير مما نتعلمه في الرياضيات مرتبط بالبناء على المعرفة التي لدينا بالفعل. وفي هذا السؤال، لدينا عبارة «إذا كان - فإن». إذا عرفنا شيئًا واحدًا، فيمكننا استخدامه لمساعدتنا في معرفة شيء آخر. والعنصر الأساسي الذي يفترض بنا أن نعرفه، والذي يفترض أن نستخدمه ليساعدنا في إيجاد الإجابة، هو حقيقة الضرب: أربعة في سبعة يساوي ٢٨. يمكننا توضيح هذه الحقيقة العددية في صورة نموذج شريط. أربعة أمثال من سبعة يساوي ٢٨. أو إذا أردنا التفكير في الأمر بطريقة مختلفة، فسنجد أن العدد أربعة المتكرر سبع مرات يساوي ٢٨ أيضًا. هيا نستخدم هاتين الحقيقتين العدديتين ونموذجي الشريط هذين لمساعدتنا في إيجاد العدد الناقص؛ لأننا نعلم أنه إذا كانت أربعة أمثال من العدد سبعة تساوي ٢٨، فعلينا أن نتمكن من إيجاد قيمة ٢٨ مقسومًا على أربعة.
دعونا نفكر كيف قد تبدو جملة ٢٨ مقسومًا على أربعة. يمكننا التفكير في ذلك بتقسيم العدد ٢٨ إلى أربع مجموعات متساوية، والإجابة ستكون العدد الموجود في كل مجموعة. أو يمكننا التفكير في ذلك بتقسيم العدد ٢٨ إلى مجموعات مكونة من أربعة، حيث تكون الإجابة هي عدد المجموعات الموجودة. هل يمكنك ملاحظة أن هاتين الفكرتين تتطابقان مع نموذجي الشريط؟ إذا كنا نعلم أن أربعة أمثال من العدد سبعة تساوي ٢٨، فإننا نعلم أيضًا أنه إذا بدأنا بالعدد ٢٨ وقسمناه إلى أربع مجموعات متساوية، فسيكون هناك سبعة في كل مجموعة. ويمكننا القول أيضًا إنه إذا عرفنا أنه يمكننا ضرب العدد أربعة سبع مرات للحصول على ٢٨، فيمكننا البدء بالعدد ٢٨ وتقسيمه إلى مجموعات مكونة من أربعة، ونعلم أنه سيكون هناك سبع مجموعات منها. وبذلك نكون قد استخدمنا طريقتين مختلفتين للمساعدة في توضيح كيفية استخدام حقيقة ضرب لإيجاد معكوس أو حقيقة عكسية. إذا كان أربعة في سبعة يساوي ٢٨، فإن ٢٨ مقسومًا على أربعة يساوي سبعة. إذن، العدد الناقص هو سبعة.
ما الذي تعلمناه في هذا الفيديو؟ لقد تعلمنا كيف نمثل العلاقة بين الضرب والقسمة ونكتب مجموعة من الحقائق المترابطة.
