نسخة الفيديو النصية
إذا كان المتجهان ستة، ﻙ، واحد، و١٢، سالب ستة، اثنان متوازيين، فأوجد قيمة ﻙ.
هناك طريقتان مختلفتان يمكننا إيجاد الحل بهما. بمعلومية أن المتجهين المعطيين متوازيان، فهذا يعني أن نسبة قيمتي المركبة ﺱ لكليهما تساوي نسبة قيمتي المركبة ﺹ لكليهما تساوي نسبة قيمتي المركبة ﻉ لكليهما. وهذا يعني صحة تكوين هاتين المعادلتين، وأنه يمكننا استخدامهما لإيجاد قيمة ﻙ. ثمة طريقة أخرى يمكنناإيجاد قيمة ﻙ بها، وهي إدراك أنه بما أن هذين المتجهين متوازيان، فإن هذا يعني أيضًا أن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفرًا.
بشكل عام، إذا كان لدينا متجهان في فضاء ثلاثي الأبعاد، وسنسميهما ﺃ وﺏ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي ناتج محدد هذه المصفوفة. وبالنسبة للمتجهين المعطيين، فستبدو هذه المصفوفة بهذا الشكل. وكما ذكرنا، بما أن المتجهين متوازيان، فإن قيمة محدد هذه المصفوفة يجب أن تساوي صفرًا. ولتوضيح أن هاتين الطريقتين صحيحتان، دعونا نوجد قيمة ﻙ بكلتا الطريقتين. في الطريقة الأولى، لدينا طريقتان مختلفتان يمكننا من خلالهما إيجاد قيمة ﻙ باستخدام أي من هاتين المعادلتين.
لنفترض أننا اخترنا المعادلة ذات اللون الوردي؛ حيث ﻙ على سالب ستة يساوي واحدًا على اثنين. إذا استخدمنا الضرب التبادلي، وذلك بضرب الطرفين في اثنين وسالب ستة، فسنجد أن اثنين ﻙ يساوي سالب ستة، أو بعبارة أخرى، أن ﻙ يساوي سالب ثلاثة. بالانتقال إلى الطريقة الثانية؛ حيث يجب أن يساوي فيها حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين صفرًا، ومن ثم تكون قيمة محدد هذه المصفوفة هي صفرًا، يمكننا إدراك أنه بما أن الصف الأول من هذه المصفوفة يحتوي على متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، فسيكون ناتج المحدد الكلي نفسه متجهًا له المركبات ﺱ وﺹ وﻉ.
علاوة على ذلك، بما أن قيمة المحدد الكلي تساوي صفرًا—فإننا نعرف أن ذلك صحيح لأن هذين المتجهين متوازيان — هذا يعني أن قيمة كل مركبة على حدة يجب أن تساوي صفرًا أيضًا. إذا كان أي من ﻭﺱ أو ﻭﺹ أو ﻭﻉ لا يساوي صفرًا، فإن معيار المتجه الكلي لن يساوي صفرًا. إذن، لإيجاد قيمة ﻙ، باستخدام هذه الطريقة، علينا فقط حساب قيمة إحدى هذه المركبات الثلاث. ويجب أن تكون قيمة المركبة تحتوي على ﻙ.
وبالتفكير على نفس المنوال، نلاحظ أن المركبة ﺱ للمتجه الناتج ستتضمن ﻙ. ونحصل على معيار هذه المركبة ﺱ من قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. يمكننا القول إن ﻭﺱ يساوي ﻙ في اثنين ناقص واحد في سالب ستة، أو بعبارة أخرى اثنين ﻙ زائد ستة. بتذكر أن قيمة مركبة المتجه هذه تساوي صفرًا، يمكننا ملاحظة أن اثنين ﻙ زائد ستة يساوي صفرًا يعني أن اثنين ﻙ يساوي سالب ستة أو أن ﻙ يساوي سالب ثلاثة. وبذلك، نجد أن الطريقتين تتفقان على أن قيمة ﻙ تساوي سالب ثلاثة.
