نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعرف على تحويلات موبيوس، وهي فئة من تحويلات المستوى المركب، سميت بذلك نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني أوجست فيرديناند موبيوس، والذي يطلق اسمه أيضًا على شريط موبيوس. تتميز هذه الفئة من التحويلات بعدد من الخصائص الرائعة، التي سنستعرض بعضها في هذا الفيديو، والتي لها تطبيقات في الرياضيات ومجالات أخرى غيرها. لنبدأ مباشرة بالتعريف.
تحويل موبيوس هو تحويل للمستوى المركب على الصورة: 𝑇 ينقل 𝑧 إلى 𝑎𝑧 زائد 𝑏 الكل على 𝑐𝑧 زائد 𝑑؛ حيث 𝑎 و𝑏 و𝑐 و𝑑 أعداد مركبة، و𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن صورة 𝑧 تعطى بالأساس بخارج قسمة كثيرات حدود خطية في 𝑧، بالإضافة إلى الشرط الذي يتضمن معاملات كثيرات الحدود هذه. لنر أولًا لماذا نحتاج هذا الشرط. حسنًا، نفترض أن 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 يساوي صفرًا، ومن ثم فإن 𝑎𝑑 سيساوي 𝑏𝑐. ولذا، يمكننا كتابة 𝑎 بدلالة المعاملات الأخرى. ماذا يخبرنا هذا عن صورة 𝑧؟ نستخدم الصيغة التي لدينا ونعوض بالتعبير الدال على 𝑎. والآن نبسط. لكن، ثمة حيلة هنا.
في البسط، نلاحظ وجود عامل مشترك وهو 𝑏. وفي المقام، نلاحظ وجود عامل مشترك وهو 𝑑. بأخذ 𝑏 و𝑑 كعاملين مشتركين، نجد أن العاملين الآخرين سيلغيان. وصورة أي عدد مركب 𝑧 هي ببساطة خارج القسمة الثابت للمعاملين 𝑏 على 𝑑. وعندما 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 يساوي صفرًا، ينقل المستوى بأكمله إلى نقطة واحدة، أي تنقل النقاط المناظرة إلى العدد المركب 𝑏 على 𝑑. ولن نخوض الآن في هذا النوع من التحويلات. إذن، 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 يجب ألا يساوي صفرًا لنمنع حدوث هذا.
والآن بعد أن فهمنا ذلك، يمكننا التركيز على صيغة 𝑇. تحويل موبيوس هو تحويل يمكن كتابته بهذه الصيغة. 𝑎 و𝑏 و𝑐 و𝑑 يمكن أن تكون أي أعداد مركبة تريدها، طالما أن 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 لا يساوي صفرًا. وكمثال على تحويل موبيوس، علينا فقط اختيار قيم مركبة للمعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐 و𝑑. اخترت هنا 𝑎؛ اثنين زائد 𝑖، و𝑏؛ سالب اثنين، و𝑐؛ واحدًا، و𝑑؛ سالب ثلاثة ناقص أربعة 𝑖. وبالطبع، لنتأكد من أن هذا مثال على تحويل موبيوس، علينا التحقق من أن 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 لا يساوي صفرًا. حسنًا، بالقيم التي اخترناها، سنحصل على سالب 11𝑖 كقيمة لـ 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐، وهذا لا يساوي صفرًا. ومن ثم، يعد هذا بالفعل مثالًا على تحويل موبيوس.
ولكنه مثال معقد إلى حد ما. إذا أردنا فهم تحويلات موبيوس، فلا بد أن نبدأ بالتفكير في أبسط صورة ممكنة لتحويلات موبيوس. ما يمكننا فعله هو اختيار 𝑐 ليكون صفرًا، و𝑑 ليكون واحدًا. ومن ثم، يصبح المقام، صفر 𝑧 زائد واحد؛ يساوي واحدًا فحسب. وهكذا، يمكن تبسيط صورة 𝑧 إلى 𝑎𝑧 زائد 𝑏. والآن، كيف أصبح الشرط لدينا؟ 𝑏 مضروبًا في صفر يساوي صفرًا، و𝑎 مضروبًا في واحد يساوي 𝑎 فحسب. وعليه، فإن الشرط المطلوب ليكون هذا تحويل موبيوس هو ببساطة ألا يساوي 𝑎 صفرًا. نرى إذن أن أي تحويل على الصورة 𝑇 واحد ينقل 𝑧 إلى 𝑎𝑧 زائد 𝑏؛ حيث 𝑎 لا يساوي صفرًا، هو تحويل من تحويلات موبيوس. وجميع التحويلات المسماة بالتحويلات الأساسية والتي رأيناها من قبل تأخذ هذه الصورة.
على سبيل المثال، يمكننا تضييق نطاق تركيزنا أكثر بجعل 𝑎 يساوي واحدًا. وعندئذ، نجد أن أي تحويل على الصورة 𝑇 اثنين ينقل 𝑧 إلى 𝑧 زائد 𝑏؛ حيث 𝑏 عدد مركب، هو تحويل من تحويلات موبيوس. لا توجد أي شروط أخرى مطلوبة فيما يخص المعاملات طالما أن 𝑎 يساوي واحدًا وليس صفرًا. وأنت تعرف 𝑇 اثنين. أي انتقال في المستوى المركب سيكون على هذه الصورة. ومن ثم، فإن جميع عمليات الانتقال في المستوى المركب هي تحويلات موبيوس. أي إن فئة تحويلات موبيوس تتضمن فئة عمليات الانتقال. والآن، بدلًا من جعل 𝑎 يساوي واحدًا في 𝑇 واحد، يمكننا أيضًا جعل 𝑏 يساوي صفرًا. وبذلك، يصبح لدينا تحويلات على الصورة 𝑇 ثلاثة تنقل 𝑧 إلى 𝑎𝑧؛ حيث 𝑎 عدد مركب.
يجب أن ننتبه هنا لشرط أن 𝑎 لا يساوي صفرًا. فلو أن 𝑎 يساوي صفرًا، لكان 𝑇 ثلاثة سيحول كل عدد مركب 𝑧 إلى صفر. أي سيتم تحويل المستوى المركب بأكمله إلى نقطة الأصل. يمكننا تضمين هذا الشرط بجعل 𝑎 عددًا مركبًا لا يساوي صفرًا. مرة أخرى، نعرف الصورة 𝑇 ثلاثة. جميع عمليات تمدد المستوى المركب الذي مركزه نقطة الأصل ستكون على هذه الصورة؛ لأن جميعها تشكل دورانًا حول نقطة الأصل. وبشكل عام، هذه صورة تركيب مكون من تمدد ودوران. وبذلك، نرى أن جميع عمليات التمدد التي مركزها نقطة الأصل، وعمليات الدوران حول نقطة الأصل، وأي تركيب يشملهما معًا، هي من تحويلات موبيوس.
وفي الواقع، بالرغم من أننا لن نثبت هذا، ستتضمن الصورة 𝑇 واحد جميع عمليات التمدد في المستوى المركب بغض النظر عن مركزه، كما ستتضمن كذلك جميع عمليات دوران المستوى المركب بغض النظر عن النقطة التي سندور حولها في المستوى المركب. ومن ثم، تتضمن تحويلات موبيوس جميع عمليات الانتقال، والتمدد، والدوران في المستوى المركب. ولكن هذه هي أبسط حالات تحويلات موبيوس. وعليه، ربما لا تتكون لدينا فكرة جيدة عن تحويلات موبيوس العامة إذا نظرنا إلى عمليات الانتقال، والتمدد، والدوران فقط. في الصورة العامة لتحويل موبيوس، 𝑐 لا يساوي صفرًا، و𝑑 لا يساوي واحدًا. ولذلك، علينا إجراء بعض عمليات القسمة أيضًا. لنلق نظرة على أبسط صورة لتحويل موبيوس، وهي التي تتضمن بعض عمليات القسمة.
نجعل 𝑎 يساوي صفرًا، و𝑏 يساوي واحدًا، و𝑐 يساوي واحدًا، و𝑑 يساوي صفرًا. إذن، بالتبسيط، نجد أن صورة 𝑧 هي مقلوبه؛ أي واحد على 𝑧. يتحقق هنا شرط المعاملات. إذن هذا حقًّا أحد تحويلات موبيوس. أعتقد أن فهمنا لعمليات الانتقال والتمدد والدوران، بغرض معرفة ما تفعله الصورة العامة لتحويل موبيوس، يكفي لفهم هذا التحويل المقلوب. وسأعود لهذا الاعتقاد لاحقًا. ولكن، دعونا نتناول أولًا التحويل المقلوب بالتفصيل.
من السهل أن نعرف ما يفعله التحويل المقلوب بالنظر إلى تأثيره على مقياس العدد المركب وسعته. نكتب إذن العدد المركب على الصورة الأسية. وصورته هي واحد على 𝑟𝑒 أس 𝑖𝜃، وهو ما يساوي، وفقًا لنظرية ديموافر، 𝑟 أس سالب واحد في 𝑒 أس 𝑖 سالب 𝜃. إذن يتحول المقياس 𝑟 إلى مقلوبه، واحد على 𝑟. وتتحول السعة 𝜃 إلى عكسها؛ أي سالب 𝜃. بمعلومية النقطة في المستوى المركب، يمكننا إيجاد صورتها على التحويل المقلوب في خطوتين. أولًا، نحول المقياس إلى مقلوبه تاركين السعة دون تغيير. وبعدها، نحول السعة إلى عكسها، تاركين المقياس دون تغيير.
أي إننا إذا بدأنا بـ 𝑧 واحد، فإن هذه ستكون صورة 𝑧 واحد؛ وهي واحد على 𝑧 واحد. الخطوة الأولى، التي نحول فيها المقياس إلى مقلوبه، غامضة إلى حد ما. ومن المهم أن نعي أننا إذا بدأنا بعدد مركب مقياسه أصغر من واحد، فإنه عند إيجاد مقلوب هذا المقياس، سيصبح لدينا مقياس أكبر. وعندئذ، سيكون مقياس صورة 𝑧 اثنين أكبر من 𝑧 اثنين نفسها. ولكن، يمكننا التفكير في الخطوة الثانية التي نكتب فيها عكس السعة 𝜃. هذه الخطوة في حد ذاتها تنقل عددًا إلى مرافقه المركب. هندسيًّا، يمثل هذا انعكاسًا بالنسبة لمحور الأعداد الحقيقية.
ربما ترغب في قضاء بعض الوقت في التفكير في الموضع الذي ينقل إليه هذا التحويل النقاط في أجزاء المستوى المركب المختلفة. ستلاحظ، على سبيل المثال، أنه لكي يكون هذا التحويل منطقيًّا، يجب ألا يساوي 𝑧 صفرًا. وعلى وجه التحديد، فإنه يجدر التفكير في الموضع الذي ينقل إليه التحويل المقلوب النقاط داخل دائرة الوحدة، وعليها، وخارجها. لذا، أوقف الفيديو مؤقتًا وفكر في الأمر.
نستمر بإيجاد صور محال هندسية مختلفة في المستوى المركب وفقًا لهذا التحويل المقلوب.
يعرف التحويل الذي يحول المستوى 𝑧 إلى المستوى 𝑤 بـ 𝑇 الذي ينقل 𝑧 لواحد على 𝑧؛ حيث 𝑧 لا يساوي صفرًا. أولًا، أوجد معادلة لصورة مقياس 𝑧 يساوي اثنين وفقًا للتحويل. ثانيًا، أوجد معادلة لصورة سعة 𝑧 تساوي ثلاثة 𝜋 على أربعة. ثالثًا، أوجد معادلة كارتيزية لصورة الجزء التخيلي من 𝑧 يساوي اثنين. رابعًا، أوجد معادلة كارتيزية لصورة مقياس 𝑧 ناقص 𝑖 يساوي واحدًا.
ينقل هذا التحويل 𝑧 إلى مقلوبه؛ أي واحد على 𝑧. وعليه، فإن 𝑤 يساوي واحدًا على 𝑧. في الجزء الأول، نريد إيجاد صورة مقياس 𝑧 يساوي اثنين وفقًا لهذا التحويل. يمكننا عكس التحويل لإيجاد 𝑧 بدلالة 𝑤. بضرب كلا الطرفين في 𝑧 ثم القسمة على 𝑤، نجد أن 𝑧 يساوي واحدًا على 𝑤. وبالتعويض، نجد أن معادلة الصورة هي مقياس واحد على 𝑤 يساوي اثنين. ولكن يمكننا كتابة هذه المعادلة بشكل أفضل. نستخدم حقيقة أن مقياس خارج قسمة عددين يساوي خارج قسمة مقياسي العددين كما أن مقياس الواحد هو ببساطة واحد. إذن بإعادة الترتيب، يمكننا إعادة كتابة المعادلة لتصبح مقياس 𝑤 يساوي نصفًا.
والآن كيف يبدو هذا على المستوى المركب؟ حسنًا، المحل الهندسي الأصلي الذي معادلته مقياس 𝑧 يساوي اثنين هو دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها هو اثنان في المستوى 𝑧. ومعادلة صورته طبقًا للتحويل المقلوب هي مقياس 𝑤 يساوي نصفًا كما وضحنا، وهي التي نمثلها بدائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها هو نصف في المستوى 𝑤. هذا منطقي. نعرف أن صورة أي عدد مركب مقياسه 𝑟، وفقًا لهذا التحويل، سيكون مقياسها واحدًا على 𝑟. إذن، صورة العدد المركب الذي مقياسه اثنان سيكون مقياسها واحدًا على اثنين؛ أي نصفًا. وبهذا، عندما ننقل دائرة جميع الأعداد المركبة التي مقياسها اثنان، وفقًا لهذا التحويل، من الطبيعي أن تصبح لدينا دائرة جميع الأعداد المركبة التي مقياسها نصف.
هيا ننتقل الآن إلى إيجاد صورة سعة 𝑧 تساوي ثلاثة 𝜋 على أربعة. مرة أخرى، نستخدم حقيقة أن 𝑧 يساوي واحدًا على 𝑤. إذن، سعة واحد على 𝑤 تساوي ثلاثة 𝜋 على أربعة. ونستخدم هنا حقيقة أن سعة خارج قسمة عددين هي الفرق بين سعتيهما. وكذلك حقيقة أن سعة الواحد هي ببساطة صفر. ومن ثم، بضرب الطرفين في سالب واحد، نحصل على المعادلة: سعة 𝑤 تساوي سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة. مرة أخرى، من المفيد النظر إلى الشكل. نلاحظ أن نصف الخط المستقيم المكون من الأعداد المركبة التي سعتها ثلاثة 𝜋 على أربعة ينقل إلى نصف الخط المستقيم المكون من الأعداد المركبة التي سعتها سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة. ونعرف أن أي عدد مركب سعته 𝜃 سينقل إلى عدد مركب سعته سالب 𝜃. وهذا منطقي.
هيا الآن نوجد صورة الجزء التخيلي من 𝑧 يساوي اثنين. قد يكون ما نفعله بالجزء التخيلي من واحد على 𝑤 غير واضح. ولكن بما أن المطلوب هو إيجاد معادلة كارتيزية، فما نحتاجه هو كتابة 𝑤 بدلالة أجزائه الحقيقية والتخيلية، والتي نسميها 𝑢 و𝑣. كيف نوجد الجزء التخيلي من واحد على 𝑢 زائد 𝑖𝑣؟ نجعل المقام عددًا حقيقيًّا بالطريقة المعتادة. ومن هذا العدد المكتوب بصورة جبرية، يمكننا تحديد الأجزاء التخيلية. وهي سالب 𝑣 على 𝑢 تربيع زائد 𝑣 تربيع. ربما نرغب في التوقف عن التبسيط عند هذه النقطة. ولكن إذا قسمنا على اثنين، وأكملنا المربع لـ 𝑣، فسنحصل على شيء ما. تعرف هذه بأنها معادلة دائرة. لنرسمها على تمثيل بياني. نلاحظ أن خط الأعداد المركبة بالجزء التخيلي اثنين قد تم نقله إلى دائرة في المستوى 𝑤.
وأخيرًا، نجد صورة مقياس 𝑧 ناقص 𝑖 يساوي واحدًا. نعوض بواحد على 𝑤 عن 𝑧، ثم نكتب ما بداخل المقياس على صورة كسر وحيد. وسيسمح لنا هذا بتطبيق ما نعرفه عن مقياس خارج القسمة. ومن ثم، يمكننا ضرب كلا الطرفين في مقياس 𝑤. والآن، نعوض بـ 𝑢 زائد 𝑖𝑣 عن 𝑤. ثم نبسط الطرف الأيسر. والآن، صرنا مستعدين لتطبيق تعريف المقياس. نقوم بتربيع كلا الطرفين. وسالب 𝑢 تربيع هو نفسه 𝑢 تربيع، ومن ثم يلغيان معًا. بتوزيع أقواس الطرف الأيسر، نجد أن حدود 𝑣 تربيع تلغى أيضًا. ولذا، نجد أن اثنين 𝑣 يساوي سالب واحد. ومن ثم، معادلة الصورة هي: 𝑣 يساوي سالب نصف. وهكذا نجد أن الدائرة التي مركزها 𝑖، ونصف قطرها واحد تم نقلها إلى خط مستقيم نقاطه تقع في المستوى 𝑤، والجزء التخيلي لها هو سالب نصف.
لنلخص ذلك إذن. في الجزء الأول، تم نقل الدائرة إلى دائرة. في الجزء الثاني، تم نقل الخط المستقيم إلى خط مستقيم. حسنًا، في الواقع، تم نقل نصف الخط المستقيم إلى نصف خط مستقيم. في الجزء الثالث، تم نقل الخط المستقيم إلى دائرة. وفي الجزء الرابع، تم نقل الدائرة إلى خط مستقيم.
اختيرت هذه الأمثلة بعناية لتوضيح جميع الاحتمالات الممكنة. ينقل التحويل المقلوب أي دائرة إلى دائرة أو خط مستقيم، وينقل أي خط مستقيم إلى خط مستقيم أو دائرة. يمكننا تعريف الخط الدائري بأنه منحنى على شكل دائرة أو خط مستقيم. عندئذ، تصبح لدينا نظرية لن نثبتها في هذا الفيديو تنص على أن التحويل المقلوب ينقل الخط الدائري إلى خط دائري.
صورة الخط الدائري، وفقًا للتحويل المقلوب، هي خط دائري. يمثل التحويل المقلوب جميع تحويلات موبيوس بهذه الطريقة. أي تحويل من تحويلات موبيوس ينقل الخطوط الدائرية إلى خطوط دائرية. وصورة الدائرة أو الخط المستقيم، وفقًا لتحويل موبيوس، ستكون دائمًا إما دائرة أو خطًّا مستقيمًا. ولا توجد أي احتمالات أخرى ممكنة. وهذه إحدى خصائص تحويلات موبيوس الجيدة التي تجعلها مفيدة جدًّا. يستحق الأمر أن تقضي بعض الوقت لإقناع نفسك بأن هذا ينطبق بوضوح على كل عمليات الانتقال والدوران والتمدد، وجميعها حالات خاصة من تحويلات موبيوس.
الآن، وكما آمل، بعد أن فهمنا التحويل المقلوب بشكل أفضل، دعوني أبرر لكم اعتقادي بأن هذا سيساعدنا على فهم أي تحويل من تحويلات موبيوس. لنفترض أي تحويل من تحويلات موبيوس. إذا كان 𝑐 لا يساوي صفرًا، فسنعرف بعض التحويلات المساعدة. لاحظ أن جميعها تحويلات موبيوس. تحديدًا، لدينا انتقالان، وتمدد مركزه نقطة الأصل، ودوران حول نقطة الأصل، أو مزيج من الاثنين، ولدينا أيضًا التحويل المقلوب الذي رأيناه توًّا. أتمنى أن تكون كل هذه التحويلات مألوفة لكم الآن. ومن ثم يتضح لنا أن تحويل موبيوس الذي افترضناه هو تركيب من هذه التحويلات المساعدة.
لن أتناول هذا جبريًّا هنا. ولكن يمكنك التحقق من هذا إذا أردت. إذا فهمنا التحويلات من 𝑇 واحد إلى 𝑇 أربعة كل على حدة، فسوف نتمكن من فهم التحويل الأصلي بوصفه تركيبًا منها. وإذا كان 𝑐 يساوي صفرًا، فسيكون ذلك أسهل. يمكننا إثبات العديد من خصائص تحويلات موبيوس بتحليلها بهذه الطريقة. على سبيل المثال، نعرف أن 𝑇 واحد انتقال ينقل الخط الدائري إلى خط دائري. لدينا سبب جيد يجعلنا نتوقع أن 𝑇 اثنين يفعل هذا أيضًا. 𝑇 ثلاثة هو تمدد أو دوران حول نقطة الأصل، أو ربما مزيج من الاثنين. ومن ثم، فإنه ينقل بالتأكيد الخطوط الدائرية إلى خطوط دائرية. أما 𝑇 أربعة، فهو انتقال آخر ينقل الخطوط الدائرية إلى خطوط دائرية.
إذن ماذا يفعل 𝑇 في الخطوط الدائرية؟ حسنًا، 𝑇 واحد ينقل الخط الدائري إلى خط دائري ينقله 𝑇 اثنان إلى خط دائري ينقله 𝑇 ثلاثة إلى خط دائري ينقله 𝑇 أربعة في النهاية إلى خط دائري. أي إن تحويل موبيوس الافتراضي 𝑇 ينقل الخطوط الدائرية إلى خطوط دائرية. أو على الأقل يمكننا تقليل الجهد المبذول في مسألة التأكد من أن تحويل موبيوس الافتراضي ينقل الخطوط الدائرية إلى خطوط دائرية بالتأكد من أن التحويل المقلوب ينقل الخطوط الدائرية إلى خطوط دائرية. يسهل التعامل مع تحويلات موبيوس عندما تكون ضمن تركيب. هيا نثبت أن تركيب تحويلين من تحويلات موبيوس هو في حد ذاته تحويل موبيوس.
أثبت أن تركيب تحويلين من تحويلات موبيوس هو في حد ذاته تحويل موبيوس.
نفترض أن 𝑇 واحد و𝑇 اثنين هما تحويلان افتراضيان من تحويلات موبيوس بالمعاملات: 𝑎، و𝑏، و𝑐، و𝑑، و𝛼، و𝛽، و𝛾، و𝛿 على الترتيب. مهمتنا إذن هي إثبات أن تركيبهما هو في حد ذاته تحويل من تحويلات موبيوس. بتعريف التركيب، نجد أن التحويل ينقل 𝑧 لتصبح 𝑇 واحد لـ 𝑇 اثنين لـ 𝑧. ونعرف قيمة 𝑇 اثنين لـ 𝑧، ومن ثم نعوض بها. وهي 𝛼𝑧 زائد 𝛽 على 𝛾𝑧 زائد 𝛿. كل ما علينا الآن هو أن نطبق 𝑇 واحد على هذا. فنستخدم صيغة 𝑇 واحد لـ 𝑧 مع التعويض بـ 𝛼𝑧 زائد 𝛽 على 𝛾𝑧 زائد 𝛿 عن 𝑧. ثم نبسط ونعيد ترتيب الحدود لكتابتها على الصورة المتوقعة.
ومن ثم، تكون لدينا صيغة لتحويل من تحويلات موبيوس. ولكننا لما ننته بعد. فما زال علينا التأكد من شرط المعاملات، وهو أن حاصل ضرب هذين المعاملين ناقص حاصل ضرب هذين المعاملين لا يساوي صفرًا. نطبق خاصية التوزيع، ونلاحظ أن بعض الحدود ستلغى معًا، وأن اثنين من المعاملات المتبقية بينهما عامل مشترك هو 𝑎𝑑. والحدين الآخرين بينهما عامل مشترك هو 𝑏𝑐. نلاحظ الآن وجود العامل المشترك 𝛼𝛿 على 𝛽𝛾، وهو ما يسمح لنا أن نجري تحليلًا كاملًا. والآن، كيف سيمكننا ذلك من إثبات أن هذا لا يساوي صفرًا؟
حسنًا، نعرف أن 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 لا يساوي صفرًا، وأن 𝛼𝛿 ناقص 𝛽𝛾 لا يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، فإن هذه الكمية، التي هي عبارة عن حاصل ضرب عددين كلاهما لا يساوي صفرًا، هي في حد ذاتها لا تساوي صفرًا. وعليه، كما هو مطلوب، تركيب 𝑇 واحد و𝑇 اثنين هو تحويل من تحويلات موبيوس. وبما أن 𝑇 واحد و𝑇 اثنين كانا تحويلين افتراضيين من تحويلات موبيوس، إذن نكون قد أثبتنا بذلك أن تركيب تحويلين من تحويلات موبيوس هو تحويل من تحويلات موبيوس أيضًا كما هو مطلوب.
تناول هذا الفيديو عددًا من النقاط الأساسية نوجزها فيما يلي. تحويل موبيوس هو تحويل على الصورة 𝑇 ينقل 𝑧 إلى 𝑎𝑧 زائد 𝑏 على 𝑐𝑧 زائد 𝑑؛ حيث 𝑎 و𝑏 و𝑐 و𝑑 أعداد مركبة، و𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 لا يساوي صفرًا. تحويل موبيوس ينقل الخطوط والدوائر إلى خطوط ودوائر. والتحويل الناتج عن تركيب تحويلين من تحويلات موبيوس هو دائمًا تحويل من تحويلات موبيوس.
