فيديو: إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهات

‪𝐴𝐵𝐶𝐷‬‏ مربع طول ضلعه ‪47‬‏. أوجد ‪𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶‬‏.

٠٧:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

‏𝐴𝐵𝐶𝐷 مربع طول ضلعه 47. أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐴𝐵 و𝐴𝐶.

لنرسم هذا المربع. ها هو المربع. وبما أن هذا المربع اسمه 𝐴𝐵𝐶𝐷، فرءوسه لا بد وأنها 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷. إضافة إلى ذلك، فإن الرأس 𝐴 لا بد وأن يجاور الرأس 𝐵 الذي يجاور الرأس 𝐶 الذي يجاور الرأس 𝐷. إذن، لا يمكننا، على سبيل المثال، التبديل بين الحرفين الدالين على الرأسين 𝐵 و𝐶 لأنه بذلك لن يكون الرأس 𝐵 هو الرأس التالي مباشرة للرأس 𝐴. وبدلًا من ذلك، سيكون لدينا المربع 𝐴𝐶𝐵𝐷. وعلينا أيضًا كتابة أطوال الأضلاع على الشكل. مهمتنا هي إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐴𝐵 و𝐴𝐶.

ها هو المتجه 𝐴𝐵 على امتداد أحد أضلاع المربع. وها هو المتجه 𝐴𝐶 على امتداد أحد القطرين. السؤال هو، ما حاصل الضرب القياسي لهما؟ ثمة طريقتان لحل هذه المسألة. يمكننا إما استخدام التعريف الهندسي لحاصل الضرب القياسي، الذي يشمل الزاوية المحصورة بين المتجهين. أو يمكننا وضع نظام إحداثي واستخدام الصيغة بدلالة مركبات المتجهين. لنستخدم أولًا التعريف الهندسي لحاصل الضرب القياسي، وهو ينص على أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مقداريهما في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. نطبق هذا التعريف على الشكل لدينا. نعلم أن مقدار المتجه 𝐴𝐵 ما هو إلا طول الضلع 𝐴𝐵، والذي نعلم من المسألة أنه 47. مقدار 𝐴𝐶 أقل وضوحًا. ولكن 𝐴𝐵𝐶𝐷 مربع. ومن ثم، فإن المثلث 𝐴𝐵𝐶 قائم الزاوية حيث القطر 𝐴𝐶 هو الوتر. وبذلك، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لنجد أن طول القطر 𝐴𝐶، وبالتالي مقدار المتجه 𝐴𝐶، يساوي الجذر التربيعي لـ 47 تربيع زائد 47 تربيع.

ولا يبقى الآن سوى إيجاد قياس الزاوية 𝜃، وهي الزاوية المحصورة بين المتجهين. نكتب هذا الرمز على الشكل ويمكننا بسهولة شديدة ملاحظة أن قيمة 𝜃 هي 45 درجة. إذا لم تكن مقتنعًا، فيمكنك التأكد من أن القطر 𝐴𝐶 ينصف الزاوية القائمة عند 𝐴، أو يمكنك النظر إلى الزوايا في المثلث 𝐴𝐵𝐶، الذي هو مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. على كل حال، نستخدم قيمة 𝜃 هذه. ولدينا الآن المقدار الذي يمكننا بسهولة كتابته على الآلة الحاسبة إذا أردنا. ولكن من الجيد حساب ذلك يدويًا دون استخدام الآلة الحاسبة.

العامل 47، نتركه كما هو. داخل الجذر التربيعي، لدينا اثنان في 47 تربيع. ومن ثم، يمكننا كتابة العامل 47 خارج الجذر التربيعي فنحصل بذلك على 47 جذر اثنين. وبما أن 45 درجة زاوية ذات حالة خاصة، فعلينا أن نتذكر قيمة cos 45 درجة. إنها جذر اثنين على اثنين أو، بما يكافئه، واحد على الجذر التربيعي لاثنين. نحذف الجذر التربيعي لاثنين مع واحد على الجذر التربيعي لاثنين. وبالتالي، يتبقى لدينا 47 في 47، وهو ما يساوي 2209.

الآن وقد أوجدنا 𝐴𝐵 ضرب قياسي 𝐴𝐶 هندسيًا، دعونا نر نهجًا آخر يتضمن استخدام نظام إحداثي. يمكننا استخدام نظام إحداثي أو، بتعبير أدق من حيث المصطلح الرياضي، تحديد أساس للمتجهين باختيار اتجاهين لمتجهي الوحدة 𝑖 و𝑗، اللذين سنكتب المتجهين بدلالتهما. يمكننا اختيار متجه الوحدة 𝑖 بحيث يكون موازيًا للمتجه 𝐴𝐵. وبمجرد إتمام ذلك، لن يتبقى لدينا في الواقع الكثير من الخيارات لاتجاه 𝑗، إذ يجب أن يكون عموديًا على 𝑖. يمكنك تحديد اتجاهه لأعلى أو لأسفل وقد اخترنا أن نجعله يشير لأعلى. يمكننا كتابة المتجهين 𝐴𝐵 و𝐴𝐶 بدلالة هذين المتجهين 𝑖 و𝑗. ‏𝐴𝐵 مقداره 47 ويشير إلى الاتجاه نفسه الذي يشير إليه متجه الوحدة 𝑖، ومن ثم يجب أن يكون 47𝑖. ‏𝐴𝐶 أكثر صعوبة بعض الشيء في كتابته بدلالة 𝑖 و𝑗.

للتسهيل على أنفسنا، علينا إيجاد 𝐵𝐶 بدلالة 𝑖 و𝑗. ‏𝐵𝐶 مقداره 47 ويشير إلى الاتجاه المعاكس لمتجه الوحدة 𝑗. وبالتالي، فهو سالب 47𝑗. بالرجوع إلى 𝐴𝐶 الآن، وبالنظر إلى الشكل، يمكننا أن نرى أن 𝐴𝐶 يساوي 𝐴𝐵 زائد 𝐵𝐶. ونظرًا لأن لدينا 𝐴𝐵 و𝐵𝐶 بدلالة 𝑖 و𝑗، فمن السهل الآن كتابة 𝐴𝐶 بدلالة 𝑖 و𝑗. لنفسح مساحة هنا قبل متابعة الحل. تذكر أننا نريد إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. ومن ثم، فمن المفيد أن نكتبهما أولًا في صورة مركباتهما حيث إن لمتجه الوحدة 𝑖 المركبتان واحد، صفر. وللمتجه 𝐴𝐵، الذي يساوي 47𝑖، المركبتان 47، صفر. وينطبق الأمر نفسه على المتجه 𝐴𝐶. هنا، استخدمنا أيضًا حقيقة أن لمتجه الوحدة 𝑗 المركبتين صفر، واحد.

الآن، أصبحنا جاهزين لإيجاد حاصل الضرب القياسي لهما. إنه حاصل ضرب مركبتي 𝑥، أي 47 في 47، زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦، الذي هو صفر في سالب 47. نحن هنا نستخدم القاعدة العامة لحاصل الضرب القياسي للمتجهات في صورة مركباتها. بالطبع، صفر في سالب 47 يساوي صفرًا فحسب. وبالتالي، يتبقى لدينا 47 في 47، كما سبق. إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐴𝐵 و𝐴𝐶 هو 2209.

حسنًا، عرفنا بذلك طريقتين لحل هذه المسألة، حيث استخدمنا طريقتين لإيجاد حاصل الضرب القياسي. الأولى استخدمنا فيها التعريف الهندسي لحاصل الضرب القياسي الذي يشمل مقداري المتجهين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. والثانية استخدمنا فيها صيغة حاصل الضرب القياسي للمتجهات في صورة مركباتها. وهكذا، عند التعامل مع مسألة عن حاصل الضرب القياسي، من المفيد أن نأخذ طريقتي حساب حاصل الضرب القياسي في الحسبان. إذ قد تجد في مسألة ما أن إحدى طريقتي حساب حاصل الضرب القياسي تمثل حلًا أسهل من غيرها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.