فيديو الدرس: تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال الخطية بيانيًّا.

تخيل أننا استعنا ببستاني لأداء مهمة ما، لنفترض مثلًا أنها تقليم الشجيرات. نعلم أن البستاني يتقاضى ١٠ جنيهات مصرية رسوم استدعاء، وخمسة جنيهات أخرى لكل ساعة نظير خدماته. إذن، إجمالي المبلغ الذي سيحصل عليه البستاني هو دالة في عدد الساعات التي سيعمل خلالها. وبدون معرفة العدد المحدد من الساعات التي من المحتمل أن يستغرقها في العمل، يمكننا تكوين معادلة خطية نستخدمها للتنبؤ بالتكلفة الكلية لأي زمن. باستخدام ﺱ لتمثيل العدد الكلي للساعات المستغرقة في العمل، وﺹ لتمثيل التكلفة الكلية بالجنيه، تكون المعادلة الخطية هي ﺹ يساوي ١٠ زائد خمسة ﺱ. موضح هنا التمثيل البياني لهذه المعادلة. وبناء على ذلك، دعونا نصغ بعض المصطلحات التي استخدمناها حتى الآن.

عندما تحدد علاقة ما قيمة مخرجة واحدة فقط لكل قيمة مدخلة معطاة، فإنها تسمى دالة. وإذا كان التمثيل البياني لهذه الدالة خطًّا مستقيمًا غير رأسي، كما في المثال السابق، فإننا نقول إن هذه الدالة خطية. في حالة المبلغ الذي يحصل عليه البستاني، يمكن تمثيل الدالة الخطية على الصورة ﺩ ﺱ يساوي ١٠ زائد خمسة ﺱ‏ ‏ﺩﺱ هي القيمة المخرجة، حيث ﺱ هو المتغير؛ إنه القيمة المدخلة للدالة. تعرف مجموعة القيم المدخلة باسم «مجال الدالة»، بينما تعرف مجموعة القيم المخرجة الممكنة باسم «المدى». وبالنسبة إلى الدالة الخطية، يكون كل من المجال والمدى مجموعة من الأعداد الحقيقية.

بما أن ﺱ هو القيمة المدخلة للدالة، يمكن إيجاد قيمة الدالة لعدد معين بالتعويض بهذا العدد عن المتغير ﺱ. على سبيل المثال، يمكن إيجاد التكلفة الكلية للبستاني إذا عمل لمدة ثماني ساعات بالتعويض بـ ﺱ يساوي ثمانية. القيمة المخرجة هي قيمة ﺩ لثمانية. وتساوي ١٠ زائد خمسة في ثمانية، ما يساوي ٥٠. عندما نفعل ذلك، نكون زوجًا مرتبًا، ويكون بوجه عام على الصورة ﺱ، ﺩﺱ. هذا الزوج المرتب هو نقطة تقع على التمثيل البياني للدالة. إذن، بحساب قيمة زوجين مرتبين أو أكثر، يمكننا تمثيل دالة خطية بيانيًّا. دعونا نوضح ذلك في المثال الأول.

لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١. أكمل الجدول. حدد النقاط الثلاث الواقعة على الخط المستقيم ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١.

تذكر أنه إذا كان لدينا دالة، فيمكن إيجاد قيمة هذه الدالة لعدد معين بالتعويض بهذا العدد عن المتغير. وهو هنا ﺱ. نلاحظ من الجدول أننا سنوجد قيمة الدالة عند ﺱ يساوي سالب واحد، وعند ﺱ يساوي صفرًا، وعند ﺱ يساوي واحدًا. لنبدأ إذن بجعل ﺱ يساوي سالب واحد. نعوض بسالب واحد في الدالة. وبالتعويض عن ﺱ بسالب واحد، نجد أن قيمة الدالة عند تلك النقطة هي ﺩ لسالب واحد يساوي ثمانية في سالب واحد ناقص ١١. وهو ما يساوي سالب ثمانية ناقص ١١، أي سالب ١٩. بذلك نكون قد ملأنا العمود الفارغ الأول في الجدول. عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺹ، الذي يساوي ﺩﺱ، يساوي سالب ١٩.

ننتقل الآن إلى ﺱ يساوي صفرًا. عند ﺱ يساوي صفرًا، تكون قيمة الدالة ﺩ لصفر هي ثمانية في صفر ناقص ١١، أو صفر ناقص ١١، وهو ما يساوي سالب ١١. ومن ثم، فإن ﺩ لصفر يساوي سالب ١١، وهو ما يسمح لنا بإكمال العمود الفارغ الثاني في الجدول. لإكمال العمود الفارغ الثالث، سنعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا. هذا يعطينا ﺩ لواحد، أي ثمانية في واحد ناقص ١١، أو ثمانية ناقص ١١، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. بذلك نكون قد أكملنا الجدول. القيم الثلاث هي سالب ١٩ وسالب ١١ وسالب ثلاثة.

من الجدير بالملاحظة أن هناك نمطًا للفرق بين كل قيمتين من قيم الدالة. فتزيد قيمة الدالة بمقدار ثمانية في كل مرة. وهذه ليست مصادفة. فعندما يكون لدينا قيم أعداد صحيحة متتالية لـ ﺱ، نلاحظ أن قيم الدالة المناظرة لها يجب أن تزيد بمقدار ثابت.

مطلوب منا أيضًا تحديد النقاط الثلاث الواقعة على الخط المستقيم ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١ في التمثيل البياني. عندما أكملنا جدول القيم لدينا، كونا أزواجًا مرتبة، وهي بالأساس إحداثيات على التمثيل البياني لهذه الدالة. الزوج المرتب الأول هو سالب واحد، سالب ١٩. والزوج المرتب الثاني هو صفر، سالب ١١. ومجموعة القيم الثالثة، أي الزوج المرتب الثالث، هو واحد، سالب ثلاثة.

إذا حددنا هذه الأزواج على التمثيل البياني، فسنعرف أي النقاط المعطاة هنا تتطابق معها. نلاحظ من التمثيل البياني أن سالب واحد، سالب ١٩ يتطابق مع النقطة التي تسمى ﻁ. وصفر، سالب ١١ يتطابق مع النقطة ﺡ. وواحد، سالب ثلاثة يتطابق مع النقطة ﺯ. ولاستكمال الشرح، يمكننا رسم خط مستقيم يمر بهذه النقاط على الرغم من أن ذلك لم يطلب منا صراحة في هذا المثال. ومن ثم، يصبح لدينا الخط المستقيم الذي يمثل الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١.

بذلك نكون قد انتهينا من الحل. إذن، القيم التي تكمل الجدول هي سالب ١٩ وسالب ١١ وسالب ثلاثة. والنقاط الثلاث الواقعة على هذا الخط المستقيم هي ﻁ وﺡ وﺯ، على الترتيب.

في هذا المثال، أوضحنا كيفية إيجاد القيم المخرجة لدالة بمعلومية قاعدتها، وهو ما مكننا من تمثيلها بيانيًّا. في المثال التالي، سنستخدم قيمًا معلومة لتحديد التمثيل البياني لعلاقة خطية، ثم سنستخدم التمثيل البياني لتحديد أي قيم مجهولة.

يمثل الجدول الآتي علاقة خطية. أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل هذا الخط المستقيم؟ أوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ. اكتب معادلة الخط المستقيم على الصورة: ﺩﺱ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ.

تذكر أنه عند تكوين جدول قيم لدالة خطية، فإننا بالأساس نكون مجموعة من الأزواج المرتبة. وكل زوج مرتب هو نقطة على الخط المستقيم الذي يمثل الدالة بيانيًّا. في الواقع، لدينا هنا زوجان مرتبان كاملان. يحتوي الزوج الأول على قيمة لـ ﺱ تساوي صفرًا، وقيمة لـ ﺹ تساوي واحدًا. إذن، الزوج المرتب هو صفر، واحد. ويحتوي الزوج الثاني على قيمة لـ ﺱ تساوي واحدًا وقيمة لـ ﺹ تساوي ثلاثة، إذن الزوج المرتب هو واحد، ثلاثة. ورغم أن كتابة أكثر من زوجين مرتبين تعد تدريبًا جيدًا، فإن وجود زوجين مرتبين يكفي لتحديد التمثيل البياني للعلاقة الخطية أو رسمه.

دعونا نبدأ برسم الإحداثي صفر، واحد في كل تمثيل بياني. عندما نفعل ذلك، نجد أن لدينا تمثيلين بيانيين يحققان هذا الإحداثي. وهما التمثيلان البيانيان (أ) و(هـ). ولكي نتمكن من تحديد أي هذين التمثيلين البيانيين يمثل الخط المستقيم، سنرسم الإحداثي واحد، ثلاثة. عند القيام بذلك، نجد أنه يمكننا استبعاد التمثيل البياني (أ) أيضًا. بذلك يكون التمثيل البياني (هـ) هو الذي يمثل العلاقة الخطية لدينا. يمكننا الآن استخدام هذا التمثيل البياني لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ.

نلاحظ من الجدول أن ﺃ هي قيمة ﺹ المناظرة لقيمة ﺱ التي تساوي اثنين. يمكننا إذن رسم خط رأسي لأعلى من ﺱ يساوي اثنين حتى نصل إلى الخط المستقيم الذي يمثل الدالة بيانيًّا، ثم نرسم خطًّا أفقيًّا حتى نصل إلى المحور ﺹ. عندما نفعل ذلك، نجد أن القيمة المخرجة للقيمة المدخلة اثنين هي خمسة، إذن ﺃ يساوي خمسة. دعونا نكرر هذه العملية لمساعدتنا في إيجاد قيمة ﺏ. هذه المرة، الإحداثي ﺱ هو ثلاثة. لنرسم خطًّا رأسيًّا لأعلى من ثلاثة حتى نصل إلى الخط المستقيم الذي يمثل العلاقة، ثم نرسم خطًّا أفقيًّا حتى نصل إلى المحور ﺹ. لا توجد قيمة مكتوبة هنا، لكن مقياس التمثيل البياني بسيط إلى حد ما. كل مربع كبير يمثل واحدًا؛ إذن ﺏ يجب أن يساوي سبعة. وعليه، فإن قيمتي ﺃ وﺏ هما خمسة وسبعة، على الترتيب.

يطلب منا الجزء الأخير من هذا السؤال كتابة معادلة الخط المستقيم. ويطلبها على الصورة ﺩﺱ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. بعبارة أخرى، علينا ربط كل قيمة من قيم ﺱ بقيمة من قيم ﺹ. نختار زوجًا مناسبًا من القيم، وهو عند ﺱ يساوي صفرًا. وعندما يكون ﺱ يساوي صفرًا، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ﻡﺱ زائد ﺟ يساوي ﺩ لصفر، وهو ما يساوي ﻡ في صفر زائد ﺟ. ﻡ في صفر يساوي صفرًا. إذن، نجد أن ﺩ لصفر يساوي ﺟ. لكن ﺩ لصفر هي القيمة المخرجة، وهي هنا تساوي القيمة واحدًا. يمكننا إذن القول إن ﺟ لا بد أن يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن معادلة الخط المستقيم ستكون على الصورة ﺩﺱ يساوي ﻡﺱ زائد واحد.

والآن بعد أن أصبحت لدينا قيمة ﺟ، دعونا نستخدم الزوج المرتب الثاني لإيجاد قيمة ﻡ. بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في المعادلة ﺩﺱ يساوي ﻡﺱ زائد واحد، نحصل على ﺩ لواحد يساوي ﻡ في واحد زائد واحد، وهو ما يساوي ﻡ زائد واحد. وبالطبع، ﺩ لواحد هي القيمة المخرجة للعلاقة عندما تكون القيمة المدخلة واحدًا. ونلاحظ من الجدول أنها تساوي ثلاثة. لذا يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ثلاثة يساوي ﻡ زائد واحد. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة بطرح واحد من كلا الطرفين. وهذا يعني أن ﻡ يساوي اثنين. إذن، معادلة الخط المستقيم هي ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد.

والآن بعد أن عرفنا قيمتي ﺃ وﺏ، يمكننا التحقق من هذه النتيجة بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين والتأكد أننا نحصل على خمسة، أو التعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، والتأكد أننا نحصل على سبعة. وفي كلتا الحالتين، نحصل على القيمة الصحيحة، وهو ما يؤكد أن معادلة الخط المستقيم هي ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد.

في المثالين السابقين، تناولنا علاقة خطية بسيطة للغاية وتمثيلها البياني المناظر وجدول قيم. نلاحظ في المثال الأول أنه عندما تكون قيم ﺱ متتالية، تزيد قيم ﺹ أو القيم المخرجة المناظرة لها، أو تقل أحيانًا بالمقدار نفسه في كل مرة. وفي الواقع، هذا المقدار يمثل معامل ﺱ. في هذا المثال، كان معامل ﺱ هو اثنين، وزادت قيمة ﺹ بمقدار اثنين في كل مرة. وفي المثال السابق، كان معامل ﺱ هو ثمانية، وزادت قيمة ﺹ أو قيمة ﺩﺱ بمقدار ثمانية في كل مرة. على الرغم من أن شرح هذا الجزء بمزيد من التفصيل خارج نطاق هذا الدرس، فإنه يتيح لنا طريقة مفيدة في التحقق من النتائج.

دعونا نتناول مثالًا آخر، لكن هذه المرة سيكون معامل ﺱ سالبًا. وسيؤدي ذلك إلى تناقص القيم المخرجة المناظرة، واتجاه التمثيل البياني للدالة نحو الأسفل.

لدينا الدالة الخطية ﺩﺱ تساوي خمسة ناقص اثنين ﺱ. يمكننا رسم خط مستقيم لتمثيل هذه الدالة. أكمل الجدول لإيجاد إحداثيات النقاط التي تقع على الخط المستقيم. أي من الآتي‎ يعد التمثيل البياني للدالة؟

يوجد جزء ثالث وأخير في هذا السؤال سنتناوله بعد قليل. لدينا الدالة الخطية ﺩﺱ تساوي خمسة ناقص اثنين ﺱ. وبذلك، نعرف أن التمثيل البياني لهذه الدالة سيكون خطًّا مستقيمًا غير رأسي. سنوجد مجموعة من الأزواج المرتبة التي تحقق هذه الدالة الخطية بالتعويض عن ﺱ بسالب اثنين وسالب واحد وصفر وواحد واثنين في التعبير خمسة ناقص اثنين ﺱ. سنبدأ بجعل ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، نحسب ﺩ لسالب اثنين؛ ما يساوي خمسة ناقص اثنين في سالب اثنين. هذا يساوي خمسة زائد أربعة، وهو ما يساوي تسعة. إذن، القيمة الأولى في الجدول هي تسعة.

لإيجاد الزوج المرتب التالي، أي القيمة التالية في الجدول، سنحسب ﺩ لسالب واحد بالتعويض بسالب واحد في التعبير خمسة ناقص اثنين ﺱ. هذا يعطينا خمسة ناقص اثنين في سالب واحد، أي خمسة زائد اثنين، وهو ما يساوي سبعة. دعونا نكرر هذه العملية مع ﺱ يساوي صفرًا. عندما نفعل ذلك، نحصل على خمسة ناقص اثنين في صفر. هذا يساوي خمسة ناقص صفر، وهو ما يساوي خمسة. يمكننا المتابعة بهذه الطريقة لإيجاد قيمة ﺩ لواحد وﺩ لاثنين. لكن هذه دالة خطية؛ ومن ثم علينا تحديد نمط لقيم ﺩﺱ إذا كانت قيم ﺱ نفسها متتالية.

حسنًا، نلاحظ أن قيم ﺱ تزيد بالفعل بمقدار واحد في كل مرة. ونلاحظ أن قيم ﺩﺱ تقل بمقدار اثنين في كل مرة. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة ﺩ لواحد بطرح اثنين من خمسة لنحصل على ثلاثة. وبالمثل، يمكننا طرح اثنين من ثلاثة لإيجاد ﺩ لاثنين؛ وهو ما يساوي واحدًا. إذن، تكون القيم في الجدول كما هو موضح.

أصبح لدينا الآن معلومات كافية لتحديد التمثيل البياني الصحيح للدالة. الأزواج المرتبة التي تقع على الخط المستقيم الذي يمثل الدالة بيانيًّا هي سالب اثنين، تسعة، وسالب واحد، سبعة، وصفر، خمسة، وهكذا. هذه الأزواج مأخوذة ببساطة من الجدول. وبذلك، نحدد كل قيمة من هذه القيم على كل زوج من المحاور. ونلاحظ أن زوجًا واحدًا فقط من المحاور يحتوي على التمثيل البياني الصحيح، وهو (د). إذن (د) هو التمثيل البياني لـ ﺩﺱ يساوي خمسة ناقص اثنين ﺱ.

نفرغ الآن بعض المساحة ونجيب عن الجزء الثالث من هذا السؤال.

أي النقاط لا تقع على الخط المستقيم؟ هل هي ستة، سالب ستة؛ أم سالب ثلاثة، ١١؛ أم سالب أربعة، ١٣؛ أم ثلاثة، سالب واحد؛ أم أربعة، سالب ثلاثة؟

لدينا هنا طريقتان. يمكننا ببساطة إضافة كل من هذه النقاط إلى التمثيل البياني للدالة وتحديد أي منها لا يقع على الخط المستقيم. وبدلًا من ذلك، يمكننا التعويض بقيمة ﺱ في الدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ناقص اثنين ﺱ لنعرف ما إذا كانت القيمة المخرجة الناتجة هي قيمة ﺹ نفسها في الزوج المرتب. بعبارة أخرى، بالنسبة للزوج المرتب الأول، نعوض بـ ﺱ يساوي ستة. هذا يعطينا خمسة ناقص اثنين في ستة، أو خمسة ناقص ١٢، وهو ما يساوي سالب سبعة. وفي الواقع، عندما يكون ﺱ يساوي ستة، فإن ﺹ يساوي سالب سبعة وليس سالب ستة. لذا، الإجابة هي (أ).

استكمالًا للشرح، سنتحقق من النقاط المتبقية. ‏ﺩ لسالب ثلاثة يساوي ١١ كما هو مطلوب، وﺩ لسالب أربعة يساوي ١٣. يمكننا رسم النقطة (د) على التمثيل البياني مباشرة، ونلاحظ أنها تقع بالفعل على هذا الخط المستقيم، وكذلك النقطة (هـ). تقع النقطة أربعة، سالب ثلاثة على الخط المستقيم. إذن، النقطة التي لا تقع على الخط المستقيم هي ستة، سالب ستة.

قبل أن نختتم هذا الدرس، سنتناول حالة خاصة من الدالة الخطية. لقد ذكرنا أن التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم غير رأسي. والحالة الخاصة التي تكون في الواقع دالة ثابتة، تكون على الصورة ﺹ يساوي ﺃ، أو بالطبع، في صيغة دالة ﺩﺱ تساوي ﺃ، حيث ﺃ عدد حقيقي. وفي هذه الحالة، تمثل الدالة بيانيًّا بخط مستقيم أفقي.

لنفترض، على سبيل المثال، أنه مطلوب منا رسم التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة. نلاحظ أن القيمة المخرجة لهذه الدالة لا تعتمد على قيمة ﺱ. فبصرف النظر عن قيمة ﺱ التي نعوض بها، سنحصل على القيمة المخرجة ثلاثة دائمًا. ومن ثم، نرسم خطا الإحداثي ﺹ له يساوي ثلاثة دائمًا. فهو خط أفقي يقطع المحور ﺹ عند ثلاثة. وبالمثل، يكون التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي سالب واحد أو ﺩﺱ يساوي سالب واحد كما هو موضح. فهو خط أفقي يقطع المحور ﺹ عند سالب واحد.

سنراجع الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الدرس، عرفنا أن التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم غير رأسي. وعند تمثيل الدالة بيانيًّا، تكون إحداثيات كل نقطة على التمثيل البياني على الصورة ﺱ،ﺩﺱ، أي القيمة المدخلة والقيمة المخرجة. عرفنا أيضًا حالة خاصة تكون فيها الدالة تساوي ثابتًا حقيقيًّا ﺃ، أو ﺩﺱ يساوي ﺃ أو ﺹ يساوي ﺃ. وفي هذه الحالة، يكون لدينا ببساطة خط أفقي تكون فيه جميع الإحداثيات ﺹ تساوي ﺃ.