نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد المشتقة الثانية والمشتقات ذات الرتب العليا لدالة ما، بما في ذلك الدوال التي تتطلب استخدام العديد من قواعد الاشتقاق. في هذه المرحلة، يجب أن تكون متمكنًا من اشتقاق الدوال كثيرات الحدود والدوال المثلثية وتطبيق قاعدة السلسلة وقاعدة حاصل الضرب وقاعدة خارج القسمة. سنستخدم هذه المهارات لنعرف كيف نوجد المشتقة الثانية والمشتقات ذات الرتب العليا.
لأن مشتقة الدالة ﺹ تساوي ﺩ في المتغير ﺱ هي نفسها دالة في المتغير ﺱ، فهذا يعني أنه يمكننا حساب مشتقة المشتقة، أي مشتقة ﺩ شرطة في ﺱ. ويعرف هذا باسم إيجاد المشتقة الثانية للدالة. ويرمز لها بـ ﺩ شرطتين لـ ﺱ، أو ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ اثنين، أو ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، باستخدام رمز لايبنز.
يمكن متابعة الفكرة لإيجاد المشتقات الثالثة والرابعة والخامسة والمشتقات المتتالية للدالة الأصلية. بعد المشتقة الثالثة، لا نستمر في استخدام رمز الشرطة لأنه يصبح معقدًا قليلًا. وبدلًا من ذلك نستخدم رمز المشتقة ﻥ بهذا الشكل. وبشكل عام، نجري هذه العملية بطريقة مسلسلة، أي نشتق كل دالة في المتغير ﺱ لتصبح المشتقة ﻥ للدالة مساوية للمشتقة ﻥ ناقص واحد للدالة.
من المفيد أيضًا أن نلاحظ أن هناك بعض الحالات التي يمكننا فيها استنتاج صيغة عامة لأي مشتقة اختيارية من الرتبة ﻥ. وسننظر في هذا لاحقًا. ويوجد أيضًا عدد من الاستخدامات للمشتقة الثانية والمشتقات ذات الرتب العليا، ولكننا لن نشرحها في هذا الفيديو، وسنركز على العمليات المطلوبة. نأخذ أولًا مثالًا بسيطًا يتضمن إيجاد المشتقة الثانية لدالة كثيرة حدود.
إذا كان ﺹ يساوي ستة ﺱ أس خمسة زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ستة، فأوجد المشتقة الثانية للدالة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ.
لدينا هنا دالة في المتغير ﺱ. والمطلوب هو إيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لنفعل ذلك، علينا الاشتقاق مرة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ ثم اشتقاق ذلك مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية. نتذكر أنه يمكننا اشتقاق دالة على الصورة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة لـ ﺱ باستخدام عدد نسبي ثابت ﻥ، لا يساوي صفرًا، وعدد ثابت ﺃ. وسنحصل على ﻥﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بعبارة أخرى، نأخذ القوة المرفوع لها ﺱ ونجعلها معاملًا للمشتقة. ثم نطرح واحدًا من القوة.
في هذه الحالة الخاصة حيث ﻥ يساوي صفرًا، لدينا ثابت بالفعل. سنسميه ﺏ. ومشتقة الثابت تساوي صفرًا. سيساعدنا ذلك في إيجاد المشتقة الأولى للدالة. مشتقة ستة ﺱ أس خمسة ستساوي خمسة في ستة ﺱ. بعد ذلك نطرح واحدًا من الأس. خمسة ناقص واحد يساوي أربعة. يصبح لدينا ٣٠ﺱ أس أربعة. ونكرر العملية لاشتقاق ثلاثة ﺱ تربيع. وهذا يساوي اثنين في ثلاثة ﺱ. بعد ذلك، سنطرح واحدًا من الأس. اثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. إذن، مشتقة ثلاثة ﺱ تربيع بالنسبة لـ ﺱ هي ستة ﺱ.
ومشتقة سالب سبعة ﺱ تساوي واحدًا في سالب سبعة ﺱ أس صفر. وهذا يساوي سالب سبعة. نعرف أن الستة عدد ثابت، إذن مشتقة الستة هي صفر. إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ، أي المشتقة الأولى للدالة، هي ٣٠ﺱ أس أربعة زائد ستة ﺱ ناقص سبعة. سنشتق كل جزء من هذا المقدار مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية.
سنوجد المشتقة حدًا حدًا. مشتقة ٣٠ﺱ أس أربعة تساوي أربعة في ٣٠ﺱ أس ثلاثة. مشتقة ستة ﺱ تساوي ستة. ومشتقة سالب سبعة تساوي صفرًا. نقوم بتبسيط المقدار بالكامل، فنجد أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ١٢٠ﺱ تكعيب زائد ستة.
رأينا في هذا المثال كيف يمكننا استخدام الاشتقاق المتكرر ليساعدنا في إيجاد المشتقة الثانية لدالة كثيرة حدود.
بعد ذلك، سنرى كيف يمكننا إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند نقطة معينة في مثال أصعب بعض الشيء.
أوجد قيمة المشتقة الثانية للدالة ﺹ يساوي ١٢ﺱ ناقص ثمانية على ﺱ عند النقطة واحد، أربعة.
لدينا معادلة تمثل ﺹ بالنسبة لـ ﺱ. والمطلوب هو إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند النقطة ذات الإحداثيات الديكارتية واحد، أربعة. سنبدأ إذن بإيجاد المقدار الممثل للمشتقة الثانية. وللقيام بهذا، سنشتق الدالة مرة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ ثم سنشتق بالنسبة لـ ﺱ مرة أخرى. قد يساعدنا، قبل ذلك، أن نكتب ﺹ على صورة ١٢ﺱ ناقص ثمانية ﺱ أس سالب واحد. بعد ذلك، نشتق كالمعتاد.
مشتقة ١٢ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ١٢. ومشتقة سالب ثمانية ﺱ أس سالب واحد تساوي سالب سالب واحد في ثمانية ﺱ أس سالب اثنين. انتبه هنا. فمن الأخطاء الشائعة هنا أن تلاحظ سالب واحد وتظن أنه عندما نطرح واحدًا، نحصل على صفر. بتبسيط المقدار، نجد أن المشتقة الأولى تساوي ١٢ زائد ثمانية ﺱ أس سالب اثنين. لنكرر هذه الخطوات لإيجاد المشتقة الثانية.
مشتقة ١٢ تساوي صفرًا. بعد ذلك، عند اشتقاق ثمانية ﺱ أس سالب اثنين بالنسبة لـ ﺱ، سنحصل على سالب اثنين في ثمانية ﺱ أس سالب ثلاثة. وهذا يساوي سالب ١٦ﺱ أس سالب ثلاثة. وبالتأكيد يمكننا تغييره ليصبح سالب ١٦ على ﺱ تكعيب، إذا أردنا ذلك.
علينا إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند واحد، أربعة. وهذا إحداثي ديكارتي. وفيه قيمة ﺱ هي واحد وقيمة ﺹ هي أربعة. إذن، سنعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا في المعادلة الممثلة للمشتقة الثانية. وهذا يعطينا سالب ١٦ على واحد تكعيب، أي سالب ١٦.
في المثال التالي، سنتعلم كيف يمكننا تطبيق القواعد القياسية للاشتقاق لتساعدنا في إيجاد المشتقات الثانية.
إذا كانت الدالة ﺹ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة على اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة لـ ﺱ.
لدينا هنا خارج قسمة. إنه ناتج قسمة دالة على دالة أخرى. يمكننا إذن استخدام قاعدة خارج القسمة لتساعدنا في إيجاد المشتقة الأولى. وتنص على أنه عند وجود دالتين قابلتين للاشتقاق، ﻉ وﻕ، فإن مشتقة ﻉ على ﻕ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع.
وبما أن ﻉ هو البسط، فسنجعل ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة. وبالتالي فإن ﻕ لا بد أن يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة. لنتمكن من استخدام قاعدة خارج القسمة، سنشتق كل دالة بالنسبة لـ ﺱ. عند اشتقاق ﻉ بالنسبة لـ ﺱ، سنحصل على ستة ﺱ. وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي أربعة ﺱ. وﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة في ستة ﺱ. بعد ذلك نطرح حاصل ضرب ﻉ وﺩﻕ على ﺩﺱ. وهو يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة في أربعة ﺱ. وبالطبع هذا كله مقسوم على ﻕ تربيع. نحصل على اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة تربيع.
بفك القوسين الموجودين في بسط الكسر، نحصل على ١٢ﺱ تكعيب زائد ٤٢ﺱ ناقص ١٢ﺱ تكعيب زائد ٢٠ﺱ. ونبقي على المقام كما هو. ونجد أن مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ٦٢ﺱ على اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة تربيع.
لإيجاد المشتقة الثانية، علينا الاشتقاق مرة أخرى. نمسح جزءًا من الشاشة. ومرة أخرى، نريد أن نشتق خارج قسمة، إذن سنستخدم قاعدة خارج القسمة. هذه المرة سنجعل ﻉ يساوي ٦٢ﺱ وﻕ يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة تربيع. ﺩﻉ على ﺩﺱ واضحة بما يكفي. وهي تساوي ٦٢. ولكن ماذا عن ﺩﻕ على ﺩﺱ؟
حسنًا، يمكننا استخدام حالة خاصة من قاعدة السلسلة تسمى قاعدة القوى العامة. وهي تنص على أنه إذا كانت ﻝ دالة في المتغير ﺱ وﻥ ثابتًا نسبيًا لا يساوي صفرًا، فإن مشتقة ﻝ أس ﻥ بالنسبة لـ ﺱ يساوي ﻥ في ﻝ أس ﻥ ناقص واحد في ﺩﻝ على ﺩﺱ. وهذا يعني أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي اثنين في هذه الدالة في المتغير ﺱ، وهو يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة أس واحد، في مشتقة اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة بالنسبة لـ ﺱ، وتساوي أربعة ﺱ.
وبتبسيط ذلك، يصبح لدينا ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ثمانية ﺱ في اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة. هذه المرة، لدينا ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة تربيع في ٦٢، ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. مفتاح الحل هنا هو ملاحظة أن مقام الكسر أصبح اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة أس أربعة. وهذا يعني أنه يمكننا القسمة على عامل مشترك وهو اثنان ﺱ تربيع زائد سبعة. فيتبقى اثنان ﺱ تربيع زائد سبعة تكعيب في المقام، و٦٢ في اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة ناقص ٦٢ﺱ في ثمانية ﺱ في البسط.
يمكننا أخذ ٦٢ عاملًا مشتركًا في البسط. وبعد طرح ثمانية ﺱ في ﺱ من اثنين ﺱ تربيع، نحصل على سالب ستة ﺱ تربيع. والمشتقة الثانية للدالة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ هي ٦٢ في سبعة ناقص ستة تربيع على اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة تكعيب.
الآن وبعد أن رأينا كيفية إيجاد المشتقة الثانية، سنتعرف على كيفية استخدام المشتقات ذات الرتب العليا في حل المسائل.
إذا كانت الدالة ﺹ تساوي ﺃﺱ تكعيب زائد ﺏﺱ تربيع، والمشتقة الثالثة لـ ﺹ تساوي سالب ١٨، والمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة لـ ﺱ عند ﺱ يساوي اثنين تساوي سالب ١٤، فأوجد ﺃ وﺏ.
لدينا هنا معادلة تمثل ﺹ بدلالة ﺱ ولدينا أيضًا بعض المعلومات حول المشتقة الثانية والمشتقة الثالثة التي يشار إليها بـ ﺹ ثلاث شرط. للإجابة عن هذا السؤال، هيا نبدأ بإيجاد معادلتي المشتقة الثانية والمشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة لـ ﺱ.
باشتقاق ﺹ بالنسبة لـ ﺱ، نحصل على ثلاثة ﺃﺱ تربيع زائد اثنين ﺏﺱ. لإيجاد المشتقة الثانية، سنشتق معادلة المشتقة الأولى. نحصل على اثنين في ثلاثة ﺃﺱ زائد اثنين ﺏ. ويمكننا تبسيط ذلك إلى ستة ﺃﺱ زائد اثنين ﺏ. مرة أخرى، لإيجاد المشتقة الثالثة، سنشتق المشتقة الثانية بالنسبة لـ ﺱ. بما أن اثنين ﺏ عدد ثابت، فإن المشتقة الثالثة ستكون ستة ﺃ.
نعلم أن المشتقة الثانية عند ﺱ يساوي اثنين تساوي سالب ١٤. هيا نعوض بـ ﺱ يساوي اثنين في معادلة المشتقة الثانية ونساويها بسالب ١٤. نحصل على ستة ﺃ في اثنين زائد اثنين ﺏ يساوي سالب ١٤، أي ١٢ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي سالب ١٤. وبالمثل، نعلم أن المشتقة الثالثة تساوي سالب ١٨. إذن يمكن أن نقول إن ستة ﺃ يجب أن يساوي سالب ١٨.
لاحظ أن المعادلة الأخيرة بها متغير واحد، إذن يمكننا حلها بالطريقة العادية. يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على ستة. وبهذا يصبح لدينا ﺃ يساوي سالب ثلاثة. يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة التي كوناها باستخدام المشتقة الثانية. وهذا يعطينا ١٢ مضروبًا في سالب ثلاثة زائد اثنين ﺏ يساوي سالب ١٤. ١٢ في سالب ثلاثة يساوي سالب ٣٦. نضيف ٣٦ إلى طرفي المعادلة لنحصل على اثنين ﺏ يساوي ٢٢. ثم نقسم على اثنين لنحصل على ﺏ يساوي ١١. إذن ﺃ يساوي سالب ثلاثة وﺏ يساوي ١١.
في المثال الأخير، سنرى حالة يمكننا فيها استنتاج صيغة عامة لأي مشتقة اختيارية من الرتبة ﻥ.
أوجد المشتقة ٥١ لـ جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ عن طريق إيجاد بعض المشتقات الأولى وملاحظة النمط الذي تتبعه.
لنبدأ بإيجاد بعض المشتقات الأولى لـ جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ. يمكننا تذكر إحدى المشتقات القياسية وهي أن ﺩ على ﺩﺱ لـ جا ﺱ يساوي جتا ﺱ. وهذا يعني أنه لإيجاد المشتقة الثانية لـ جا ﺱ، علينا اشتقاق جتا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ.
يمكننا هنا تذكر مشتقة قياسية أخرى. مشتقة جتا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. إذن المشتقة الثانية لـ جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. بالمثل، نوجد المشتقة الثالثة باشتقاق سالب جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ. ويمكننا استخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت لنخرج الثابت سالب واحد خارج المشتقة ونركز على اشتقاق جا ﺱ.
رأينا بالفعل أن مشتقة جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي جتا ﺱ. هذا يعني أن المشتقة الثالثة لـ جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب جتا ﺱ. والمشتقة الرابعة لـ جا ﺱ ستساوي مشتقة سالب جتا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ. ومرة أخرى، سنستخدم قاعدة الضرب في عدد ثابت ونخرج الثابت، وهو سالب واحد، خارج المشتقة ونركز على اشتقاق جتا ﺱ، وهو ما نعرف الآن أنه يساوي سالب جا ﺱ.
إذن، المشتقة الرابعة تساوي سالب سالب جا ﺱ، أي موجب جا ﺱ. ولن نحتاج إلى القيام بأي شيء آخر. كما نرى هنا، لدينا دورة. المشتقة الخامسة لـ جا ﺱ ستساوي جتا ﺱ. والمشتقة السادسة تساوي سالب جا ﺱ، وهكذا. إذن، ما القاعدة العامة؟
حسنًا، يمكننا القول إنه بالنسبة للقيم الصحيحة ﻙ، المشتقة أربعة ﻙ لـ جا ﺱ تساوي جا ﺱ. والمشتقة أربعة ﻙ زائد واحد لـ جا ﺱ تساوي جتا ﺱ. والمشتقة أربعة ﻙ زائد اثنين لـ جا ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. والمشتقة أربعة ﻙ زائد ثلاثة لـ جا ﺱ تساوي سالب جتا ﺱ.
إننا نحاول الآن إيجاد المشتقة ٥١. يمكننا كتابة ٥١ على صورة أربعة في ١٢ زائد ثلاثة. هذا يعني أن المشتقة ٥١ لـ جا ﺱ ستساوي المشتقة أربعة ﻙ زائد ثلاثة. أي سالب جتا ﺱ.
من المفيد أن نعرف أنه بما أن مشتقات جا وجتا مترابطة ترابطًا قويًا، يمكننا أيضًا استنتاج صيغة عامة للمشتقة ﻥ لـ جتا ﺱ. المشتقة أربعة ﻙ لـ جتا ﺱ تساوي جتا ﺱ. والمشتقة أربعة ﻙ زائد واحد لـ جتا ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. والمشتقة أربعة ﻙ زائد اثنين لـ جتا ﺱ تساوي سالب جتا ﺱ. والمشتقة أربعة ﻙ زائد ثلاثة لـ جتا ﺱ تساوي جا ﺱ.
في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام القواعد القياسية للاشتقاق لإيجاد المشتقة الثانية والمشتقات ذات الرتب العليا. ورأينا أننا نجري هذه العملية بطريقة مسلسلة، ولكن توجد حالات يمكننا فيها استخدام نمط لاستنتاج قواعد للمشتقات ذات الرتب العليا.
