تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الزوايا الداخلية للمضلعات

أحمد طارق

تعريف كلٍّ من قطر المضلع والمضلع المنتظم ومفهوم الزاوية الداخلية لأي مضلع، وكيفية إيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع وعلاقتها بعدد أضلاع المضلع.

١٦:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

الزوايا الداخلية للمضلعات.

لو جينا ناخد بعض الأمثلة على المضلعات. على سبيل المثال، أول حاجة عندي ممكن نقول إن هي مضلع هو المثلث. وممكن يكون المضلع بيتكوّن من أربع أضلاع. وده بيكون اسمه مضلع رباعي. وممكن يكون المضلع بيتكوّن من خمس أضلاع على سبيل المثال. وده بيكون اسمه مضلع خماسي، وهكذا أشكال تانية كتير.

دلوقتي فيه تعريف مهم جدًّا محتاجين إن إحنا نعرفه، وهو قُطر المضلع. قُطر المضلع هو عبارة عن القطعة المستقيمة الواصلة بين رأسين غير متجاورين. فيما معناه، يعني أنا محتاج عندي رأسين في المضلع فيه بينهم راس تالتة، والرأسين دول. فبالتالي بيكونوا غير متجاورين. فالقطعة المستقيمة الواصلة بينهم ده بيُعتبر قُطر المضلع. يعني على سبيل المثال، الشكل الرباعي اللي عندي … أنا عندي الشكل رؤوسه هو أ ب ج د: الرأس أ، والرأس ج فيه بينهم الرأس ب والرأس د. وهمّ رأسين غير متجاورين. فبالتالي القطعة المستقيمة أ ج هي تُعتَبَر قُطر للمضلع أ ب ج د. وفي نفس الوقت، لو جينا وصّلنا بين الرأس د والرأس ب، في الحالة دي هيكون د ب هو برضو قُطر المضلع الرباعي أ ب ج د.

طيب بالنسبة للمضلع الخماسي، عند رؤوسه أ ب ج د ه، بالنسبة للرأس أ في الرأس د هي تُعتبر أ وَ د همّ رأسين غير متجاورين، وَ أ وَ ج برضو يعتبروا رأسين غير متجاورين. فبالتالي أ د وَ أ ج هم قطرَي المضلع الخماسي أ ب ج د هـ. وبنفس الشكل، لو جينا من عند الرأس هـ، أقدر أقول: إن هـ ج وَ هـ ب برضو قطرَي المضلع الخماسي أ ب ج د هـ. بالنسبة للمثلث أ ب ج، أنا عندي كل الرؤوس متجاورة. بمعنى إن أ جنبها الرأس ب، وجنبها الرأس ج. وَ ب جنبه الراس أ والرأس ج. وَ ج جنبها الرأس ب والرأس أ. فبالتالي ما فيش قُطر للمثلث أ ب ج.

لو نلاحظ بالنسبة للمضلع الرباعي، القُطر قَسَم الشكل الرباعي أو المضلع الرباعي أ ب ج د لمثلثين، اللي هو أ ب د وَ ج ب د. أمَّا بالنسبة للمضلع الخماسي، أقطار المضلع قَسّمت المضلع لتلات مثلثات: المثلث أ هـ د، والمثلث أ د ج، والمثلث أ ب ج. في الحالة دي، عشان أقدر أجيب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع بالكامل، هي عبارة عن مجموع قياسات زوايا المثلثات الناتجة عن رسم كل أقطار المضلع الممكِنة من رأس واحدة. بمعنى بالنسبة للمضلع الرباعي أ ب ج د، إحنا اخترنا الرأس ب. رسمنا منها قطر واحد بس. ما فيش أيّ قُطر تاني أقدر أرسمه.

بالنسبة للمضلع الرباعي أ ب ج د، القطر ب د قسم المضلع أ ب ج د لمثلثين. في الحالة دي، أقدر أقول: إن مجموع قياسات زوايا المضلع الرباعي هي عبارة عن مجموع قياسات زوايا المثلث أ ب د، زائد مجموع قياسات زوايا المثلث د ب ج. مجموع قياسات زوايا المثلث الواحد مية وتمانين درجة. فبالتالي مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الرباعي هتساوي مية وتمانين درجة زائد مية وتمانين درجة. اللي هي عبارة عن اتنين مضروبة في مية وتمانين درجة. اللي هي عبارة عن عدد المثلثات الناتجة عن رسم قُطر أو كل أقطار المضلع الممكِنة من رأس واحدة، مضروبة في مجموع قياسات زوايا المثلث الواحد، اللي هي مية وتمانين درجة.

وبنفس الشكل بالنسبة للمضلع الخماسي، أقطار المضلع اللي رسمناها من الرأس أ قسّمت المضلع لتلات مثلثات. فبالتالي مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الخماسي هتساوي عدد المثلثات الناتجة عن رسم الأقطار، اللي هي تلات مثلثات، في مجموع قياسات الزوايا بتاعة المثلث الواحد، اللي هي مية وتمانين درجة. في الحالة دي، نقدر نكتب الكلام ده في شكل جدول؛ عشان محتاجين نوصل لقاعدة عامَّة لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع. هنكتب الجدول في صفحة جديدة.

الجدول اللي قدامي هو عبارة عن بعض أشكال المضلعات. هنحاول نوصل لقاعدة عامَّة لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع. بالنسبة للمثلث، عدد الأضلاع فيه بيساوي كام ضلع؟ تلات أضلاع. وعدد المثلثات الموجودة في المثلث الواحد هو مثلث واحد فقط. ده عدد المثلثات الناتجة عن رسم كل أقطار المضلع الناتجة من رأس واحد فقط. المثلث ما فيش ليه أيّ قُطر، فبالتالي عدد المثلثات فيه بعد رسم الأقطار هو مثلث واحد فقط. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث هي عبارة عن مية وتمانين درجة. اللي هي عدد المثلثات مضروبة في مية وتمانين درجة، بيساوي مية وتمانين درجة.

بالنسبة للمضلع الرباعي، أقدر أرسم قُطر واحد من رأس واحد بس. يعني ما ينفعش أرسم من الرأس دي أيّ قُطر تاني. القُطر اللي أنا رسمته من الرأس دي قَسَم المضلع الرباعي عندي لمثلثين. فبالتالي عدد الأضلاع في المضلع الرباعي همّ أربع أضلاع، وعدد المثلثات الناتجة همّ مثلثين. يبقى مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلّع هي اتنين في مية وتمانين درجة، بتساوي تلتمية وستين درجة. لأن زيّ ما اتّفقنا إن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع بتساوي مجموع قياسات زوايا المثلثات الناتجة عن رسم كل أقطار المضلع الممكِنة من رأس واحدة فقط.

بالنسبة لتالت شكل عندنا، وهو المضلع الخماسي، أقدر أرسم من رأس واحدة قُطرين؛ آدي القطر الأول، وآدي القطر التاني. فبالتالي قَسَم المضلع الخماسي لتلات مثلثات. يبقى عدد الأضلاع هو خمسة، وعدد المثلثات الناتجة عن رسم كل الأقطار همّ تلات مثلثات. فبالتالي مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الخماسي هتساوي تلاتة في مية وتمانين درجة، بتساوي خمسمية وأربعين درجة.

أمَّا بالنسبة للمضلع السداسي، أقدر أرسم على سبيل المثال من الرأس الموضَّحة باللون الأحمر، أقدر أرسم قُطر، اتنين، تلاتة. فبالتالي قَسَم المضلع السداسي عندي لأربع مثلثات. يبقى عدد الأضلاع هو ستة، وعدد المثلثات الناتجة أربعة. يبقى مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع بتساوي أربعة في مية وتمانين درجة، اللي هي بتساوي سبعمية وعشرين درجة.

لو نلاحظ، هنلاقي إن أنا حسب عدد أضلاع المضلع بطرح منه اتنين، فيدّيني عدد المثلثات الناتجة. بمعنى في حالة المثلث تلاتة ناقص اتنين بيساوي واحد. في حالة المضلع الرباعي، أربعة ناقص اتنين بيساوي اتنين. في حالة المضلع الخماسي، خمسة ناقص اتنين بتساوي تلاتة. وفي حالة المضلع السداسي، ستة ناقص اتنين بتساوي أربعة. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن في حالة أيّ مضلع إذا كان عدد أضلاعه هنرمز له بالرمز ن، يبقى عدد المثلثات الناتجة هتكون ن ناقص اتنين. يبقى مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع هتساوي ن ناقص اتنين، مضروبة في مية وتمانين درجة.

يبقى في الحالة دي، أقدر أقول بصفة عامَّة في صفحة جديدة: مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع بتساوي ن ناقص اتنين، مضروبة في مية وتمانين درجة، حيث ن هو عدد أضلاع المضلع. وفي الحالة دي، بقدر أقول على القاعدة دي: هي نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

فعلى سبيل المثال، لو هو قايل لي: إن فيه مضلع سباعي، يعني ده معناه إن فيه سبع أضلاع، وطالب منّي إنّي أجيب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع.

المضلع السباعي فيه سبع أضلاع، فده معناه إني أقدر أجيب مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع عن طريق نظرية الزوايا الداخلية للمضلع. بمعنى إنّي أقول: مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع بتساوي ن ناقص اتنين، في مية وتمانين درجة، حيث ن هو عدد أضلاع المضلع. فبالتالي أنا عندي مضلع سباعي، بقدر أقول: إن ن هنعوّض عنها بسبعة. يبقى سبعة ناقص اتنين، في مية وتمانين درجة. بتساوي خمسة في مية وتمانين درجة، اللي هي بتساوي تسعمية درجة. يبقى مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع السباعي بتساوي تسعمية درجة.

مثال آخر في صفحة جديدة. أوجد قيمة س.

المثال اللي قدامي: هو مدّيني مضلع خماسي بيتكوّن من خمس أضلاع. ومدّيني فيه قياسات زوايا. وطالب منّي إنّي أجيب قيمة س. في الحالة دي، أقدر أقول: إن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع أقدر أجيبها عن طريق القاعدة اللي بتقول: ن ناقص اتنين في مية وتمانين درجة. يبقى في الحالة دي، أقدر أجيب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الخماسي عن طريق إن أنا هطرح من عدد أضلاع المضلع الخماسي اتنين، وأضربه في مية وتمانين درجة. يعني هيساوي خمسة ناقص اتنين في مية وتمانين درجة. يعني بيساوي تلاتة في مية وتمانين درجة، اللي هي بتساوي خمسمية وأربعين درجة. خمسمية وأربعين درجة دي عبارة عن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الخماسي، اللي هو عندي في المسألة أ ب ج د هـ.

في الحالة دي، أقدر أقول: إن قياس زاوية أ، اللي هي بتساوي مية وعشرين درجة. زائد قياس زاوية ب، اللي هي مية وعشرين درجة. زائد قياس زاوية ج، اللي هي تسعين درجة. زائد قياس زاوية د، اللي هو بيساوي تسعين درجة. زائد قياس زاوية هـ، اللي هو عبارة عن تلاتة س درجة. المجموع ده بيساوي خمسمية وأربعين درجة. في الحالة دي، أقدر أقول: إن ربعمية وعشرين درجة زائد تلاتة س درجة بتساوي خمسمية وأربعين درجة. يبقى تلاتة س درجة بيساوي خمسمية وأربعين ناقص ربعمية وعشرين، اللي هي بتساوي مية وعشرين درجة. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن س بتساوي مية وعشرين مقسومة على تلاتة، اللي هي بتساوي أربعين. وهي دي قيمة س اللي مطلوبة منّي في المسألة.

حاجة تانية محتاجين نعرفها، وهي المضلع المنتظم. هنبدأ في صفحة جديدة. المضلع المنتظم هو مضلع جميع زواياه الداخلية متساوية في القياس، وجميع أضلاعه متساوية في الطول، زيّ الشكلين اللي قدامنا على سبيل المثال. أول شكل عندي ده مضلع رباعي منتظم. وتاني شكل عندي ده مضلع سداسي منتظم. كل واحد فيهم جميع زواياه الداخلية متساوية في القياس، وجميع أضلاعه متساوية في الطول.

فعلى سبيل المثال، لو عندي مثال هناخده في صفحة جديدة. إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم بتساوي مية أربعة وأربعين درجة، أوجد عدد أضلاع المضلع.

هو قايل لي في المسألة: إن المضلع منتظم. فده معناه إن كل الزوايا الداخلية للمضلع متساوية في القياس. ومدّيني قياس الزاوية الداخلية الواحدة بتساوي مية أربعة وأربعين درجة. مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع أقدر أجيبها عن طريق إن أنا بضرب ن ناقص اتنين في مية وتمانين درجة، حيث ن هو عدد أضلاع المضلع. في الحالة دي، لو كانوا مضلع منتظم، فبالتالي مجموع قياسات الزوايا الداخلية بيساوي عدد الأضلاع، اللي هو نفسه عدد الزوايا، مضروب في قياس الزاوية الواحدة، اللي هو بيساوي مية أربعة وأربعين درجة.

يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن مية وتمانين ن ناقص تلتمية وستين بتساوي مية أربعة وأربعين ن. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن مية وتمانين ن، عفوًا مية وتمانين ن ناقص مية أربعة وأربعين ن بيساوي ستة وتلاتين ن. ستة وتلاتين ن بيساوي … هنودّي سالب تلتمية وستين للناحية التانية بإشارة موجبة، يبقى بيساوي تلتمية وستين. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن ن بيساوي تلتمية وستين على ستة وتلاتين. يبقى ن بتساوي عشرة. يبقى عدد أضلاع المضلع همّ عشر أضلاع.

وبكده بنكون عرفنا إيه هو تعريف أقطار المضلع أو قُطر المضلع. وإزَّاي أقدر أجيب مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأيّ مضلع. وإيه هو المضلع المنتظم.