تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إثبات صحة المتطابقات المثلثية بالعمل على كلا طرفيها

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية إثبات صحة المتطابقة المثلثية من خلال العمل على كلا طرفَيْها من خلال مثال توضيحي، واستراتيجيات إثبات صحة المتطابقة.

٠٧:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن إثبات صحة المتطابقات المثلثية، بالعمل على كلا طرفَي المتطابقة. هدفنا من الفيديو إن إحنا نعرف نثبت صحة متطابقة مثلثية، من خلال الشغل على الطرفين بتوع المتطابقة. لمّا يبقى عندنا متطابقة مثلثية، ونلاقي كل طرف من الطرفين بتوعها معقّد. يعني مش في أبسط صورة. نقدر نشتغل على كل طرف من الطرفين بتوع المتطابقة لوحده. لحدّ ما نوصل لمقدار مشترك ما بين الطرفين. وبكده يبقى قدرنا نثبت صحة المتطابقة.

هنوضّح أكتر من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نثبت صحة المتطابقة: ظا تريبع س على، واحد زائد قا س. يساوي واحد ناقص جتا س، على جتا س. المتطابقة اللي عندنا في المثال، الطرفين بتوعها معقّدين. لكن الطرف الأيمن معقّد أكتر من الطرف الأيسر. وده لأن المقام بتاع الطرف الأيمن، بيحتوي على حدّين. وبالتالي هنبدأ بالمقدار اللي موجود في الطرف الأيمن.

والمقدار اللي موجود في الطرف الأيمن هو: ظا تربيع س على، واحد زائد قا س. بالنسبة لِـ ظا تربيع س، فمن متطابقات فيثاغورس، ظا تربيع س بتساوي قا تربيع س ناقص واحد. وبالتالي المقدار هيساوي قا تربيع س ناقص واحد، على واحد زائد قا س. بالنسبة للبسط بتاع المقدار، فهو في صورة فرق بين مربعين، فهنحلله. فلمّا هنحلله، هنلاقي المقدار بيساوي قا س ناقص واحد، في قا س زائد واحد؛ على واحد زائد قا س.

بعد كده هنكتب المقدار اللي عندنا في أبسط صورة. هنلاقي إن فيه عامل مشترك ما بين البسط والمقام. واللي هو قا س زائد واحد. فهنقسم البسط والمقام على قا س زائد واحد. فهنلاقي المقدار في أبسط صورة، بيساوي قا س ناقص واحد. لحدّ هنا مش واضح لينا، إزّاي نقدر نحوّل المقدار قا س ناقص واحد، للمقدار اللي موجود في الطرف الأيسر. واللي هو واحد ناقص جتا س، على جتا س. وبالتالي بعد كده هنشتغل على الطرف الأيسر، بحيث إننا نحوّله للمقدار قا س ناقص واحد. فهنكمل المثال، بس في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة.

كنا حوّلنا المقدار اللي موجود في الطرف الأيمن من المتطابقة. واللي هو ظا تربيع س على ، واحد زائد قا س. للمقدار قا س ناقص واحد. بعد كده هنبدأ نشتغل على المقدار، اللي موجود في الطرف الأيسر. والمقدار هو واحد ناقص جتا س، على جتا س. أول خطوة هنكتب الكسر اللي عندنا، في صورة فرق بين كسرين. فالمقدار هيساوي واحد على جتا س، ناقص جتا س على جتا س.

ومن متطابقات المقلوب، واحد على جتا س، بيساوي قا س. أمّا جتا س على جتا س، فهتساوي واحد. وبالتالي المقدار هيساوي قا س ناقص واحد. كده إحنا وصلنا إن المقدار اللي موجود في الطرف الأيسر من المتطابقة، هيساوي قا س ناقص واحد. وهو نفس المقدار اللي بيساويه الطرف الأيمن. وبعد كده علشان نكمّل الإثبات، فإحنا هنشتغل بطريقة عكسية. بحيث إن إحنا نجمّع الجزئين بتوع الإثبات مع بعض. فهنكمّل الإثبات بس في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة.

لمّا هنكمّل الإثبات، بالنسبة للمقدار اللي موجود في الطرف الأيمن، فهو ظا تربيع س، على واحد زائد قا س. واستخدمنا بعد كده متطابقات فيثاغورس. فكان ظا تربيع س بتساوي قا تربيع س ناقص واحد. وبالتالي المقدار اللي موجود في الطرف الأيمن بقى بيساوي قا تربيع س ناقص واحد، على واحد زائد قا س. بعد كده بالنسبة للبسط بتاع الكسر، لقيناه في صورة فرق بين مربعين، فحللناه كفرق بين مربعين. وبالتالي بقى المقدار بيساوي قا س ناقص واحد، في قا س زائد واحد؛ على واحد زائد قا س.

بعد كده قسمنا البسط والمقام عَ العامل المشترك اللي بينهم. واللي هو قا س زائد واحد. فلقينا إن الطرف الأيمن بيساوي المقدار قا س ناقص واحد. بعد كده لمّا هنعكس الخطوات اللي إحنا عملناها، علشان نثبت إن الطرف الأيسر بيساوي المقدار قا س ناقص واحد. فآخر خطوة استخدامنا فيها متطابقات المقلوب. وكان واحد على جتا س بيساوي قا س. وكمان كان الواحد بيساوي جتا س على جتا س. وده معناه إن ظا تربيع س على، واحد زائد قا س، بيساوي واحد على جتا س، ناقص جتا س على جتا س.

وبالنسبة للمقدار واحد على جتا س، ناقص جتا س على جتا س، فهيساوى واحد ناقص جتا س، على جتا س. وبالنسبة للمقدار واحد ناقص جتا س على جتا س، فهو المقدار اللي موجود في الطرف الأيسر. معنى كده إن المقدار اللي موجود في الطرف الأيمن، واللي هو ظا تربيع س على، واحد زائد قا س. بيساوي المقدار اللي موجود في الطرف الأيسر، واللي هو واحد ناقص جتا س، على جتا س. معنى كده إن المتطابقة اللي عندنا صحيحة.

بعد كده هنشوف استراتيجيات إثبات صحة المتطابقات المثلثية، بس في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة. أول حاجة في استراتيجيات إثبات صحة المتطابقات المثلثية، هي إن إحنا بنبدأ بالطرف المعقّد أكتر من المتطابقة اللي عندنا. وبنحوّله للطرف الأبسط اللي موجود في الطرف التاني من المتطابقة. يعني بنبدأ بطرف من الطرفين بتوع المتطابقة، وبيكون هدفنا إننا نوصل للطرف التاني. كمان بنستخدم المتطابقات المثلثية الأساسية. زيّ مثلًا متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية، ومتطابقات فيثاغورس … وغيرها من المتطابقات المثلثية الأساسية.

كمان بنستخدم العمليات الجبرية المختلفة. زيّ دمج الكسور، وإعادة كتابة الكسر في صورة مجموع أو الفرق بين كسرين، وكمان ضرب المقادير، وتحليلها. ولو عندنا كسر مقامه على الصورة واحد زائد أو ناقص ك، أو ك زائد أو ناقص واحد. بحيث إن ك دي بتمثّل دالة مثلثية. فإحنا بنحوّلها لحدّ وحيد، باستخدام المرافق ومتطابقة فيثاغورس. ولمّا يكون الطرفين بتوع المتطابقة معقدين، فإحنا بنشتغل على الطرفين بتوع المتطابقة. علشان نوصل لمقدار مشترك ما بينهم، نثبت بيه صحة المتطابقة. أمّا لو ما فيش استراتيجية واضحة، فإحنا هنحاول كتابة كل طرف من الطرفين بتوع المتطابقة، بدلالة كلًّا من دالتَي الجيب، وجيب التمام بس.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إزّاي نثبت صحة المتطابقة المثلثية، بالعمل على كلا طرفيها. وعرفنا لمّا بيكون عندنا متطابقة، الطرفين بتوعها معقدين. فإحنا بنشتغل على الطرفين بتوعها، علشان نوصل لمقدار مشترك ما بينهم، نثبت بيه صحة المتطابقة. وكمان عرفنا استراتيجيات إثبات صحة المتطابقات المثلثية.