تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تطبيق على الضرب القياسي للمتجهات

سوزان فائق

يوضح الفيديو تطبيقًا على المتجهات باستخدام مسقط المتجه أو الضرب القياسي، وكيفية حساب الشغل الناتج عن قوة.

٠٨:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على تطبيق على الضرب القياسي للمتجهات. هنعرف إيه هو الضرب القياسي. وهنعرف تطبيق إزاي نحسب الشغل الناتج عن قوة، باستخدام المتجهات. الضرب القياسي لمتجهين في المستوى الإحداثي، بيبقى لو المتجه أ يساوي أ واحد وَ أ اتنين. والمتجه ب، ب واحد وَ ب اتنين. فإن الضرب القياسي لهم بيعرَّف أ ضرب قياسي ب يساوي أ واحد مضروبة في الـ ب واحد. زائد أ اتنين مضروبة في الـ ب اتنين. يعني بنضرب المركبة الأولى في المركبة الأولى، والمركبة التانية في المركبة التانية؛ وبنجمعهم على بعض.

من التطبيقات اللي على الضرب القياسي للمتجهين، هو حساب الشغل الناتج عن قوة. القوة بيبقى لها قيمة، ولها اتجاه. لو عايزين نحسب الشغل الناتج عن قوة ق. والمتجه ق ده قوة ثابتة مؤثرة في جسم، يعني ما بتتغيّرش بمرور الزمن. فبنستخدم القوة الثابتة في تحريك جسم، من نقطة أ إلى نقطة ب. كما في الشكل زيّ ما هو قدامنا كده. وكانت القوة ق موازية للـ أ ب. فإن الشغل الناتج، اللي هو هنسميه ش، عن القوة ق؛ يساوي مقدار القوة ق، مضروبًا في المسافة من أ إلى ب. يعني الـ ش، اللي هو الشغل، هيساوي معيار القوة مضروب في معيار المسافة، اللي هي أ ب.

طيب ده هل لو القوة ق، اللي هو المتجه ق؛ موازية للـ أ ب، اللي هو اتجاه الحركة. لو كانت مش موازية، هنعمل إيه؟ وهنجيب الشغل إزاي؟ هنقلب الصفحة. الشكل اللي قدامنا، فيه القوة ق اللي هو متجه القوة ق، مش موازي للـ أ ب. عامل زاوية 𝜃. فهنحلل القوة ق، لمتجهين متعامدين. واحد هيبقى المتجه ق مضروب في جتا 𝜃. والتاني هيبقى الـ ق مضروب في الـ جا 𝜃. المقابل لزاوية 𝜃 بنضربه في الـ جا، والمجاور بنضربه في الـ جتا. لأن ده مثلث قائم الزاوية. يبقى إنه يتم حساب هذا الشغل، بإيجاد الضرب القياسي بين القوة الثابتة ق، والمسافة المتجهة أ ب. بعد كتابتهم في الصورة الإحداثية المركبة.

وحدة قياس الشغل في النظام المتري، هي نيوتن متر، أو الجول. نقلب الصفحة وناخد مثال. ونشوف إزاي هنحسب الشغل. يَدفع شخص سيارة بقوة ثابتة مقدارها مية وعشرين نيوتن، بزاوية خمسة وأربعين درجة. اوجد الشغل المبذول بالجول، لتحريك السيارة عشرة متر، بإهمال قوة الاحتكاك.

فيه طريقتين للحل. أول طريقة إن إحنا نستخدم متجه القوة ق، نعمل له إسقاط على أ ب، اللي هو اتجاه الحركة. ونضرب معيار المسقط في معيار القوة. ده اللي هو القانون الأولاني، باستخدام مسقط المتجه. تاني طريقة، إن إحنا نستخدم مباشرةً الضرب القياسي. وعشان نستخدم الضرب القياسي، هنحطّ صورة المتجه ق، بشكل الصورة المركبة. وكمان المتجه أ ب، اللي هو اتجاه الحركة من أ إلى ب، ده هنحطّه كمان في صورة مركبة.

هنحل بالطريقة الأولى، اللي هو بإيجاد مسقط المتجه. لحساب الشغل الناتج من قوة ثابتة ق، بأي اتجاه، لتحريك جسم من النقطة أ إلى ب. فإنه من الممكن حساب مسقط المتجه ق، على المتجه أ ب. وبيكون الشغل هو عبارة عن معيار مسقط المتجه ق على أ ب، مضروب في الـ أ ب؛ معيار الـ أ ب. يعني القوة مضروبة في المسافة، هتساوي … لمّا هنعمل مسقط للـ ق على الـ أ ب، يبقى المركبة هتبقى معيار ق، مضروبة في جتا 𝜃. والـ 𝜃 عندنا هنا سالب خمسة وأربعين درجة. لمّا هنساويها باللي عند المسقط، هتبقى موجب خمسة وأربعين درجة. اللي هي المجاورة للمسقط، هتبقى خمسة وأربعين درجة.

يبقى معيار الـ ق، مضروب في جتا الخمسة وأربعين، مضروب في معيار الـ أ ب. اللي هو المسافة اللي هتتحركها العربية، اللي هي العشرة متر. يبقى كده الشغل هيساوي معيار القوة ق، اللي هو مية وعشرين نيوتن؛ ده معيارها. مضروب في جتا الزاوية خمسة وأربعين درجة. في معيار الـ أ ب، اللي هو عدد الأمتار اللي هتتحركها العربية، هتبقى عشرة. يبقى هيساوي مية وعشرين في جتا خمسة وأربعين في العشرة. اللي هتساوي تقريبًا، باستخدام الآلة الحاسبة، هتبقى تمنمية تمنية وأربعين ونص جول.

تاني طريقة، باستخدام الضرب القياسي. وهنعمل القانون بتاع الشغل بالضرب القياسي، اللي هو القوة ضرب قياسي المسافة. الطريقة التانية هي إيجاد الصورة الإحداثية لمتجه القوة الثابتة ق، اللي هي الصورة المركبة للقوة، على شكل معيار واتجاه. المعيار مية وعشرين في الـ جتا سالب خمسة وأربعين درجة. والمركبة التانية مية وعشرين في جا السالب خمسة وأربعين درجة. ومتجه المسافة، علشان بيتحرك في اتجاه الموجب للسينات، اللي هو هنا بس؛ هيبقى بعشرة. وصفر؛ لأن ما فيش حركة في اتجاه محور الصادات.

يبقى كده الشغل هيساوي الـ ق؛ متجه الـ ق، مضروب ضرب قياسي في المتجه أ ب. اللي هو هيساوي … هنضرب القيمتين دول في بعض. يبقى مية وعشرين جتا سالب خمسة وأربعين، ومية وعشرين جا سالب خمسة وأربعين. مضروبين ضرب قياسي في متجه المسافة، اللي هو عشرة وصفر.

في الضرب القياسي بنضرب المركبة الأولى في المتجه الأول، في المركبة الأولى في المتجه التاني. وبنجمعها على المركبة التانية للمتجه الأول، في المركبة التانية للمتجه التاني. يبقى كده المركبة الأولى في المتجه الأول هنضربها في المركبة الأولى في المتجه التاني. هتبقى مية وعشرين جتا سالب خمسة وأربعين درجة، في العشرة. والقيمة بتاعة المركبة التانية في المركبة التانية هتطلع بصفر. يعني الشغل هيساوي مية وعشرين جتا سالب خمسة وأربعين درجة، مضروبة في العشرة. هتساوي تقريبًا تمنمية تمنية وأربعين ونص جول. يبقى كده الشخص هيبذل تمنمية تمنية وأربعين ونص جول تقريبًا من الشغل، لدفع السيارة.

اتكلمنا في الفيديو ده على تطبيق على الضرب القياسي للمتجهات. باستخدام مسقط المتجه، أو باستخدام الصورة الإحداثية المركبة للمتجه؛ علشان نحسب الشغل الناتج عن قوة.