فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن ب

النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن ب

٠٦:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ع تكعيب يساوي اثنان زائد اثنان في الجذر التربيعي لثلاثة في ت في الصورة الأُسية.

عشان نوجد مجموعة حل المعادلة ع تكعيب بتساوي اتنين زائد اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة في ت، محتاجين نوجد قيم ع. فهنستخدم نظرية ديموافر عشان نوجد الجذور التكعيبية لِـ ع تكعيب اللي هتبقى قيم ع. بس في الأول محتاجين نكتب ع تكعيب على الصورة المثلثية.

الصورة العامة الجبرية هي ع بيساوي س زائد ص في ت. والصورة المثلثية أو القطبية المقابلة ليها هي ع بيساوي ل في جتا 𝜃 زائد ت في جا 𝜃. حيث ل هو مقياس العدد، وبيساوي الجذر التربيعي لِـ س تربيع زائد ص تربيع.

ومن السؤال نقدر نلاحظ إن س هتساوي اتنين، وإن ص هتساوي اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة. يبقى مقياس العدد هيساوي الجذر التربيعي لاتنين تربيع زائد اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة الكل تربيع. وده هيساوي الجذر التربيعي لأربعة زائد أربعة في تلاتة، اللي هيساوي الجذر التربيعي لستاشر، اللي بيساوي أربعة. أما 𝜃 فهي سعة العدد. وعشان نعرف قيمتها، هنشوف قيم س وَ ص. فنقدر نلاحظ إن س أكبر من الصفر، وَ ص أكبر من الصفر. وده معناه إن 𝜃 تقع في الربع الأول. في الحالة دي هتبقى 𝜃 بتساوي الدالة العكسية لِـ ظا ص على س. وده هيساوي الدالة العكسية لِـ ظا اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. وباستخدام التبسيط، ده هيساوي الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة، اللي هيساوي 𝜋 على تلاتة. يبقى ع تكعيب في الصورة المثلثية هيساوي أربعة في جتا 𝜋 على تلاتة زائد ت في جا 𝜋 على تلاتة.

حسب نظرية ديموافر، الجذر التكعيبي لِـ ع بيساوي ع أُس واحد على تلاتة هيساوي الجذر التكعيبي لِـ ل. مضروب في جتا 𝜃 زائد اتنين 𝜃 ر الكل على ك زائد ت في جا 𝜃 زائد اتنين 𝜋 ر الكل على ك. حيث ك هو مقام الأُس النسبي اللي في الحالة دي هيساوي تلاتة. وَ ر بتساوي صفر، واحد، اتنين … وهكذا، وسالب واحد، سالب اتنين … وهكذا. فبما إن ك بتساوي تلاتة فهناخد تلات قيم متتالية لِـ ر، ولتكن سالب واحد وصفر وواحد.

بتطبيق نظرية ديموافر على العدد المُعطى، لما ر هتساوي سالب واحد، هيبقى الجذر التكعيبي لِـ ع تكعيب اللي هيساوي ع بيساوي الجذر التكعيبي لأربعة مضروب في جتا 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في سالب واحد الكل على تلاتة. زائد ت في جا 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في سالب واحد الكل على تلاتة. 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في سالب واحد الكل على تلاتة، هيساوي 𝜋 على تلاتة الكل على تلاتة، زائد سالب اتنين 𝜋 على تلاتة. وده هيساوي 𝜋 على تسعة. فعشان نوحَّد المقامات هنضرب سالب اتنين 𝜋 على تلاتة في البسط والمقام في تلاتة. فهيساوي سالب ستة 𝜋 على تسعة. والمجموع هيساوي سالب خمسة 𝜋 على تسعة. يعني لما ر بتساوي سالب واحد، هيبقى ع بيساوي الجذر التكعيبي لأربعة مضروب في جتا سالب خمسة 𝜋 على تسعة زائد ت في جا سالب خمسة 𝜋 على تسعة.

وبالمثل لما ر هتساوي صفر، هتبقى ع بتساوي الجذر التكعيبي لأربعة مضروبة في جتا 𝜋 على تسعة. زائد ت في جا 𝜋 على تسعة. ولمَّا ر هتساوي واحد هتبقى ع بتساوي لجذر التكعيبي لأربعة مضروب في جتا سبعة 𝜋 على تسعة. زائد ت في جا سبعة 𝜋 على تسعة.

وبما إن المطلوب هو قيم ع في الصورة الأُسية، فحسب صيغة أويلر الصورة الأُسية للعدد المركب هي ع بيساوي ل في هـ أُس 𝜃 ت. فلما ر هتساوي سالب واحد، هتبقى ل بتساوي الجذر التكعيبي لأربعة. وَ 𝜃 بتساوي سالب خمسة 𝜋 على تسعة. فهتبقى الصورة الأُسية لِـ ع في الحالة دي هي الجذر التكعيبي لأربعة مضروب في هـ أُس سالب خمسة 𝜋 على تسعة في ت. وبالمثل لما ر هتساوي صفر هتبقى الصورة الأُسية لِـ ع بتساوي الجذر التكعيبي لأربعة في هـ أُس 𝜋 على تسعة في ت. ولما ر هتساوي واحد هتبقى الصورة الأُسية لِـ ع بتساوي الجذر التكعيبي لأربعة في هـ أُس سبعة 𝜋 على تسعة في ت. وبالتالي هتبقى مجموعة حل المعادلة هي الجذر التكعيبي لأربعة في هـ أُس سالب خمسة 𝜋 على تسعة في ت، والجذر التكعيبي لأربعة في هـ أُس 𝜋 على تسعة في ت، والجذر التكعيبي لأربعة في هـ أُس سبعة 𝜋 على تسعة في ت.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.