فيديو السؤال: تحديد العلاقة بين متجهين معطيين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ﺃ والمتجه ﺏ يحققان ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي المتجه الصفري، وﺃ لا يساوي المتجه الصفري، وﺏ لا يساوي المتجه الصفري، فما علاقة كل من المتجهين بالآخر؟ (أ) المتجهان متوازيان، (ب) المتجهان متعامدان.

في هذا المثال، نعلم أن حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين ﺃ وﺏ يساوي المتجه الصفري. وهذا متجه معياره يساوي صفرًا. لذا، فإن أي اتجاه يرتبط به لا يكون له معنى. إذن، يمكننا بدلًا من ذلك كتابة أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي صفرًا. وهذا ما نعرفه من رأس المسألة، والذي يمكن أن يذكرنا بالعلاقة الرياضية العامة لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. إذا كان لدينا المتجهان ﻉ وﻕ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي معيار المتجه ﻉ في معيار المتجه ﻕ في جيب الزاوية المحصورة بين المتجهين. ونسمي هذه الزاوية 𝜃. وبما أن الضرب الاتجاهي لمتجهين هو في حد ذاته متجه، فإن لهذا الناتج اتجاهًا يرتبط به.

لنفترض أن ﻱ هات، هو متجه الوحدة الذي يكون في الاتجاه العمودي على كل من المتجهين ﻉ وﻕ. وبما أنه في هذا المثال، لدينا متجهان حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفرًا، فيمكننا النظر إلى هذه المعادلة العامة والتفكير في الحالات التي يمكن أن يتحقق فيها ذلك. إحدى الحالات التي يمكن أن يساوي فيها حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻉ وﻕ صفرًا هي عندما يكون معيار ﻉ يساوي صفرًا، أو عندما يكون معيار ﻕ يساوي صفرًا، أو إذا كان جا 𝜃 يساوي صفرًا. وفي هذا المثال، نعلم من المعطيات أن معيار كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ لا يساوي صفرًا. أي إنهما لا يساويان المتجه الصفري. وهذا يعني أن الحالة الوحيدة التي يكون فيها حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي صفرًا هي إذا كان جيب الزاوية المحصورة بينهما يساوي صفرًا.

إذا تذكرنا شكل دالة الجيب خلال دورة كاملة من صفر درجة إلى ٣٦٠ درجة، فسنجد أن جا 𝜃 يساوي صفرًا عندما يساوي 𝜃 نفسه صفرًا، أو عندما يساوي ١٨٠ درجة أو عندما يساوي ٣٦٠ درجة، وذلك يماثل صفر درجة بدءًا من دورة واحدة أخرى. إذن، عند الفصل بين المتجهين ﺃ وﺏ سواء بصفر درجة أو ١٨٠ درجة، فإن قيمة جيب الزاوية بينهما ستساوي صفرًا، وحاصل ضربهما الاتجاهي سيساوي صفرًا. عند الفصل بين ﺃ وﺏ بصفر درجة، فسيبدوان كما هو موضح. أي إنهما سيصبحان متجهين متوازيين.

في حين أن الفصل بزاوية ١٨٠ درجة سيجعلهما يبدوان كما هو موضح. أي إن هذين المتجهين يكونان متوازيين في اتجاهين متضادين. وفي كلتا الحالتين، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي صفرًا. ولكننا نلاحظ أن أحد الخيارين المعطيين في السؤال هو «متجهان متوازيان» وليس «متجهان متوازيان في اتجاهين متضادين». لذا، بما أن هذه إحدى الحالتين اللتين يمكن فيهما الربط بين المتجهين ﺃ وﺏ بحيث يساوي حاصل ضربهما الاتجاهي صفرًا فسنختار أن هذين المتجهين متوازيان.