فيديو السؤال: مقارنة قيم دالة تتضمن زوايا حادة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حدد إذا ما كانت العبارة التالية صوابًا أو خطأ: جا ٣٠ درجة أكبر من جا ٦٠ درجة.

لنفترض الآن أنه لا يمكننا استخدام آلة حاسبة في هذا السؤال. وذلك لأنه من السهل للغاية كتابة جا ٣٠ درجة وجا ٦٠ درجة على الآلة الحاسبة، وإيجاد القيمة الأكبر. وبدلًا من ذلك، سنتناول طريقتين يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال عندما يتعذر علينا استخدام آلة حاسبة.

الطريقة الأولى هي طريقة بيانية. سنرسم المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱونستخدمه ليساعدنا في تحديد إذا ماكانت العبارة صحيحة أم خاطئة. نحتاج إلى معرفة شكل المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ والتمكن من رسمه من مخيلتنا. القيمتان العظمى والصغرى للمنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ هما واحد وسالب واحد. والنقاط الرئيسية على المحور ﺱ لهذا التمثيل البياني هي مضاعفات ٩٠ درجة؛ أي ٩٠ درجة و١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة و٣٦٠ درجة، وهكذا.

يبدأ المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ من نقطة الأصل. ويأخذ شكل موجة ترتفع إلى واحد عند الزاوية ٩٠ درجة، وتنخفض إلى صفر عند الزاوية ١٨٠ درجة، ثم تنخفض إلى سالب واحد عند الزاوية ٢٧٠ درجة، وترتفع مجددًا إلى صفر عند الزاوية ٣٦٠ درجة. يكون المنحنى دوريًّا بدورة مقدارها ٣٦٠ درجة. إذن، يتكرر هذا الشكل نفسه على يمين الزاوية ٣٦٠ درجة وعلى يسار صفر. والآن، دعونا نر كيف يمكننا استخدام هذا التمثيل البياني لمساعدتنا في تحديد إذا ما كانت العبارة صحيحة أم خاطئة.

بين صفر و٩٠ درجة، يكون المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ تزايديًّا. أي إن القيم تصبح أكبر. وتكون الزاويتان ٣٠ درجة و٦٠ درجة على المحور ﺱ هنا وهنا تقريبًا. إذا نظرنا إلى المحور ﺹ، يمكننا ملاحظة أن قيمة جا ٦٠ درجة أكبر من قيمة جا ٣٠ درجة. إذن، فمن خلال التمثيل البياني، نلاحظ أن جا ٣٠ درجة في الحقيقة أصغر من جا ٦٠ درجة. ومن ثم، فإن العبارة الأصلية التي تنص على أن جا ٣٠ درجة أكبر من جا ٦٠ درجة، هي عبارة خاطئة.

الطريقة الأخرى التي يمكننا استخدامها هي إيجاد قيمتي جا ٣٠ درجة وجا ٦٠ درجة. ولكن، تذكر أننا قلنا إنه لا يمكننا استخدام الآلة الحاسبة. وبالرغم من ذلك، فعلينا معرفة قيمتي جا ٣٠ درجة وجا ٦٠ درجة. وذلك لأنهما زاويتان من الزوايا الخاصة التي يمكن التعبير عن قيم الجيب، وجيب التمام، والظل لها بدلالة الكسور والجذور الصماء.

هناك طريقة مفيدة يمكننا استخدامها لتذكر هاتين القيمتين. كما سندرج أيضًا زاوية قياسها ٤٥ درجة. أولًا نكتب واحدًا، واثنين، وثلاثة. ثم نقسم كل قيمة من هذه القيم على اثنين، ثم نأخذ الجذر التربيعي لكل بسط، وهو ما يعطينا جذر واحد على اثنين، وجذر اثنين على اثنين، وجذر ثلاثة على اثنين. الجذر التربيعي لواحد هو واحد. إذن، يمكن تبسيط قيمة جا ٣٠ درجة إلى واحد على اثنين. ولكن الجذر التربيعي لاثنين والجذر التربيعي لثلاثة لا يمكن تبسيطه. إذن، نجد أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، وجا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. والآن، علينا المقارنة بين هاتين القيمتين.

السؤال هنا هو: هل نصف أكبر من جذر ثلاثة على اثنين؟ بما أن مقامي هذين الكسرين متساويان، فيمكننا المقارنة بين البسطين. ونتساءل الآن، هل واحد أكبر من جذر ثلاثة؟ لعلنا نعرف القيمة التقريبية للجذر التربيعي لثلاثة. فهو يساوي ١٫٧٣ تقريبًا، وهي قيمة ربما تكون مألوفة إذا كنا نتعامل كثيرًا مع القيم المثلثية الدقيقة. وإذا لم يكن الأمر كذلك، فيمكننا إيجاد ذلك بطريقة مختلفة.

كل من واحد والجذر التربيعي لثلاثة موجب. إذن، كلا طرفي هذه المتباينة موجب، ما يعني أنه يمكننا تربيع كلا الطرفين. ولن يؤثر ذلك على المتباينة. واحد تربيع يساوي واحدًا، والجذر التربيعي لثلاثة تربيع يساوي ثلاثة. وهكذا، يصبح السؤال هو: هل واحد أكبر من ثلاثة؟ حسنًا، من الواضح أن الإجابة هي لا. واحد ليس أكبر من ثلاثة، وهو ما يعني أن جواب السؤال الأصلي الذي طرحناه، أي «هل نصف أكبر من جذر ثلاثة على اثنين؟»، هو خطأ. وهكذا، نستنتج مرة أخرى أن جا ٣٠ درجة أصغر من جا ٦٠ درجة. ومن ثم، فإن العبارة المعطاة خاطئة.