فيديو الدرس: قسمة الأعداد المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية قسمة الأعداد المركبة. سنتعلم أولًا كيفية قسمة عدد مركب على عدد حقيقي ثم عدد تخيلي بحت، وبعد ذلك سنعمم هذه الطرق لتتيح لنا قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر. سنتعلم بعد ذلك كيفية استخدام هذه العمليات لحل المعادلات التي تتضمن قسمة أعداد مركبة.

لنبدأ بتعلم كيفية قسمة عدد مركب على عدد حقيقي. هذا امتداد للعملية التي نستخدمها لضرب الأعداد المركبة في أعداد حقيقية. نضرب عددًا مركبًا في عدد حقيقي من خلال استخدام خاصية التوزيع وضرب كل جزء في العدد الحقيقي. يمكننا التفكير في القسمة على العدد الحقيقي ﺟ بنفس طريقة الضرب في مقلوب ﺟ، أي الضرب في واحد على ﺟ. واحد على ﺟ مضروبًا في ﻉ يساوي ﻉ على ﺟ. نضرب واحد على ﺟ في ﺃ ونحصل على ﺃ على ﺟ. ونضرب واحد على ﺟ في ﺏﺕ ونحصل على ﺏ على ﺟﺕ. يمكننا بعد ذلك ملاحظة أنه لقسمة عدد مركب على عدد حقيقي ﺟ، فإننا ببساطة نقسم الجزء الحقيقي ثم نقسم الجزء التخيلي.

لنأخذ مثالًا.

إذا كان ﻉ يساوي خمسة زائد ثلاثة ﺕ، فعبر عن ﻉ على اثنين في صورة ﺃ زائد ﺏﺕ.

لدينا عدد مركب، وهو خمسة زائد ثلاثة ﺕ، ونريد إيجاد القيمة أو العدد المركب المعطى ﻉ على اثنين. ‏ﻉ على اثنين يساوي خمسة زائد ثلاثة ﺕ على اثنين. لقسمة عدد مركب على عدد حقيقي، علينا قسمة الجزأين الحقيقي والتخيلي من العدد المركب على ذلك العدد الحقيقي. نقسم خمسة، وهو الجزء الحقيقي، على اثنين. ونقسم الجزء التخيلي، وهو ثلاثة، على اثنين. فنلاحظ أنه بالنسبة للعدد المركب، ﻉ على اثنين يساوي خمسة على اثنين زائد ثلاثة على اثنين ﺕ.

ماذا عن قسمة عدد مركب على عدد تخيلي بحت؟

بسط اثنين زائد أربعة ﺕ على ﺕ.

لمعرفة كيفية قسمة اثنين زائد أربعة ﺕ على ﺕ، نتذكر تعريف ﺕ. وهو حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. وبالتالي نقول إن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. أو غالبًا ما نقول إن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد.

وإذا اعتبرنا أن هذا الكسر يساوي اثنين زائد أربعة ﺕ مقسومًا على الجذر التربيعي لسالب واحد، فيمكننا ملاحظة أنه للتبسيط، علينا إجراء العملية نفسها التي نجريها لإنطاق المقام عند التعامل مع أي جذر آخر. نضرب كلًّا من بسط الكسر ومقامه في الجذر التربيعي لسالب واحد.

في الواقع، نعلم أن الجذر التربيعي لسالب واحد هو ﺕ. لذا سنضرب كلًّا من بسط هذا الكسر ومقامه في ﺕ. ويمكننا فعل ذلك لأن الضرب في ﺕ على ﺕ يماثل الضرب في واحد. نحن في الأساس نوجد كسرًا متكافئًا.

لنطبق خاصية التوزيع على ﺕ مضروبًا في اثنين زائد أربعة ﺕ. لدينا ﺕ مضروبًا في اثنين يساوي اثنين ﺕ، وﺕ مضروبًا في أربعة ﺕ يساوي أربعة ﺕ تربيع. وبالطبع ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، يصبح المقدار هو اثنين ﺕ زائد أربعة مضروبًا في سالب واحد، ما يساوي سالب أربعة زائد اثنين ﺕ.

في المقام، لدينا ﺕ مضروبًا في ﺕ، ما يعطينا ﺕ تربيع بالتأكيد، وهو ما يساوي سالب واحد. يمكننا إعادة كتابة اثنين زائد أربعة ﺕ على ﺕ بالصورة سالب أربعة زائد اثنين ﺕ على سالب واحد. ببساطة نحن الآن نقسم على عدد حقيقي. ولقسمة عدد مركب على عدد حقيقي، نقسم الجزء الحقيقي ثم الجزء التخيلي، كلًّا على حدة. سالب أربعة مقسومًا على سالب واحد يساوي أربعة، واثنان ﺕ مقسومًا على سالب واحد يساوي سالب اثنين ﺕ. ونبسط اثنين زائد أربعة ﺕ على ﺕ تبسيطًا تامًّا. هذا يساوي أربعة ناقص اثنين ﺕ.

في الواقع، يمكننا استخدام طريقة مشابهة لتساعدنا في قسمة عددين مركبين. فكما استخدمنا قواعد إنطاق المقام عندما يكون المقام جذرًا، يمكننا أيضًا تطبيق قواعد إنطاق المقام عندما يكون هذا المقام مقدارًا يتضمن عددًا نسبيًّا وجذرًا.

لنأخذ مثالًا.

بسط ثلاثة ناقص ستة ﺕ على واحد ناقص خمسة ﺕ.

لتبسيط هذا الكسر أو قسمة ثلاثة ناقص ستة ﺕ على واحد ناقص خمسة ﺕ، علينا إيجاد طريقة لجعل المقام عددًا حقيقيًّا. فما الذي يمكننا فعله لنحصل على هذا العدد الحقيقي؟ تذكر أننا إذا ضربنا عددًا مركبًا في مرافقه المركب، الذي نوجده بتغيير إشارة الجزء التخيلي، فإننا نحصل على عدد حقيقي. وبالتالي، فإن مرافق العدد المركب على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ هو ﺃ ناقص ﺏﺕ.

ومن ثم إذا ضربنا بسط هذا الكسر ومقامه في المرافق المركب واحد ناقص خمسة ﺕ، فسنحصل على عدد حقيقي في المقام. ومرافق واحد ناقص خمسة ﺕ هو واحد زائد خمسة ﺕ. بعد ذلك نفك القوسين بالطريقة المعتادة. هناك عدد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها.

لنستخدم طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. ونبدأ تطبيقها من الحدين الأولين. هيا نضرب أول حدين. إذ نضرب الحد الأول في القوس الأول في الحد الأول في القوس الثاني. وننتقل بعد ذلك إلى الطرفين. فنضرب طرفي القوسين. هذا يساوي ١٥ﺕ. لدينا بعد ذلك الوسطان. حسنًا، نضرب الوسطين. هذا يساوي سالب ستة ﺕ. وفي النهاية، نضرب الحدين الأخيرين. إذن، نضرب الحد الأخير في كل قوس. وهذه المرة نحصل على سالب ٣٠ﺕ تربيع.

بما أننا نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، يصبح الحد الأخير سالب ٣٠ مضروبًا في سالب واحد، ما يساوي ٣٠. ويمكننا تبسيط البسط إلى ٣٣ زائد تسعة ﺕ.

وسنكرر هذه العملية مع المقام أيضًا. نحصل على واحد زائد خمسة ﺕ ناقص خمسة ﺕ ناقص ٢٥ﺕ تربيع. وكما نعلم، فإن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وبالتالي نحصل على الحد الأخير موجب ٢٥. ثم خمسة ﺕ ناقص خمسة ﺕ يساوي صفرًا. وهكذا يتبقى لدينا ٢٦. ولدينا العدد الحقيقي في المقام الذي نبحث عنه. بذلك نكون بسطنا الكسر جزئيًّا. لدينا ٣٣ زائد تسعة ﺕ على ٢٦.

لقسمة عدد مركب على عدد حقيقي، يمكننا قسمة الجزء الحقيقي أولًا ثم قسمة الجزء التخيلي، كل على حدة. الجزء الحقيقي من الإجابة هو ٣٣ على ٢٦، والجزء التخيلي هو تسعة على ٢٦. إذن، الكسر في أبسط صورة له هو ٣٣ على ٢٦ زائد تسعة على ٢٦ﺕ.

وفي الواقع، كان يمكن أن نوفر بعض الوقت بتذكر الصيغة العامة لحاصل ضرب عدد مركب في مرافقه. إذا كان العدد المركب على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ، فنقول إنه يمكن إيجاد ذلك من خلال ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وبصفة عامة، لقسمة عدد مركب على عدد مركب آخر، نكتبه على صورة كسر. وبعد ذلك نضرب بسط هذا الكسر ومقامه في مرافق المقام. يمكننا الفك والتبسيط قدر الإمكان.

لنر كيف سيبدو ذلك بشكل عام.

أولًا: فك وبسط ﻝ زائد ﺭﺕ مضروبًا في ﻝ ناقص ﺭﺕ. ثانيًا: فك ﺃ زائد ﺏﺕ مضروبًا في ﻝ ناقص ﺭﺕ. ثالثًا: بناء على ذلك، أوجد الكسر الذي يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ على ﻝ زائد ﺭﺕ والذي مقامه حقيقي.

في الجزء الأول من هذه المسألة، نريد ضرب عددين مركبين. يمكننا بالتأكيد استخدام أي طريقة لفك القوسين، كطريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني أو طريقة الشبكة. لكن إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن هذين العددين المركبين مترافقان.

أما العدد المركب على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ، حيث ﺃ هو الجزء الحقيقي وﺏ هو الجزء التخيلي، فنوجد مرافقه بتغيير إشارة الجزء التخيلي. وهذا مفيد جدًّا. إذ يسمح لنا باستخدام صيغة حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه. وهي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. نربع الجزء الحقيقي ونضيفه إلى مربع الجزء التخيلي. الجزء الحقيقي من العدد المركب هو ﻝ والجزء التخيلي هو ﺭ. إذن، حاصل ضرب ﻝ زائد ﺭﺕ في مرافقه ﻝ ناقص ﺭﺕ يساوي ﻝ تربيع زائد ﺭ تربيع.

ولكن للأسف، لا نعرف طرقًا جيدة تمكننا من ضرب ﺃ زائد ﺏﺕ في ﻝ ناقص ﺭﺕ. فسنستخدم طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني بدلًا من ذلك. نضرب أول حدين. ‏ﺃ في ﻝ يساوي ﺃﻝ. ونضرب الطرفين، فنحصل على ﺃﺭﺕ. ونضرب الوسطين، فنحصل على ﺏﻝﺕ. ونفرغ بعض المساحة لنضرب آخر حدين، فنحصل على سالب ﺏﺭﺕ تربيع.

علينا أن نتذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وبالتالي يصبح الحد الأخير هو موجب ﺏﺭ. سنعيد ترتيب ذلك قليلًا حتى يبدو كعدد مركب. نجمع الجزأين الحقيقيين ونحصل على ﺃﻝ زائد ﺏﺭ. وبعد ذلك نجمع الجزأين التخيليين، كلًّا على حدة. وعند القيام بذلك، نجد أن الجزء التخيلي في عملية فك هذين القوسين هو ﺏﻝ ناقص ﺃﺭ. إذن، حل الجزء الثاني من المسألة هو ﺃﻝ زائد ﺏﺭ زائد ﺏﻝ ناقص ﺃﺭﺕ.

يطلب الجزء الأخير إيجاد كسر مكافئ لـ ﺃ زائد ﺏﺕ على ﻝ زائد ﺭﺕ. وبالطبع ليست مصادفة أن المطلوب منا هو إيجاد الحل الذي توصلنا إليه بالفعل. نريد إيجاد كسر مكافئ مقامه عدد حقيقي. ولتحقيق ذلك، نضرب كلًّا من بسط الكسر ومقامه في المرافق المركب للمقام. وبالطبع، سبق وأن أوجدنا قيمة ذلك.

وبالتالي، نجد أن الكسر المكافئ لـ ﺃ زائد ﺏﺕ على ﻝ زائد ﺭﺕ الذي مقامه عدد حقيقي — وهو ما يمثل في الواقع الصورة العامة لـ ﺃ زائد ﺏﺕ على العدد المركب الآخر ﻝ زائد ﺭﺕ — هو ﺃﻝ زائد ﺏﺭ زائد ﺏﻝ ناقص ﺃﺭﺕ الكل على ﻝ تربيع زائد ﺭ تربيع. تذكر أنه في حين أنه من الجيد استنباط هذه الصيغة، فمن المهم أن نركز على تطبيق العمليات في كل مرة.

إذا كان ﺃ زائد ﺏﺕ يساوي سالب ثلاثة ناقص خمسة ﺕ على سالب ثلاثة زائد خمسة ﺕ، فهل ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي واحدًا؟

لدينا خارج قسمة عددين مركبين. ونعلم أنه يمكن التعبير عن ذلك كعدد مركب واحد، وهو ﺃ زائد ﺏﺕ. لإيجاد قيمة المقدار ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، علينا إيجاد قيمة هذا العدد المركب. للقيام بذلك، نطبق العمليات المستخدمة في قسمة أعداد مركبة.

علينا ضرب كل من بسط هذا الكسر ومقامه في مرافق المقام. نوجد المرافق بتغيير إشارة الجزء التخيلي. وإذا فعلنا ذلك، نلاحظ أن مرافق المقام هو سالب ثلاثة ناقص خمسة ﺕ.

بعد ذلك نضرب باستخدام خاصية التوزيع. لنبدأ بالبسط. سنوزع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. سالب ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي تسعة. بضرب الطرفين، نحصل على ١٥ﺕ. وبالطبع فإن ضرب الوسطين يعطينا ١٥ﺕ. وعند ضرب آخر حدين، نحصل على ٢٥ﺕ تربيع. ولكن ﺕ تربيع بالطبع يساوي سالب واحد. إذن، الحد الأخير هو ٢٥ مضروبًا في سالب واحد، والذي يساوي سالب ٢٥. نجمع الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين، كلًّا على حدة، رغم أنه يمكننا التفكير في هذا كتجميع للحدود المتشابهة. ونحصل على بسط الكسر، وهو سالب ١٦ زائد ٣٠ﺕ.

يمكننا تكرار هذه العملية مع المقام. ولكن إذا تذكرنا، ففي حالة الصورة العامة لعدد مركب على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ والذي مرافقه هو ﺃ ناقص ﺏﺕ، فحاصل ضرب هذين العددين هو ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. الجزء الحقيقي من العدد المركب هو سالب ثلاثة، والجزء التخيلي هو خمسة. وهكذا عند فك هذين القوسين، سنحصل على سالب ثلاثة تربيع زائد خمسة تربيع. هذا يساوي تسعة زائد ٢٥، ما يعطينا ٣٤. وبالتالي سالب ثلاثة ناقص خمسة ﺕ على سالب ثلاثة زائد خمسة ﺕ يساوي سالب ١٦ زائد ٣٠ﺕ على ٣٤.

وبالطبع، إذا قسمنا عددًا مركبًا على عدد حقيقي، فإننا نقسم الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين، كلًّا على حدة. يبسط سالب ١٦ على ٣٤ إلى سالب ثمانية على ١٧. ويبسط ٣٠ على ٣٤ إلى ١٥ على ١٧. وبالتالي يمكننا ملاحظة أن ﺃ يجب أن يساوي سالب ثمانية على ١٧ وﺏ يجب أن يساوي ١٥ على ١٧.

لا يتبقى إلا التفكير في مجموع مربعيهما، أي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. هذا يساوي سالب ثمانية على ١٧ تربيع زائد ١٥ على ١٧ تربيع. المقامان متشابهان. وبالتالي، فهذا يساوي ٦٤ زائد ٢٢٥ على ٢٨٩. ولكن بالطبع ٦٤ زائد ٢٢٥ يساوي ٢٨٩. إذن، ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ٢٨٩ على ٢٨٩، وهو ما يساوي بالطبع واحدًا. ويصح بالتأكيد القول إن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي واحدًا.

في واقع الأمر، في هذا المثال، العددان المركبان اللذان نقسمهما هما عددان مترافقان. لدينا قاعدة عامة تفيد بأننا إذا قسمنا عددًا مركبًا على مرافقه، فمجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي لهذا العدد المركب سيساوي واحدًا.

سنفكر الآن في كيفية حل المعادلات التي تتضمن قسمة أعداد مركبة.

حل المعادلة ﻉ في اثنين زائد ﺕ يساوي ثلاثة ناقص ﺕ لإيجاد قيمة ﻉ.

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ، سيكون علينا تطبيق العمليات العكسية. سنبدأ بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين زائد ﺕ. وسنجد أن ﻉ يساوي ثلاثة ناقص ﺕ على اثنين زائد ﺕ. لقسمة ثلاثة ناقص ﺕ على اثنين زائد ﺕ، سيكون علينا ضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق اثنين زائد ﺕ. ولإيجاد المرافق، نغير إشارة الجزء التخيلي. ونجد أن مرافق اثنين زائد ﺕ هو اثنين ناقص ﺕ.

نضرب قوسي البسط لهذا الكسر عن طريق توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. ثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي ستة. ثلاثة مضروبًا في سالب ﺕ يساوي سالب ثلاثة ﺕ. نحصل بعد ذلك على سالب اثنين ﺕ. والحد الأخير يعطينا ﺕ تربيع. ‏ﺕ تربيع بالطبع يساوي سالب واحد. إذن، الحد الأخير هو سالب واحد.

ويمكننا تجميع الحدود المتشابهة أو جمع الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين، كل على حدة. ونلاحظ أن ثلاثة ناقص ﺕ مضروبًا في اثنين ناقص ﺕ يساوي خمسة ناقص خمسة ﺕ. ويمكننا تكرار هذه العملية مع المقام.

ولكن هناك قاعدة خاصة يمكننا استخدامها لضرب عدد مركب في مرافقه. يمكننا إيجاد مجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي. الجزء الحقيقي هو اثنان، والجزء التخيلي، أي معامل ﺕ، هو واحد. إذن، حاصل ضرب هذين العددين المركبين هو أربعة زائد واحد، ما يساوي خمسة. ونلاحظ أن ﻉ يساوي خمسة ناقص خمسة ﺕ على خمسة.

ثم يمكننا قسمة الجزء الحقيقي على هذا العدد الحقيقي. ونحصل على خمسة مقسومًا على خمسة، وهو ما يساوي واحدًا. ونقسم الجزء التخيلي على هذا العدد الحقيقي، كلًّا على حدة. خمسة على خمسة يساوي واحدًا. وبالتالي نحصل على واحد ناقص ﺕ. وبذلك نكون حللنا المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ.

لاحظنا أن قسمة الأعداد المركبة يمكن أن تستغرق وقتًا طويلًا.

سنلقي نظرة على مثال أخير يمكننا منه تبسيط طريقة الحل بعض الشيء.

بسط ثلاثة ناقص أربعة ﺕ على اثنين زائد اثنين ﺕ زائد ثلاثة ناقص أربعة ﺕ على اثنين ناقص اثنين ﺕ.

في هذه المسألة، نريد إيجاد مجموع كسرين مقاماهما وبسطاهما أعداد مركبة. يمكننا تطبيق قواعد قسمة الأعداد المركبة والبدء من هذه النقطة. ولكن تستغرق هذه العملية وقتًا طويلًا، خاصة مع وجود كسرين. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن البسطين متشابهان. ومن ثم يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار من خلال أخذ ثلاثة ناقص أربعة ﺕ عاملًا مشتركًا. ولدينا ثلاثة ناقص أربعة ﺕ مضروبًا في واحد على اثنين زائد اثنين ﺕ زائد واحد على اثنين ناقص اثنين ﺕ.

بعد ذلك، نجمع هذين الكسرين من خلال إيجاد مقام مشترك. المقام المشترك هو حاصل ضرب هذين العددين. هذا يساوي اثنين زائد اثنين ﺕ في اثنين ناقص اثنين ﺕ. وعند ضرب بسط الكسر الأول في اثنين ناقص اثنين ﺕ، نحصل على اثنين ناقص اثنين ﺕ. وفي بسط الكسر الثاني، نحصل على اثنين زائد اثنين ﺕ. وسنبسط هذا لاحقًا.

في البسط، لدينا سالب اثنين ﺕ زائد اثنين ﺕ يساوي صفرًا. بالتالي يتبقى لدينا أربعة. وفي الحقيقة، لن نفك القوس في المقام. بدلًا من ذلك، نستخدم حقيقة أن العددين مترافقان مركبان. ويمكننا إيجاد حاصل ضربهما من خلال إيجاد مجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي. هذا يساوي اثنين تربيع زائد اثنين تربيع، ما يساوي ثمانية.

حسنًا، أربعة على ثمانية يبسط إلى نصف. هذا يعني أنه علينا إيجاد نصف ثلاثة ناقص أربعة ﺕ. نصف الجزء الحقيقي هو ثلاثة على اثنين، ونصف الجزء التخيلي هو سالب اثنين. إذن، الحل هو ثلاثة على اثنين ناقص اثنين ﺕ.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا قسمة الأعداد المركبة باستخدام الطرق نفسها التي نستخدمها عند إنطاق المقام. وذلك بضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام وفك الأقواس، ثم التبسيط. عرفنا أيضًا أنه من المفيد إيجاد عوامل مشتركة للمساعدة في تبسيط أي مقادير أكثر تعقيدًا.