فيديو السؤال: الجذور الثمانية للعدد واحد في الصورة الكارتيزية الرياضيات

أي من الآتي أحد الجذور الثمانية للعدد واحد في الصورة الكارتيزية؟ [أ] ((‎√٢) ‏/‏ ٢) - ((√٢) ‏/‏ ٢ﺕ) [ب] ‎√٢ - √٢ﺕ [ج] ((‎√٣) ‏/‏ ٢) - (١‏/‏٢ ﺕ) [د] ‎٢√٢ + ٢√٢ﺕ [هـ] (‎- ١ ‏/‏ ٢) - ((√٣) ‏/‏ ٢ ﺕ)

٠٤:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

أي من الآتي أحد الجذور الثمانية للعدد واحد في الصورة الكارتيزية؟ (أ) جذر اثنين على اثنين ناقص جذر اثنين على اثنين ﺕ. (ب) جذر اثنين ناقص جذر اثنين ﺕ. (ج) جذر ثلاثة على اثنين ناقص نصف ﺕ. (د) اثنان جذر اثنين زائد اثنين جذر اثنين ﺕ. (هـ) سالب نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ.

نبدأ بتذكر ما نعنيه بالجذور الثمانية للعدد واحد. حسنًا، الجذور النونية للعدد واحد هي حلول المعادلة ﺱ أس ﻥ يساوي واحدًا. هذه المعادلة لها عدد ﻥ من الجذور. وعلى الصورة المثلثية، تعطى هذه الجذور أو هذه الحلول بالصيغة ﺱ يساوي جتا اثنين ﻙ𝜋 على ﻥ زائد ‎ﺕ جا اثنين ﻙ𝜋 على ﻥ لقيم ﻙ من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.

وفي هذا السؤال نريد إيجاد الجذور الثمانية للعدد واحد. إذن، ﻥ سيساوي ثمانية. ومن ثم يمكننا القول إن ﺱ يساوي جتا اثنين ﻙ𝜋 على ثمانية زائد ‎ﺕ جا اثنين ﻙ𝜋 على ثمانية لقيم ﻙ من صفر حتى ﻥ ناقص واحد. أي سبعة بالطبع. دعونا نبسط الثمنين في كل كسر ليصبح ربعًا. نرى أنه يمكننا الوصول إلى الحلول باستخدام الصيغة ﺱ يساوي ‎ ‎جتا ﻙ𝜋على أربعة زائد ‎ﺕ جا ﻙ𝜋 على أربعة.

سنكتب الآن كل جذر بجعل ﻙ يساوي صفرًا، وواحدًا، واثنين، وثلاثة وهكذا حتى سبعة. الجذر الأول هو ناتج ﻙ يساوي صفرًا. ويعطينا ﺱ يساوي جتا صفر 𝜋 على أربعة زائد ‎ﺕ جا صفر 𝜋 على أربعة. صفر 𝜋 على أربعة يساوي بالطبع صفرًا. وجتا صفر يساوي واحدًا. وجا صفر يساوي صفرًا. إذن، نجد أن ﺱ يساوي واحدًا زائد صفر ﺕ. إذن، الحل الأول للمعادلة ﺱ أس ثمانية يساوي واحدًا هو واحد، وهذا منطقي.

بالنسبة للجذر التالي، الجذر الثاني، سنوجد قيمته بجعل ﻙ يساوي واحدًا. هذه المرة، ﺱ يساوي جتا واحد 𝜋 على أربعة زائد ‎ﺕ جا واحد 𝜋 على أربعة. الآن بالطبع، لن نحتاج إلى الواحد في هذين البسطين. ‏‎جتا 𝜋 على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين. و‎جا 𝜋 على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين أيضًا. إذن، الحل الثاني هو ﺱ يساوي الجذر التربيعي لجذر اثنين على اثنين زائد الجذر التربيعي لاثنين على اثنين ﺕ.

دعونا نكرر هذه العملية للجذر الثالث، ونجعل ﻙ في هذه المرة يساوي اثنين. وسيكون الحل هو ﺱ يساوي جتا اثنين 𝜋 على أربعة زائد ‎ﺕ جا اثنين 𝜋 على أربعة. اثنان 𝜋 على أربعة يساوي 𝜋 على اثنين بالطبع. و‎جتا 𝜋 على اثنين يساوي صفرًا في حين أن ‎جا 𝜋 على اثنين يساوي واحدًا. إذن، ﺱ يساوي صفرًا زائد واحد ﺕ، وهو ما يساوي ﺕ ببساطة. يمكننا إيجاد الجذر الرابع بجعل ﻙ يساوي ثلاثة. ونحصل من هذا على ﺱ يساوي جتا ثلاثة 𝜋 على أربعة زائد ‎ﺕ جا ثلاثة 𝜋 على أربعة، وهو ما يساوي سالب جذر اثنين على اثنين زائد جذر اثنين على اثنين ﺕ.

ويمكننا إيجاد الحلول الأربعة الأخيرة عن طريق جعل ﻙ يساوي أربعة، وخمسة، وستة، وسبعة. عند ﻙ يساوي أربعة، نحصل على ﺱ يساوي سالب واحد. وعند ﻙ يساوي خمسة، نحصل على ﺱ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين ناقص جذر اثنين على اثنين ﺕ. وعند ﻙ يساوي ستة، نحصل على ﺱ يساوي سالب ﺕ. والجذر الثامن والحل الثامن للمعادلة ﺱ أس ثمانية يساوي واحدًا، نجده بجعل ﻙ يساوي سبعة. وعندئذ، نحصل على ﺱ يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين ناقص الجذر التربيعي لاثنين على اثنين ﺕ.

نعود الآن إلى قائمة الحلول التي لدينا. ونجد أن الحل الوحيد الذي ظهر بين الجذور التي أوجدناها هو: (أ). وهو الجذر التربيعي لاثنين على اثنين ناقص الجذر التربيعي لاثنين على اثنين ﺕ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.