فيديو الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال الفرق بين حدثين. وهذا الاحتمال يكتب على الصورة احتمال ﺃ ناقص ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ حدثان. سنبدأ هذا الفيديو باستعراض بعض الرموز والصيغ الرئيسية. في شكل فن الموضح والذي يمثل الحدثين ﺃ وﺏ، يمثل الجزء المظلل باللون الوردي احتمال ﺃ. في شكل فن الثاني، يمثل الجزء المظلل احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. هذه هي العناصر التي تقع في الحدثين ﺃ وﺏ معًا.

في هذا الفيديو، سنستخدم هذه التعريفات لمساعدتنا في فهم قاعدة الفرق للاحتمال. هذا يرمز إلى احتمال ﺃ ناقص ﺏ وهو يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكن توضيح ذلك على شكل فن كما يلي. احتمال ﺃ ناقص ﺏ هو جميع العناصر في الحدث ﺃ، لكنها ليست في الحدث ﺏ. وعليه، فإن احتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. في شكل فن، نلاحظ أن هذه هي جميع العناصر في الحدث ﺏ ناقص العناصر الموجودة أيضًا في الحدث ﺃ. سنتناول الآن مثالين نحتاج فيهما إلى استخدام هاتين الصيغتين.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان. إذا كان احتمال ﺃ يساوي ٠٫٣، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٠٣، فأوجد احتمال ﺃ ناقص ﺏ.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر قاعدة الفرق للاحتمال. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. بالتعويض بالقيمتين المعطاتين في السؤال، نجد أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي ٠٫٣ ناقص ٠٫٠٣. وهذا يساوي ٠٫٢٧. بمعلومية الحدثين ﺃ وﺏ؛ حيث احتمال ﺃ يساوي ٠٫٣، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٠٣، نجد أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي ٠٫٢٧.

يمكننا أيضًا الإجابة عن هذا السؤال باستخدام شكل فن؛ حيث تمثل الدائرتان الموضحتان الحدثين ﺃ وﺏ. نحن نعلم أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي ٠٫٣. ونعلم أيضًا أن احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي ٠٫٠٣. في هذا السؤال، علينا حساب احتمال وقوع الحدث ﺃ ناقص ﺏ، ويتضح من الشكل أن هذا يكافئ العملية الحسابية ٠٫٣ ناقص ٠٫٠٣، وهو ما يعطينا مرة أخرى الإجابة ٠٫٢٧.

في المثال التالي، علينا إعادة ترتيب الصيغة.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان. إذا كان احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي سبعين، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي سدسًا، فأوجد احتمال ﺃ.

سنبدأ حل هذا السؤال بتذكر قاعدة الفرق للاحتمال. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. نحن نعرف من المعطيات أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي سبعين، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي سدسًا. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة لدينا، يصبح لدينا سبعان يساوي احتمال ﺃ ناقص سدس. لحساب احتمال ﺃ، يمكننا إضافة سدس إلى طرفي هذه المعادلة. احتمال ﺃ يساوي سبعين زائد سدس.

لجمع أي كسرين، فإننا نبدأ بإيجاد مقام مشترك. في هذه الحالة، سنستخدم العدد ٤٢؛ لأنه المضاعف المشترك الأصغر لسبعة وستة. بضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ستة، نحصل على ١٢ على ٤٢، وبضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في سبعة، نحصل على سبعة على ٤٢. سبعان زائد سدس يساوي ١٩ على ٤٢. إذن، يمكننا استنتاج أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي ١٩ على ٤٢.

في المثال التالي، سنحل مسألة في سياق معطى.

سحبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كل واحدة منها ذات رقم مميز من واحد إلى ١٢. نفترض أن ﺃ يمثل حدث سحب عدد فردي، بينما ﺏ يمثل حدث سحب عدد أولي. أوجد احتمال ﺃ ناقص ﺏ.

نحن نعرف من المعطيات أن لدينا ١٢ كرة مرقمة من واحد إلى ١٢ في الحقيبة. احتمال سحب كل كرة من هذه الكرات عشوائيًّا متساو وقيمته واحد على ١٢. علمنا من المعطيات أن ﺃ هو حدث سحب عدد فردي. توجد ست من هذه الكرات، وأرقامها هي واحد وثلاثة وخمسة وسبعة وتسعة و١١. هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي ستة على ١٢. بقسمة البسط والمقام على ستة، نلاحظ أنه يمكن تبسيط هذا إلى نصف. عرفنا أيضًا من المعطيات أن ﺏ هو حدث سحب عدد أولي. إننا نعلم أن العدد الأولي له عاملان فقط؛ العدد واحد والعدد نفسه. الأعداد الأولية التي تقع بين واحد و١٢ متضمنة كليهما هي اثنان وثلاثة وخمسة وسبعة و١١. هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي خمسة على ١٢.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن احتمال وقوع الحدث ﺃ والحدث ﺏ؛ أي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، يساوي أربعة على ١٢. هذا لأن أربعة من هذه الأعداد؛ أي ثلاثة وخمسة وسبعة و١١، هي أعداد فردية وأولية. مطلوب منا إيجاد احتمال ﺃ ناقص ﺏ. بتذكر قاعدة الفرق للاحتمال، نحن نعلم أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. لذا، فإن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي نصفًا أو ستة على ١٢ ناقص أربعة على ١٢. هذا يساوي اثنين على ١٢، والذي يبسط بدوره إلى واحد على ستة أو سدس. إذن، احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي سدسًا.

في الواقع كان بإمكاننا إيجاد هذه الإجابة مباشرة من الشكل لدينا. احتمال ﺃ ناقص ﺏ يعني أن علينا إيجاد الأعداد الفردية غير الأولية. في هذا السؤال، هذا ينطبق على العددين واحد وتسعة. إذن، من بين ١٢ عددًا، يوجد عددان فرديان وليسا أوليين. وهذا يؤكد إجابتنا؛ وهي اثنان على ١٢ أو سدس.

قبل أن نتناول المثالين الأخيرين، علينا تذكر بعض صيغ الاحتمال الرئيسية الأخرى. تنص قاعدة الجمع للاحتمال على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكن أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة كما هو موضح. الحدث المكمل المشار إليه بالرمز ﺃ بار أو ﺃ شرطة هو مجموعة النواتج غير المتضمنة في الحدث. بما أن مجموع قيم الاحتمالات يساوي واحدًا، فإننا نعلم أن احتمال وقوع الحدث المكمل لـ ﺃ يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع ﺃ. سنستخدم الآن هاتين الصيغتين مع قاعدة الفرق للاحتمال لحل المثالين الأخيرين.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان احتمال ﺃ يساوي ٠٫٧١ واحتمال ﺏ بار يساوي ٠٫٤٧ واحتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٩٩، فأوجد احتمال ﺏ ناقص ﺃ.

قبل البدء في حل هذا السؤال، علينا أن نتذكر أن ﺏ بار يعني الحدث المكمل للحدث ﺏ. احتمال وقوع الحدث المكمل لحدث ما هو نفسه احتمال عدم وقوع الحدث. بما أن مجموع الاحتمالات يساوي واحدًا، فنحن نعلم أن احتمال ﺏ بار يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺏ. بإعادة ترتيب هذه الصيغة، نجد أن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺏ. بما أن هذا يساوي ٠٫٤٧، يمكننا طرح ذلك من واحد لحساب احتمال وقوع الحدث ﺏ. وعليه، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي ٠٫٥٣. السبب في أننا نحتاج إلى إيجاد هذه القيمة هو أنه مطلوب منا حساب احتمال ﺏ ناقص ﺃ. بتذكر قاعدة الفرق للاحتمال، نحن نعلم أن هذا يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

نحن نعرف الآن أن احتمال ﺏ يساوي ٠٫٥٣، ويمكننا حساب احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة الجمع للاحتمال، والتي تنص إحدى صورها على أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. نحن نعلم من معطيات السؤال أن احتمال ﺃ يساوي ٠٫٧١. وقد وجدنا أن احتمال ﺏ يساوي ٠٫٥٣، ونعرف أيضًا من المعطيات أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٩٩. إذن، احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٧١ زائد ٠٫٥٣ ناقص ٠٫٩٩. وهذا يساوي ٠٫٢٥. بالتعويض بهذه القيمة في قاعدة الفرق للاحتمال، نجد أن احتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي ٠٫٥٣ ناقص ٠٫٢٥. هذا يعطينا الإجابة النهائية؛ وهي ٠٫٢٨.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا في سياق معطى.

احتمال أن ينجح رامي في مادة الرياضيات هو ٠٫٣٣، واحتمال رسوبه في مادة الفيزياء هو ٠٫٣٢. إذا كان احتمال أن ينجح في إحداهما على الأقل يساوي ٠٫٧١، فأوجد احتمال نجاحه في إحدى المادتين فقط.

سنبدأ بتعريف الحدث ﺃ بأنه يمثل النجاح في مادة الرياضيات، والحدث ﺏ بأنه يمثل النجاح في مادة الفيزياء. من المهم أن نلاحظ أننا نفكر في نتيجتين محتملتين فقط؛ ما إذا كان الطالب نجح في المادة أم رسب فيها. لا يعنينا هنا التقدير أو الدرجات، فما يعنينا هو نجاحه في المادة أو رسوبه فيها. هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺃ؛ أي نجاح رامي في مادة الرياضيات، يساوي ٠٫٣٣. نحن نعرف من المعطيات احتمال رسوب رامي في مادة الفيزياء. وهو يساوي ٠٫٣٢. هذا يعرف بالحدث المكمل للحدث ﺏ، ويكتب في صورة احتمال ﺏ بار. هذا يساوي ٠٫٣٢.

نحن نعلم أن احتمال وقوع الحدث المكمل يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع الحدث. في هذه الحالة، يكون لدينا ٠٫٣٢ يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺏ. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي واحدًا ناقص ٠٫٣٢، وهو ما يساوي ٠٫٦٨. احتمال نجاح رامي في مادة الفيزياء هو ٠٫٦٨.

إننا نعرف أيضًا من المعطيات أن احتمال نجاح رامي في مادة واحدة على الأقل يساوي ٠٫٧١. هذا يماثل قولنا إن رامي سينجح إما في الرياضيات أو في الفيزياء أو في كليهما معًا. وهذا يمكن كتابته في صورة احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة الجمع للاحتمال لحساب احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. هذا يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. بالتعويض بالقيم التي نعرفها، نجد أن هذا يساوي ٠٫٣٣ زائد ٠٫٦٨ ناقص ٠٫٧١، وهو ما يساوي ٠٫٣ أو ٠٫٣٠. إذن، احتمال ﺃ تقاطع ﺏ هو ٠٫٣.

في هذه المرحلة، يمكننا المتابعة بإحدى طريقتين. يمكننا أولًا استخدام قاعدة الفرق للاحتمال. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. لدينا أيضًا احتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. إيجاد مجموع هذين الحدثين سيعطينا احتمال نجاح رامي في إحدى المادتين فقط. هيا نبدأ بحساب احتمال نجاحه في مادة الرياضيات فقط. احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي ٠٫٣٣ ناقص ٠٫٣. وهذا يساوي ٠٫٠٣. والآن، دعونا نتناول احتمال نجاح رامي في مادة الفيزياء فقط. هذا يساوي ٠٫٦٨ ناقص ٠٫٣، وهو ما يساوي ٠٫٣٨.

بإيجاد مجموع هاتين القيمتين، يمكننا استنتاج أن احتمال نجاح رامي في إحدى المادتين فقط يساوي ٠٫٤١. يمكننا توضيح هذا الحل على شكل فن. نحن نعرف أن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي ٠٫٣، واحتمال وقوع الحدث ﺃ فقط؛ أي نجاح رامي في مادة الرياضيات، يساوي ٠٫٠٣، واحتمال وقوع الحدث ﺏ فقط يساوي ٠٫٣٨. مجموع القيم الثلاثة الموجودة على شكل فن يساوي ٠٫٧١؛ أي احتمال وقوع الحدث ﺃ أو ﺏ. بما أننا نعلم أن مجموع جميع الاحتمالات يساوي واحدًا، فإن احتمال عدم وقوع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي ٠٫٢٩. هذا هو احتمال رسوب رامي في المادتين. بجمع ٠٫٠٣ و٠٫٣٨، نجد أن هذا يؤكد أن احتمال نجاح رامي في إحدى المادتين فقط هو٠٫٤١.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، استخدمنا قاعدة الفرق للاحتمال لحل مجموعة متنوعة من المسائل. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وبالمثل، فإن احتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. لقد استخدمنا أيضًا صيغ الاحتمال الأخرى، بما في ذلك قاعدة الجمع، للمساعدة في حل المسائل المتعددة الخطوات.