فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة مثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

احسب التكامل المحدد لسالب أربعة جا 𝜃 بين الحدين ‏𝜋‏‎ و‏𝜋‏‎‎ على ستة.

أول ما سنفعله هو إخراج سالب أربعة، أي الحد الثابت، من التكامل. وهذا لأنه لن يؤثر على تكامل جا 𝜃. وبذلك، يصبح لدينا سالب أربعة مضروب في التكامل المحدد لـ جا 𝜃 بين الحدين ‏𝜋‏‎ و‏𝜋‏‎ على ستة.

دعونا الآن نتذكر ما نفعله مع التكاملات المحددة، وهو أنه إذا أردنا إيجاد التكامل المحدد لدالة بين ﺏ وﺃ، فإن هذا يساوي تكامل هذه الدالة مع التعويض بـ ﺏ بدلًا من ﺱ ناقص تكامل هذه الدالة مع التعويض بـ ﺃ بدلًا من ﺱ. ومن ثم، نحصل على سالب أربعة مضروب في سالب جتا 𝜃. ويظل لدينا الحدان نفسهما. وذلك لأنه إذا أوجدنا تكامل جا 𝜃، وهو أحد التكاملات المعلومة، فسنحصل على سالب جتا 𝜃.

سنستخدم الآن القاعدة التي ذكرناها سابقًا. وسنعوض عن 𝜃 بـ ‏𝜋‏‎ و‏𝜋‏‎ على ستة. وعندما نفعل ذلك، يصبح لدينا سالب أربعة مضروب في سالب جتا ‏𝜋‏‎ ناقص سالب جتا ‏𝜋‏‎ على ستة. ونحن نعلم هاتين القيمتين؛ لأننا أولًا نعرف أن جتا ‏𝜋‏‎ يساوي سالب واحد. وهكذا، نحصل على سالب أربعة مضروب في واحد. ونحصل على واحد لأن لدينا سالب جتا ‏𝜋‏‎. وجتا ‏𝜋‏‎ يساوي سالب واحد. وسالب سالب واحد يساوي موجب واحد.

وذلك ناقص سالب جذر ثلاثة على اثنين. لأن جتا ‏𝜋‏‎ على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وهذه إحدى القيم المثلثية القياسية التي ينبغي أن نعرفها. ولكننا إذا أردنا التفكير في هذه القيمة بالدرجات، إذا كان من الأسهل لنا تذكرها بهذه الطريقة، فإن ‏𝜋‏‎ على ستة راديان يساوي ٣٠ درجة. ونحن نعلم أن جتا ٣٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين. حسنًا، هذا رائع.

دعونا نر إذا ما كان يمكننا تبسيط ذلك. حسنًا، نحصل على سالب أربعة. وذلك لأن سالب أربعة مضروبًا في واحد يساوي سالب أربعة، ثم يصبح لدينا ناقص أربعة جذر ثلاثة على اثنين. وقد حصلنا على ناقص أربعة جذر ثلاثة على اثنين لأنه لدينا سالب أربعة مضروب في موجب جذر ثلاثة على اثنين. وهذا لأن لدينا علامة ناقص وإشارة سالب معًا. وهو ما يعطينا إشارة موجبة. بعد ذلك، يمكننا قسمة كل من بسط الحد الثاني ومقامه على اثنين.

وهكذا، يمكننا القول إن التكامل المحدد لسالب أربعة جا 𝜃 بين الحدين ‏𝜋‏‎ و‏𝜋‏‎ على ستة يساوي سالب أربعة ناقص اثنين جذر ثلاثة.