نسخة الفيديو النصية
الميل عند النقطة ﺱ، ﺹ على التمثيل البياني لدالة هو خمسة ﺱ ناقص اثنين على ﺱ. أوجد معادلة المنحنى إذا كان يمر بالنقطة ﻫ، خمسة ﻫ زائد ثلاثة.
للإجابة عن هذا السؤال، من المفيد أولًا ملاحظة أن لدينا تعبيرًا لميل الدالة. حسنًا، نحن نعلم أنه يمكن إيجاد الميل عند أي نقطة باشتقاق تعبير الدالة الأصلية بالنسبة إلى ﺱ. فإذا كان لدينا المنحنى ﺹ يساوي دالة ما في ﺱ، فإن المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي الميل عند نقطة معينة. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين على ﺱ.
تخبرنا النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن الاشتقاق والتكامل عمليتان عكسيتان. وعليه، إذا أوجدنا تكامل ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فسنحصل على معادلة لـ ﺹ. في الواقع، ستكون هذه معادلة عامة. وسنحتاج إلى الاستعانة بحقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة ﻫ، خمسة ﻫ زائد ثلاثة لإيجاد معادلة خاصة. سنبدأ إذن بحساب تكامل ﺩﺹ على ﺩﺱ؛ وهو ما يساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن، قبل إجراء أي تكامل، علينا تبسيط الدالة التي سيتم تكاملها. سنقوم بالتبسيط بقسمة كل حد في البسط على ﺱ. وبذلك، نجد أن ﺹ يساوي التكامل غير المحدد لخمسة ناقص اثنين على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
والآن، دعونا نوجد تكامل كل حد على حدة. تكامل خمسة هو خمسة ﺱ. وتكامل واحد على ﺱ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. إذن، تكامل سالب اثنين على ﺱ يساوي سالب اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. نحن نتعامل مع تكامل غير محدد، لذا نحتاج إلى ثابت التكامل. وبهذا، نجد أن ﺹ يساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺙ.
لكن بالطبع لإيجاد معادلة المنحنى، علينا إيجاد قيمة ﺙ. نحن نعلم أن المنحنى يمر بالنقطة ﻫ، خمسة ﻫ زائد ثلاثة. بعبارة أخرى، عند ﺱ يساوي ﻫ، فإن ﺹ يساوي خمسة ﻫ زائد ثلاثة. سنعوض الآن بهاتين القيمتين. وسنحصل على: خمسة ﻫ زائد ثلاثة يساوي خمسة ﻫ ناقص اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻫ زائد ﺙ. نحن نعلم أن ﻫ عدد موجب، لذا لا نحتاج إلى علامة القيمة المطلقة. كما نعلم أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ يساوي واحدًا. إذن، سالب اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ يساوي سالب اثنين. وبهذا، تصبح المعادلة لدينا: خمسة ﻫ زائد ثلاثة يساوي خمسة ﻫ ناقص اثنين زائد ﺙ. يمكننا طرح خمسة ﻫ من كلا الطرفين. ثم نضيف اثنين. وسنجد أن ﺙ يساوي خمسة.
بذلك نكون قد أوجدنا معادلة المنحنى بمعلومية ميله ونقطة يمر بها. والمعادلة هي: ﺹ يساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد خمسة.
