فيديو السؤال: إيجاد إزاحة جسم عندما يصل إلى السكون اللحظي في حالة عدم وجود عجلة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

جسم ساكن عند نقطة الأصل. بدأ يتحرك على المحور ﺱ؛ حيث إن سرعته عند اللحظة ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة: ﻉ تساوي ﻥ مضروبًا في ٢٧ ناقص ٥٤ﻥ مترًا لكل ثانية، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. ما مقدار إزاحة الجسم عندما يصل لسكون لحظي؟

في هذا السؤال، لدينا تعبير دال على سرعة جسم بدلالة الزمن. لعلنا نتذكر أنه يمكننا تحويل التعبيرات التي تدل على الإزاحة والسرعة والعجلة بدلالة الزمن عن طريق الاشتقاق والتكامل. فيمكننا اشتقاق تعبير دال على الإزاحة لنحصل على تعبير دال على السرعة. وبالمثل، فإن اشتقاق تعبير دال على السرعة بدلالة الزمن يعطينا تعبيرًا دالًّا على العجلة. وبما أن التكامل عملية عكسية للاشتقاق، فيمكننا أيضًا استخدامه للتحويل من تعبير لآخر.

كما ذكرنا من قبل، لدينا في هذا السؤال تعبير دال على السرعة. ونحاول حساب إزاحة الجسم عندما يصل للسكون. يمكننا إيجاد تعبير دال على الإزاحة ﻑﻥ بإيجاد تكامل ﻉﻥ بالنسبة إلى ﻥ. ومن ثم، فإن ﻑﻥ يساوي تكامل ﻥ مضروبًا في ٢٧ ناقص ٥٤ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. قبل أن نحسب تكامل التعبير لدينا، سنفك القوسين بالتوزيع. هذا يعني أنه علينا حساب تكامل ٢٧ﻥ ناقص ٥٤ﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا إجراء ذلك حدًّا تلو الآخر. تكامل ٢٧ﻥ يعطينا ٢٧ﻥ تربيع على اثنين، وتكامل ٥٤ﻥ تربيع يعطينا ٥٤ﻥ تكعيب على ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٨ﻥ تكعيب. إذن، الإزاحة ﻑﻥ تساوي ٢٧ﻥ تربيع على اثنين ناقص ١٨ﻥ تكعيب زائد ثابت التكامل ﺙ.

عرفنا من السؤال أن الجسم ساكن عند نقطة الأصل. هذا يعني أنه عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻑﻥ يساوي صفرًا. وبالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة التي لدينا، نجد أن ثابت التكامل ﺙ يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، فإن الإزاحة ﻑﻥ تساوي ٢٧ﻥ تربيع على اثنين ناقص ١٨ﻥ تكعيب. نحن نريد حساب قيمة ﻑﻥ عندما يصل الجسم لسكون لحظي. وهذا يحدث عند ﻉ تساوي صفرًا. بجعل التعبير الدال على السرعة يساوي صفرًا، يصبح لدينا ﻥ مضروبًا في ٢٧ ناقص ٥٤ﻥ يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﻥ يساوي صفرًا، أو ٢٧ ناقص ٥٤ﻥ يساوي صفرًا.

يمكننا حل المعادلة الثانية بإضافة ٥٤ﻥ إلى كلا الطرفين. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ٥٤ لنجد أن ﻥ يساوي ٢٧ على ٥٤، وهو ما يمكن تبسيطه إلى نصف. إذن، يصل الجسم لسكون لحظي عند ﻥ يساوي نصفًا. يمكننا الآن التعويض بقيمة ﻥ هذه في التعبير الدال على الإزاحة. ‏ﻑﻥ يساوي ٢٧ مضروبًا في نصف تربيع مقسومًا على اثنين ناقص ١٨ مضروبًا في نصف تكعيب. نصف تربيع يساوي ربعًا. وبضرب ذلك في ٢٧ ثم القسمة على اثنين، نحصل على ٢٧ على ثمانية. بما أن نصفًا تكعيب يساوي ثمنًا، فإن الحد الثاني يصبح ١٨ على ثمانية. وبما أن المقامين متساويان، يمكننا طرح البسطين، وهذا يعطينا تسعة على ثمانية.

إذن، يمكننا استنتاج أن مقدار إزاحة الجسم عندما يصل لسكون لحظي يساوي تسعة أثمان متر.