نسخة الفيديو النصية
في المتتابعة الهندسية، تكون النسبة بين أي حدين متتاليين نسبة ثابتة ﺭ. انظر إلى المتتابعة نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦. هل هي متتابعة هندسية؟ انظر إلى المتتابعة نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦. ما قيمة ﺭ؟ انظر إلى المتتابعة نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦. ما الحد العام لهذه المتتابعة؟
في هذا السؤال، مطلوب منا النظر في ثلاثة أشياء مختلفة بشأن المتتابعة نفسها. في الجزء الأول من هذا السؤال، مطلوب منا تحديد إذا ما كانت هذه متتابعة هندسية أم لا. كما ورد في السؤال تذكير سريع بماهية المتتابعة الهندسية. وهو أنه في المتتابعة الهندسية تكون النسبة بين أي حدين متتاليين نسبة ثابتة.
لذا دعونا ننظر إلى حدود هذه المتتابعة: نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦. ولأننا نعلم أنه لا بد أن تكون هناك نسبة ثابتة في المتتابعة الهندسية، مطلوب منا تحديد العدد الذي يتعين علينا ضربه في أي حد من حدود المتتابعة لنحصل على الحد التالي. لاحظ أن ذلك يختلف عن المتتابعة الحسابية لأننا في المتتابعة الحسابية نجمع أو نطرح لإيجاد الحدود التالية.
بداية، نلاحظ أنه يمكننا أن نقسم نصفًا على اثنين لنحصل على ربع. يمكننا أيضًا أن نقسم ربعًا على اثنين لنحصل على ثمن. وثمن مقسومًا على اثنين سيعطينا أيضًا الحد التالي، وهو واحد على ١٦. لكن علينا التعبير عن النسبة بدلالة العدد الذي نضرب فيه. إذن، كيف يمكننا تحويل القسمة على اثنين إلى عدد نضرب فيه؟
حسنًا، يمكننا كتابته على صورة الضرب في الكسر نصف. وبذلك نكون قد وجدنا أننا إذا ضربنا أي حد من حدود هذه المتتابعة في نصف، فسنحصل على الحد التالي فيها. بما أن هذا بالضبط ما يحدث في المتتابعة الهندسية، إذن يمكننا الإجابة عن الجزء الأول من السؤال بـ «نعم»، حيث إن لدينا متتابعة هندسية.
في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة ﺭ. تذكر أن ﺭ هي النسبة بين أي حدين متتاليين. ولذا، فإننا سنوجد القيمة التي نضربها في أي حد من حدود المتتابعة لنحصل على الحد التالي. والقيمة هي نصف، وهي التي أوجدناها بالفعل. وبناء عليه، نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من السؤال.
في الجزء الأخير من هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الحد العام للمتتابعة. نتذكر أنه لأي متتابعة هندسية، حيث يكتب الحد الأول ﺃ، وتكتب النسبة الثابتة ﺭ، يمكننا إيجاد أي حد له الدليل ﻥ، بواسطة الصيغة ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. وهذا يأتي من حقيقة أننا إذا رمزنا إلى الحد الأول بـ ﺃ، فإننا نعرف أن الحد الثاني سيكون حاصل ضرب الحد الأول في النسبة الثابتة ﺭ. ومن ثم، نحصل على ﺃ في ﺭ. والحد الثالث سيكون حاصل ضرب الحد الثاني ﺃﺭ في ﺭ آخر.
إذن، دعونا نفكر في الطريقة التي يمكننا بها كتابة الحد العام أو الحد النوني للمتتابعة المعطاة. حسنًا، أثبتنا في الجزء الثاني من السؤال أن النسبة ﺭ بين الحدود تساوي نصفًا. وقيمة ﺃ هي ببساطة الحد الأول في المتتابعة، والتي تساوي نصفًا أيضًا. عندما نكتب الحد العام، نقول إنه لأي دليل ﻥ، فإن ﺡﻥ يساوي ﺃ، والذي يساوي نصفًا، مضروبًا في ﺭ، والذي يساوي نصفًا، أس ﻥ ناقص واحد. وهذا هو الحد العام لهذه المتتابعة.
لكن علينا أيضًا ملاحظة القيم التي يمكن أن يأخذها ﻥ. تستخدم صيغة المتتابعة هذه مع القيم التي تبدأ بـ ﻥ يساوي واحدًا. إذن بالإضافة إلى الحد العام، يجب أن نلاحظ أن الدليل ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا. وبالتالي، يمكننا القول إن الحد العام لهذه المتتابعة هو ﺡﻥ يساوي نصفًا في نصف أس ﻥ ناقص واحد؛ حيث قيم ﻥ أكبر من أو تساوي واحدًا.
يمكننا أيضًا أن نطبق قوانين الأسس لتبسيط الحد العام هذا قليلًا. نتذكر أنه إذا كانت لدينا القيمة ﺃ أس ﺱ مضروبة في ﺃ أس ﺹ، فإنه يمكن تبسيط ذلك على صورة ﺃ أس ﺱ زائد ﺹ. عندما ننظر إلى ما لدينا هنا في هذا الحد العام، فإنه يمكننا أن نكتب نصفًا مضروبًا في نصف أس ﻥ ناقص واحد على صورة نصف أس واحد مضروبًا في نصف أس ﻥ ناقص واحد. وعندما نجمع الأسين واحدًا وﻥ ناقص واحد، نحصل على القيمة ﻥ. وبناء عليه، يمكننا اختيار إحدى هاتين الصيغتين لـ ﺡﻥ باعتبارها إجابة عن جزء الحد العام لهذه المتتابعة.
