تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

إذا كانت 𝜃 ∈ (١٨٠°، ٣٦٠°)، جا 𝜃 + جتا 𝜃 = −١، فأوجد قيمة 𝜃.

٠٤:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝜃 قياسها يقع بين ١٨٠ درجة و٣٦٠ درجة، وجا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي سالب واحد، فأوجد قيمة 𝜃.

دعونا ننظر أولًا إلى المعادلة جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي سالب واحد. الخطوة الأولى التي سنتخذها هنا هي تربيع كلا طرفي المعادلة. هذا يعطينا جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 الكل تربيع يساوي سالب واحد تربيع. ولتربيع جا 𝜃 زائد جتا 𝜃، علينا أن نكتب التعبير داخل القوسين مرتين.

سالب واحد تربيع يساوي واحدًا؛ نظرًا لأن ضرب عدد سالب في عدد سالب آخر يعطينا عددًا موجبًا. يمكننا فك الأقواس أو توزيعها باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. بضرب الحدين الأولين؛ أي جا 𝜃 وجا 𝜃، نحصل على جا تربيع 𝜃. وبضرب الحدين الخارجيين معًا، نحصل على جا 𝜃 جتا 𝜃. وبضرب الوسطين، نحصل على جا 𝜃 جتا 𝜃 أيضًا. وأخيرًا، عند ضرب الحدين الأخيرين، نحصل على جتا تربيع 𝜃.

هذا يعطينا المعادلة جا تربيع 𝜃 زائد جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. يتضح لنا أن الحدين الأوسطين متماثلان، ومن ثم يمكننا تجميعهما أو جمعهما معًا. وهذا يعطينا اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. يمكننا أيضًا أن نكتب الحدود الثلاثة الأخرى؛ وهي جا تربيع 𝜃 وجتا تربيع 𝜃 وواحد.

تنص إحدى المتطابقات المثلثية على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة اثنان جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد واحد يساوي واحدًا. ثمة متطابقة أخرى من المتطابقات، وهي إحدى صيغ ضعف الزاوية، تنص على أن اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي جا اثنين 𝜃. هذا يعني أن جا اثنين 𝜃 زائد واحد يساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك طرح واحد من كلا طرفي هذه المعادلة. وهذا يعني أن جا اثنين 𝜃 يساوي صفرًا.

علينا الآن حل هذه المعادلة لجميع قيم 𝜃 التي تقع بين ١٨٠ درجة و٣٦٠ درجة، غير المتضمنة لأيهما. بعبارة أخرى، أن يكون قياسها لا يساوي ١٨٠ أو ٣٦٠ درجة. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني لمنحنى جا اثنين 𝜃، فسنجد أن القيمة العظمى التي يصل إليها تساوي واحدًا، والقيمة الصغرى التي يصل إليها تساوي سالب واحد. ويوضح التمثيل البياني قيم 𝜃 التي تعطينا هاتين القيمتين العظمى والصغرى. وبرسم هذا المنحنى، يتضح لنا وجود العديد من القيم التي عندها جا اثنين 𝜃 يساوي صفرًا. وتقع هذه القيم عند صفر درجة و٩٠ درجة و١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة و٣٦٠ درجة. لكن بما أننا نريد إيجاد القيم التي تقع بين ١٨٠ درجة و٣٦٠ درجة، فإن الحل الوحيد في هذه الحالة هو 𝜃 تساوي ٢٧٠ درجة. إذن، إذا كان جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي سالب واحد، فإن الحل الواقع بين ١٨٠ و٣٦٠ درجة هو ٢٧٠ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.