تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: السرعة المتوسطة المتجهة

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف السرعة المتوسطة المتجهة وكيفية حسابها ومفهومها على التمثيل البياني، ومفهوم السرعة المتجهة اللحظية على التمثيل البياني.

٠٩:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على السرعة المتوسطة المتجهة. هنعرف إزاي نحسب قيمتها، ويعني إيه سرعة متجهة. السرعة المتوسطة لأيّ جسم يقطع مسافة د ن، في زمن ن. بتساوي المسافة المقطوعة، على الزمن الذي استغرقه الجسم لقطع تلك المسافة. هنا ما جابش سيرة اتجاه. يعني ما قالش إذا كان يمين أو يسار، أو لفوق أو لتحت. يعني ما قالش الجسم بيتحرك في أنهي اتجاه. طيب فالسرعة المتوسطة المتجهة، دي اللي بيبقى محدّد فيها اتجاه الحركة. يبقى السرعة المتجهة هي سرعة لها اتجاه.

بيمكن حساب السرعة المتوسطة المتجهة، عن طريق حساب السرعة المتوسطة. مع توضيح اتجاهها، باستخدام الإشارة في الناتج. الإشارة الموجبة للناتج بتعني اتجاه الأمام، أو إلى الأعلى. الإشارة السالبة بتعني اتجاه الخلف، أو الأسفل. طيب بنحسبها إزاي؟ السرعة المتوسطة المتجهة، إذا كان موقع جسم متحرك دالة في الزمن د ن. فإن السرعة المتوسطة المتجهة للجسم، في الفترة الزمنية من ن واحد إلى ن اتنين، تساوي التغير في المسافة، على التغير في الزمن. بتساوي د، اللي هو قيمة الدالة عند ن اتنين، ناقص قيمة الدالة عند ن واحد؛ على ن اتنين ناقص ن واحد.

لمّا بنحسب السرعة المتوسطة بس، بناخد المسافة المقطوعة، والزمن. لكن في السرعة المتوسطة المتجهة، بنبقى عندنا نقطة بداية، ونقطة نهاية. ودي اللي بتحدّد لنا الاتجاه. يعني لو كانت ن واحد، أمامها ن اتنين؛ يبقى هنطرح ن اتنين ناقص ن واحد. هتطلع دي القيمة الأكبر، ودي القيمة الأقل. يبقى هتطلع القيمة موجبة. يبقى معنى كده إن هو بيتحرك إلى الأمام.

طيب لو كانت ن واحد، خلفها ن اتنين؛ يعني رايح في الاتجاه ده. يبقى كده ن اتنين أقلّ من ن واحد. يبقى القيمة هتطلع، لمّا هنطرح ن اتنين ناقص ن واحد، هتطلع الإشارة سالبة؛ لأن ن واحد هي الأكبر. وبالتالي ده حدّد لنا إن الاتجاه كان إلى الخلف. يبقى لحساب قيمة السرعة المتوسطة المتجهة، بنجيب قيمة الدالة عند النقطة اللي انتهينا عندها. ناقص قيمة الدالة عند نقطة الدالة اللي بدأنا بيها. على فرق قيم النقطتين.

عادةً موقع جسم متحرك بيعطى بالعلاقة ص تساوي د س. وذلك لتحديد الموقع في المستوى، بدلالة الإحداثيين س وَ ص. أمّا إذا أُعطيَ بوصفه دالة في الزمن ن، فهذا يعني الإزاحة — وهي محصلة المركبة س، والمركبة ص — لموقع الجسم عند اللحظة ن. وإذا كانت الحركة على خط مستقيم، فإن دالة الموقع تكون نفسها دالة المسافة، مع أخذ الاتجاه في الاعتبار. وده اللي كنا بنتكلم عنه هنا؛ إن الحركة كانت على خط مستقيم، فأخدنا الاتجاه في الاعتبار معانا. لكن لو هو عرّف لنا الزمن ن، يبقى ده معناه إنه واخد محصلة المركبة س وَ ص. يبقى كان الجسم المتحرك بيتحرك بدلالة الإحداثيين س وَ ص.

نقلب الصفحة وناخد مثال، ونشوف إزاي هنعرف نحسب قيمة السرعة المتوسطة المتجهة. تمثِّل المعادلة: د ن تساوي سالب اتنين وواحد من عشرة ن تربيع، زائد تسعتاشر وتلاتة من عشرة ن؛ المسافة بالكيلومترات. والتي قطعها عدّاء بعد ن ساعة، باتجاه خط النهاية. ما سرعته المتوسطة بين الساعتين الثانية والثالثة من زمن السباق؟

هنا في اتجاه، يبقى معناها إن هو بيسأل على السرعة المتوسطة المتجهة. بين الساعتين اتنين وتلاتة، يعني ن واحد بتساوي اتنين، وَ ن اتنين بتساوي تلاتة. علشان نحسب السرعة المتوسطة، بنقسم المسافة، على الزمن. لكن دي السرعة المتوسطة المتجهة؛ زيّ ما قلنا، هيبقى التغير في المسافة، على التغير في الزمن. اللي هو هيساوي … التغير في المسافة، يعني الدالة عند ن اتنين، ناقص الدالة عند ن واحد؛ على التغير في الزمن، اللي هو ن اتنين، ناقص ن واحد.

البسط ده بيمثِّل المسافة الكلية اللي قطعها العدّاء. يبقى علشان نجيب قيمتها، هنجيب قيمة د ن اتنين، وَ د ن واحد. يبقى عند ن واحد تساوي اتنين، فإن د ن واحد هتساوي … هنعوّض مكان كل ن، بالقيمة اتنين. اللي هو د اتنين بتساوي سالب اتنين وواحد من عشرة، في ن تربيع، اللي هي القيمة بتاعتها اتنين؛ يبقى اتنين تربيع. زائد تسعتاشر وتلاتة من عشرة، في الـ ن قيمتها اتنين. هتساوي تلاتين واتنين من عشرة كيلومتر. عند ن اتنين بتساوي تلاتة، فإن د تلاتة هتساوي سالب اتنين وواحد من عشرة. وهنعوّض مكان الـ ن بتلاتة، يبقى تلاتة تربيع. زائد تسعتاشر وتلاتة من عشرة، في تلاتة. هتساوي تسعة وتلاتين كيلومتر.

يبقى السرعة المتوسطة المتجهة هتساوي … التغير في المسافة، اللي هو د ن اتنين، اللي هي د تلاتة؛ تسعة وتلاتين اللي جِبنا قيمتها. ناقص … د ن واحد، اللي هو د اتنين، هتبقى تلاتين واتنين من عشرة. على ن اتنين ناقص ن واحد. يساوي تمنية وتمنية من عشرة كيلومتر في الساعة. هنا السرعة قيمتها موجبة، يبقى معنى كده إن اتجاه العدّاء كان إلى الأمام. يبقى السرعة المتوسطة المتجهة للعدّاء، بين الساعتين الثانية والثالثة، هي: تمنية وتمنية من عشرة كيلومتر في الساعة، إلى الأمام.

نقلب الصفحة ونشوف السرعة المتوسطة المتجهة دي، على التمثيل البياني بتعني إيه. لو رسمنا المعادلة؛ معادلة المسافة: د ن تساوي سالب اتنين وواحد من عشرة ن تربيع، زائد تسعتاشر وتلاتة من عشرة ن. هيبقى بالشكل الأحمر ده. النقطتين: اتنين، وتلاتين واتنين من عشرة؛ وتلاتة، وتسعة وتلاتين. اللي هم النقطتين دول. ميل القاطع اللي واصل ما بين النقطتين دول، هو اللي بيجيب لنا قيمة السرعة المتوسطة المتجهة. قيمة الزاوية اللي بيعملها مع محور السينات، الزاوية الحادّة دي، هي اللي بتحدّد لنا اتجاه السرعة المتوسطة.

هنا حسبنا السرعة المتوسطة في الساعة الثانية، إلى الساعة الثالثة. ده يعني خلال فترة زمنية؛ يعني من كذا إلى كذا. يبقى حسبنا السرعة المتوسطة المتجهة، خلال فترة زمنية؛ دي بتبقى اسمها السرعة المتجهة المتوسطة. ولكن لمّا بتكون عند لحظة زمنية محدّدة، اللي هو بقى بيبقى فيها ميل المماس … يعني إحنا لو جِبنا عند نقطة كده، يبقى ده اسمه مماس، ما بقاش قاطع؛ لأن القاطع بينطبق مع المماس.

فبالتالي بتبقى السرعة عند النقطة دي، اللي هي سرعة … اللي هو ميل الخط اللي هو مماس المنحنى، دي بتبقى اسمها السرعة عند لحظة معينة. وبنسميها السرعة المتجهة اللحظية. ودي بيتمّ حسابها بإيجاد معدل التغير اللحظي، لمنحنى د ن عند تلك اللحظة. لكن هنا إحنا بنتكلم على السرعة المتوسطة المتجهة، بس اللي موجودة في فترة زمنية. مش معدل التغير اللحظي، مش السرعة المتجهة اللحظية.

يبقى في الفيديو ده، عرفنا إزاي هنعرف نحسب السرعة المتوسطة المتجهة.