نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نضرب متجهًا في كمية قياسية، وكيف نوجد متجه الوحدة في اتجاه أي متجه معطى عن طريق قسمة المتجه على كمية قياسية. وسنتناول كلًّا من ذلك في بعدين وثلاثة أبعاد.
هيا نبدأ بتذكر المقصود بالضرب في عدد ثابت. يسمى ضرب أي متجه في كمية قياسية أو عدد حقيقي الضرب في عدد ثابت. ولإجراء عملية ضرب في عدد ثابت، يجب أن نضرب الكمية القياسية في كل مركبة من مركبات المتجه. لنفكر في المتجه ﻡ ومركباته ﺃ وﺏ وﺟ. لنتخيل أننا نريد ضرب هذا المتجه في الثابت أو الكمية القياسية ﻙ. نفعل ذلك بالطريقة نفسها التي نوزع بها الأقواس أو نفكها. مركبات المتجه ﻙﻡ هي ﻙﺃ وﻙﺏ وﻙﺟ.
عند ضرب متجه في كمية قياسية، يكون الناتج متجهًا أيضًا. نعلم أن أي متجه له مقدار واتجاه. وضرب المتجه في أي عدد موجب غير الواحد يغير المقدار، لكنه لا يغير الاتجاه. أما ضرب المتجه في سالب واحد، فيعكس الاتجاه، لكنه لا يغير المقدار. والضرب في أي عدد سالب آخر يعكس اتجاه المتجه ويغير مقداره.
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتضمن ضرب متجه في كمية قياسية.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب واحد، سالب ثمانية، فأوجد ثلاثة ﺃ.
ضرب المتجه في أي عدد حقيقي، كما في هذه الحالة، يسمى الضرب في عدد ثابت. لإجراء الضرب في عدد ثابت، نضرب كل مركبة من مركبات المتجه في الكمية القياسية. في هذه المسألة، علينا ضرب المتجه سالب واحد، سالب ثمانية في ثلاثة. وضرب عدد موجب في عدد سالب يعطينا ناتجًا سالبًا. إذن، ثلاثة في سالب واحد يساوي سالب ثلاثة. وثلاثة في سالب ثمانية يساوي سالب ٢٤. ومن ثم، فإن ثلاثة مضروبًا في المتجه ﺃ أو المتجه ثلاثة ﺃ يساوي سالب ثلاثة، سالب ٢٤.
في السؤال التالي، سنرى ما يحدث عندما نضرب متجهًا في كمية قياسية بيانيًّا.
المتجه ﺃ ممثل بالتمثيل البياني الموضح. أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل سالب اثنين ﺃ؟
يمتد المتجه ﺃ من نقطة الأصل إلى النقطة واحد، واحد. وهذا يعني أن له مركبة ﺱ تساوي واحدًا، ومركبة ﺹ تساوي واحدًا. إذن المتجه ﺃ يساوي واحدًا، واحدًا. نريد ضرب المتجه ﺃ في سالب اثنين. نتذكر أنه عند ضرب متجه في كمية قياسية، علينا ضرب كل مركبة على حدة في هذه الكمية القياسية. ضرب سالب اثنين في واحد يعطينا سالب اثنين. وبالتالي، فإن المتجه الذي يمثل سالب اثنين ﺃ هو سالب اثنين، سالب اثنين.
لننظر الآن إلى الخيارات الخمسة الموجودة لدينا والمتجهات التي تمثلها هذه التمثيلات البيانية. يمتد التمثيل البياني (أ) من نقطة الأصل إلى النقطة سالب اثنين، سالب اثنين. هذا يعني أنه يمثل المتجه سالب اثنين، سالب اثنين. وهذا يماثل سالب اثنين ﺃ، ما يشير إلى أن هذا هو التمثيل البياني الصحيح.
يوضح التمثيل البياني (ب) المتجه واحد، سالب اثنين. والتمثيل البياني (ج) يوضح المتجه واحد، اثنين. والتمثيل البياني (د) يوضح المتجه واحد، ٠٫٥. والتمثيل البياني (هـ) يوضح المتجه ٠٫٥، ٠٫٥. وهذا يؤكد أن التمثيل البياني (أ) يمثل بالفعل سالب اثنين ﺃ. هذا يقودنا إلى قاعدة أساسية عن الضرب في كميات قياسية سالبة. وهي أنه عند ضرب أي متجه في كمية قياسية سالبة بخلاف سالب واحد، سيتغير اتجاه المتجه ومقداره. فضرب المتجه في سالب اثنين، كما في هذه الحالة، يضاعف مقداره، ويجعل اتجاهه عكس الاتجاه الأصلي. هذا موضح على المستوى الإحداثي بالسهم الأخضر.
تتناول بقية الأسئلة في هذا الفيديو متجهات الوحدة. سنبدأ بتعريف متجه الوحدة.
متجه الوحدة هو متجه مقداره واحد. نتذكر هنا أنه لأي متجه ثلاثي الأبعاد مركباته ﺃ، ﺏ، ﺟ، يساوي مقداره الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. تشير علامة القيمة المطلقة إلى مقدار المتجه. لإيجاد متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه المعطى، نقسم على مقدار المتجه المعطى. يكتب متجه الوحدة للمتجه ﻡ على الصورة ي ﻡ وفوقها سهم غير مكتمل. ويساوي واحدًا على مقدار ﻡ مضروبًا في المتجه ﻡ.
لننظر إلى المتجه ﻡ الذي له المركبتان أربعة، ثلاثة. مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد ثلاثة تربيع. أربعة تربيع يساوي ١٦، وثلاثة تربيع يساوي تسعة. هذا يعني أن مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥. نترك هذا عادة في صورة جذر أو جذر أصم. لكن بما أن الجذر التربيعي لـ ٢٥ عدد صحيح، يمكننا تبسيطه بحيث يكون مقدار المتجه ﻡ يساوي خمسة.
إذن، متجه الوحدة ﻡ يساوي خمسًا مضروبًا في المتجه أربعة، ثلاثة. نتذكر هنا أنه عند ضرب متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة على حدة في هذه الكمية القياسية. بالتالي، فإن متجه الوحدة ﻡ يساوي أربعة أخماس، ثلاثة أخماس.
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتطلب حساب متجهات الوحدة.
افترض أن المتجه ﺃ يساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص أربعة ﻉ. هل متجه الوحدة في اتجاه ﺃ نفس متجه الوحدة في اتجاه ثلاثة ﺃ؟
نعلم أنه يمكن إعادة كتابة المتجه ﺃ بالصورة خمسة، سالب اثنين، سالب أربعة. مطلوب منا أيضًا معرفة المتجه ثلاثة ﺃ. وهذا يتطلب ضرب المتجه ﺃ في الكمية القياسية أو الثابت ثلاثة. وهو ما يعني ضرب كل مركبة في الكمية القياسية ثلاثة. ثلاثة في خمسة يساوي ١٥. ثلاثة في سالب اثنين يساوي سالب ستة. وثلاثة في سالب أربعة يساوي سالب ١٢. هذا يعني أن ثلاثة ﺃ يساوي ١٥، سالب ستة، سالب ١٢.
متجه الوحدة ﻡ يساوي واحدًا على مقدار المتجه ﻡ مضروبًا في المتجه ﻡ. وهذا يماثل قسمة المتجه على مقداره. نعلم أنه لحساب مقدار أي متجه، نوجد الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. مقدار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد سالب اثنين تربيع زائد سالب أربعة تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥ زائد أربعة زائد ١٦. نبسط هذا إلى الجذر التربيعي لـ ٤٥، وهو ما يساوي ثلاثة جذر خمسة.
إذن مقدار المتجه ﺃ يساوي ثلاثة جذر خمسة. ومتجه الوحدة في اتجاه المتجه ﺃ يساوي واحدًا على ثلاثة جذر خمسة مضروبًا في خمسة، سالب اثنين، سالب أربعة. يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة المتجه خمسة على ثلاثة جذر خمسة، سالب اثنين على ثلاثة جذر خمسة، سالب أربعة على ثلاثة جذر خمسة.
لننظر الآن إلى متجه الوحدة في اتجاه ثلاثة ﺃ. مقدار المتجه ثلاثة ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٥ تربيع زائد سالب ستة تربيع زائد سالب ١٢ تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٠٥، الذي يبسط إلى تسعة جذر خمسة. ومن ثم، فإن مقدار المتجه ثلاثة ﺃ يساوي تسعة جذر خمسة.
يمكننا أن نلاحظ هنا أن هذا يساوي ثلاثة أمثال مقدار المتجه ﺃ. وهذا يقودنا إلى قاعدة عامة. مقدار ﻙﻡ يساوي ﻙ مضروبًا في مقدار المتجه ﻡ. هذا يعني أن ثلاثة مضروبًا في مقدار المتجه ﺃ يساوي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة جذر خمسة. إذن، متجه الوحدة في اتجاه ثلاثة ﺃ يساوي واحدًا على تسعة جذر خمسة مضروبًا في المتجه ١٥، سالب ستة، سالب ١٢.
بأخذ ثلاثة عاملًا مشتركًا من المتجه، نحصل على ثلاثة على تسعة جذر خمسة مضروبًا في المتجه خمسة، سالب اثنين، سالب أربعة. وهذا يساوي واحدًا على ثلاثة جذر خمسة مضروبًا في المتجه خمسة، سالب اثنين، سالب أربعة. يمكننا إذن استنتاج أن الإجابة هي نعم، متجه الوحدة في اتجاه ﺃ هو نفس متجه الوحدة في اتجاه ثلاثة ﺃ.
هذا ينطبق على أي متجه مضروبًا في كمية قياسية موجبة. ما دام أن قيمة ﻙ موجبة، يكون متجه الوحدة في اتجاه ﺃ هو نفس متجه الوحدة في اتجاه ﻙﺃ.
في المسألة التالية، سنوجد متجه الوحدة في نفس اتجاه متجه ثنائي الأبعاد.
أوجد متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه سالب ثلاثة ﺱ زائد خمسة ﺹ.
نعلم أن متجه الوحدة ﻡ يساوي واحدًا على مقدار المتجه ﻡ مضروبًا في المتجه ﻡ، حيث مقدار المتجه الثنائي الأبعاد الذي مركبتاه ﺃ وﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.
في هذه المسألة، لدينا متجه مركبتاه في اتجاه ﺱ وﺹ هما سالب ثلاثة وخمسة. وبالتالي، فإن مقدار هذا المتجه يساوي الجذر التربيعي لسالب ثلاثة تربيع زائد خمسة تربيع. سالب ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وخمسة تربيع يساوي ٢٥. هذا يعني أن مقدار المتجه ﻡ يساوي جذر ٣٤. إذن، متجه الوحدة ﻡ يساوي واحدًا على جذر ٣٤ مضروبًا في سالب ثلاثة، خمسة.
عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة على حدة في هذه الكمية القياسية. وهذا يعطينا سالب ثلاثة على جذر ٣٤، خمسة على جذر ٣٤. يمكننا إنطاق المقام في الكسر واحد على جذر ٣٤ بضرب البسط والمقام في جذر ٣٤. هذا يعني أن واحدًا على جذر ٣٤ يساوي جذر ٣٤ على ٣٤. وهذا ينطبق على أي جذر. واحد على جذر ﺃ يساوي جذر ﺃ على ﺃ.
يمكننا إذن إعادة كتابة المركبتين على الصورة سالب ثلاثة جذر ٣٤ على ٣٤، وخمسة جذر ٣٤ على ٣٤. وبإعادة كتابة المقدار بدلالة ﺱ وﺹ، نجد أن متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه سالب ثلاثة ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي سالب ثلاثة جذر ٣٤ على ٣٤ﺱ زائد خمسة جذر ٣٤ على ٣٤ﺹ.
في السؤال الأخير، سنستخدم الضرب في عدد ثابت ومتجهات الوحدة معًا.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي اثنين، صفر، سالب اثنين، والمتجه ﺏ يساوي واحدًا، سالب واحد، واحدًا، فحدد متجه الوحدة في الاتجاه اثنين ﺏ ناقص ﺃ.
خطوتنا الأولى هنا هي حساب المتجه اثنين ﺏ ناقص ﺃ. نفعل ذلك بضرب المتجه ﺏ في الكمية القياسية اثنين، ثم طرح المتجه ﺃ. عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة على حدة في هذه الكمية القياسية. إذن، اثنان ﺏ يساوي اثنين، سالب اثنين، اثنين.
علينا الآن طرح المتجه اثنين، صفر، سالب اثنين. نفعل ذلك بطرح كل مركبة على حدة. اثنان ناقص اثنين يساوي صفرًا. سالب اثنين ناقص صفر يساوي سالب اثنين. وأخيرًا، اثنان ناقص سالب اثنين يساوي أربعة؛ لأن طرح سالب اثنين يماثل إضافة اثنين.
علينا إيجاد متجه الوحدة لهذا المتجه. نعلم أن متجه الوحدة ﻡ يساوي واحدًا على مقدار ﻡ مضروبًا في المتجه ﻡ. مقدار اثنين ﺏ ناقص ﺃ يساوي الجذر التربيعي لصفر تربيع زائد سالب اثنين تربيع زائد أربعة تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٠، الذي يمكن تبسيطه إلى اثنين جذر خمسة. إذن متجه الوحدة يساوي واحدًا على اثنين جذر خمسة مضروبًا في صفر، سالب اثنين، أربعة. نضرب بعد ذلك كل مركبة على حدة في واحد على اثنين جذر خمسة. ضرب هذا في صفر يعطينا صفرًا. وسالب اثنين في واحد على اثنين جذر خمسة يساوي سالب واحد على جذر خمسة.
وبإنطاق المقام عن طريق ضرب البسط والمقام في جذر خمسة يعطينا سالب جذر خمسة على خمسة. وأخيرًا، بضرب أربعة في واحد على اثنين جذر خمسة، نحصل على اثنين جذر خمسة على خمسة. بالتالي، فإن متجه الوحدة في اتجاه اثنين ﺏ ناقص ﺃ له المركبات صفر، وسالب جذر خمسة على خمسة، واثنان جذر خمسة على خمسة.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة من مركبات المتجه في الكمية القياسية. هذا يعني أن ﻙ مضروبًا في المتجه ﺃ، ﺏ يساوي المتجه ﻙﺃ، ﻙﺏ. هذا ينطبق على المتجه في بعدين وثلاثة أبعاد. يرمز إلى مقدار أي متجه بخطوط القيمة المطلقة. مقدار المتجه الثنائي الأبعاد ﺃ، ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.
عرفنا أيضًا أن متجه الوحدة الذي مقداره واحد يكون في نفس اتجاه المتجه المعطى. متجه الوحدة ﻡ يساوي واحدًا على مقدار ﻡ مضروبًا في المتجه ﻡ. بعبارة أخرى، متجه الوحدة يساوي المتجه المعطى مقسومًا على مقداره.
