فيديو: تحليل معادلة من الدرجة الثانية وتحليل المربع الكامل

يوضح الفيديو كيفية حل معادلة تربيعية باستخدام التحليل بالتقسيم، أو بالمربع الكامل، وأمثلةً عليها.

٠٩:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

دلوقتي هنتكلّم عن تحليل المعادلة من الدرجة التانية، وتحليل المربع الكامل. في البداية المعادلة من الدرجة التانية بتكون على صورة: أ س تربيع زائد ب س زائد ج تساوي صفر. بحيث إنه أ معامل الـ س تربيع لا يساوي صفر.

أول نوع من التحليل هتكلّم عنه هو التحليل بالتقسيم. يعني لو عندي مقدار جبري هقسّمه لجزئين؛ الجزء الأولاني هو: أ تربيع ناقص ب تربيع، والجزء التاني: اتنين أ ناقص اتنين ب. الجزء الأولاني هحلّله لفرق بين مربعين؛ يعني قوسين زيّ بعض، وبعكس الإشارة. القوس الأولاني: أ زائد ب، والقوس التاني: أ ناقص ب. وبعدين زائد … هاخد اتنين عامل مشترك من الجزء التاني، هلاحظ إنه هيتبقّى عندي أ ناقص ب. هلاحظ بعد كده إن القوس أ ناقص ب اتكرّر.

وبكده أقدر أقول إنه المقدار الجبري هيساوي … هاخد أ ناقص ب عامل مشترك، هيتبقّى عندي أ زائد ب زائد اتنين. وبكده أكون حلّلت المقدار الجبري بالتقسيم. هنلاحظ بعد كده إنه بتطبيق التحليل بالتقسيم هنتعلّم إزّاي نحلّل مقدار جبري ثلاثي من الدرجة التانية. هناخد مثال في الصفحة اللي جايّة.

حلّ المعادلة: س تربيع ناقص اتنين س ناقص خمسة وتلاتين تساوي صفر.

معادلة من الدرجة التانية هنحلّها بالتحليل. عشان نحلّل بالتقسيم هنفكّر في رقمين مجموعهم يساوي سالب اتنين، وحاصل ضربهم يساوي سالب خمسة وتلاتين. يعني أ زائد ب يساوي سالب اتنين، وَ أ في ب يساوي سالب خمسة وتلاتين. الرقمين هم: خمسة، وسالب سبعة؛ لأن خمسة زائد سالب سبعة هيساوي سالب اتنين.

وبكده أقدر أقول إني هقسم الحدّ الأوسط سالب اتنين س إلى: خمسة س ناقص سبعة س. يعني المعادلة هتبقى: س تربيع زائد خمسة س ناقص سبعة س ناقص خمسة وتلاتين تساوي صفر. عشان نحلّل بالتقسيم، هقسم المعادلة لجزئين. الجزء الأولاني س تربيع زائد خمسة س، هاخد س عامل مشترك، هيتبقّى عندي س زائد خمسة. والجزء التاني هاخد سالب سبعة عامل مشترك، هيتبقّى عندي برضو س زائد خمسة.

هلاحظ إنه القوس س زائد خمسة اتكرّر، هاخده عامل مشترك. يعني س زائد خمسة، في س ناقص سبعة؛ يساوي صفر. وبكده أقدر أقول إنه س زائد خمسة يساوي صفر، أو س ناقص سبعة يساوي صفر. هطرح خمسة من طرفَي المعادلة الأولى؛ هحصل على: س تساوي سالب خمسة. وهجمع سبعة على طرفَي المعادلة التانية؛ هحصل على: س تساوي سبعة. وبكده أكون جِبت قيم س اللي بتحقّق المعادلة.

هنلاحظ إنه مش محتاجين نعمل التحليل بالتقسيم. لأنه لمّا هنضرب القوس س زائد أ في القوس س زائد ب، اللي حاصل ضربهم يساوي صفر. هحصل على المعادلة التالية: س تربيع زائد … أ في س، يعني أ س. وبعدين س في ب، يعني زائد ب س. وبعدين أ في ب، يعني زائد أ ب؛ يساوي صفر.

وبكده هاخد س عامل مشترك من الحدّ أ س، والحد ب س. يعني س تربيع زائد؛ أ زائد ب، في س؛ زائد أ ب يساوي صفر. بما إنه أ زائد ب يساوي سالب اتنين؛ يعني هعوّض عن أ زائد ب بسالب اتنين. وَ أ في ب يساوي سالب خمسة وتلاتين؛ يعني هعوّض عن أ في ب بسالب خمسة وتلاتين. هحصل على المعادلة: س تربيع ناقص اتنين س ناقص خمسة وتلاتين تساوي صفر؛ اللي هي المعادلة الأصلية.

وبكده هلاحظ إنه المعادلة ممكن أحلّلها بطريقة مباشرة لقوسين حاصل ضربهم يساوي صفر؛ كل قوس هيبتدي بِـ س. وهفكّر في رقمين يكون مجموعهم سالب اتنين، وحاصل ضربهم سالب خمسة وتلاتين. والرقمين هم: خمسة، وسالب سبعة. وبكده هحصل على قيم س اللي حصلت عليها في الخطوة الأولانية. هناخد مثال تاني في الصفحة اللي جايّة.

حلّ المعادلة: س تربيع زائد أربعة س تساوي واحد وعشرين.

في البداية هطرح واحد وعشرين من طرفَي المعادلة؛ هحصل على: س تربيع زائد أربعة س ناقص واحد وعشرين تساوي صفر. هفكّر في رقمين مجموعهم يساوي أربعة؛ يعني أ زائد ب يساوي أربعة. وحاصل ضربهم يساوي سالب واحد وعشرين؛ يعني أ في ب يساوي سالب واحد وعشرين. الرقمين هم: سبعة، وسالب تلاتة؛ لأنه سبعة في سالب تلاتة يساوي سالب واحد وعشرين، وسبعة زائد سالب تلاتة يساوي أربعة.

وبكده هحلّل المعادلة للقوسين اللي حاصل ضربهم هيساوي صفر؛ كل قوس هيبتدي بِـ س. هكتب في القوس الأولاني: سبعة، والقوس التاني: سالب تلاتة. وبكده أقدر أقول إنه س زائد سبعة هيساوي صفر، أو س ناقص تلاتة يساوي صفر.

هطرح سبعة من طرفَي المعادلة الأولى، هحصل على: س تساوي سالب سبعة. وهجمع تلاتة على طرفَي المعادلة التانية، هحصل على: س تساوي تلاتة. وبكده حصلت على قيم س اللي بتحقّق المعادلة.

عشان أتاكّد هعوّض مرة عن س تساوي سالب سبعة في المعادلة، وهعوّض مرة عن س تساوي تلاتة. لمّا س تساوي سالب سبعة، يعني س تربيع؛ يعني سالب سبعة الكل تربيع بتسعة وأربعين. وبعدين زائد … أربعة في سالب سبعة؛ يعني سالب تمنية وعشرين، ناقص واحد وعشرين يساوي … تسعة وأربعين ناقص تمنية وعشرين ناقص واحد وعشرين يساوي صفر. وفعلًا س تساوي سالب سبعة حقّقت المعادلة.

لمّا أعوّض عن س تساوي تلاتة، يعني تلاتة تربيع بتسعة … زائد أربعة في تلاتة؛ يعني زائد اتناشر، ناقص واحد وعشرين يساوي صفر. وفعلًا س تساوي تلاتة حقّقت المعادلة. هناخد مثال تاني في الصفحة اللي جايّة.

حلّ المعادلة: س تربيع زائد تسعة وأربعين تساوي أربعتاشر س.

في البداية هطرح أربعتاشر س من طرفَي المعادلة، هحصل على: س تربيع ناقص أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين تساوي صفر. هفكّر في رقمين مجموعهم يساوي سالب أربعتاشر؛ يعني أ زائد ب يساوي سالب أربعتاشر. وحاصل ضربهم يساوي تسعة وأربعين؛ يعني أ في ب يساوي تسعة وأربعين. الرقمين هم: سالب سبعة، وسالب سبعة. لأنه سالب سبعة زائد سالب سبعة هيساوي سالب أربعتاشر؛ يعني اتنين في سالب سبعة هيساوي سالب أربعتاشر. وسالب سبعة في سالب سبعة هيساوي تسعة وأربعين.

وبكده أقدر أكتب المعادلة على صورة: س تربيع ناقص، اتنين في سبعة س، زائد سالب سبعة الكل تربيع؛ هتساوي صفر. هحلّل المعادلة لقوسين حاصل ضربهم يساوي صفر. القوس الأولاني هيبتدي بِـ س، والقوس التاني هيبتدي بِـ س. وهكتب في القوس الأولاني سالب سبعة، وفي القوس التاني سالب سبعة. وبكده أقدر أقول إنه س ناقص سبعة الكل تربيع تساوي صفر.

هحسب الجذر التربيعي للطرفين، هحصل على: س ناقص سبعة تساوي صفر. هجمع سبعة على طرفَي المعادلة، هحصل على: س تساوي سبعة. يعني حصلت على حلّ وحيد، قيمة واحدة لِـ س؛ وهي: سبعة اللي بتحقّق المعادلة. وبما إنه المعادلة حلّلناها لقوسين زيّ بعض، وحصلنا على حلّ وحيد؛ فالمعادلة في الصورة دي بنسمّيها مربع كامل. في الصفحة اللي جايّة هنتكلّم أكتر عن تحليل المربع الكامل.

لمّا يكون عندي مقدار جبري على صورة: أ تربيع زائد اتنين أ ب زائد ب تربيع، هيتحلّل لِـ أ زائد ب الكل تربيع. ولمّا يكون المقدار الجبري على صورة: أ تربيع ناقص اتنين أ ب زائد ب تربيع، هيتحلّل لِـ أ ناقص ب الكل تربيع.

وبكده هنكون اتعلّمنا في الدرس ده إزّاي نحلّل معادلة من الدرجة التانية بالتقسيم. وإزّاي نحلّلها لقوسين حاصل ضربهم يساوي صفر. وإزّاي نحلّل المربع الكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.