تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد مقدار القوة المحصلة لقوتين مائلتين تؤثِّران على قضيب عمودي حول نقطة في ثلاثة أبعاد

أحمد لطفي

تؤثِّر القوى ﻕ_١ = ٥ جذر (٦٧٣) نيوتن، ﻕ_٢ = ١٦ جذر (٥٦٩) نيوتن في الاتجاه ﺃﺏ، ﺃﺟ على الترتيب كما هو مبين بالشكل. إذا كان المتّجه ﺱ، المتّجه ﺹ، المتّجه ﻉ نظامًا من متجهات الوحدة المتعامدة في اتجاه ﺱ، ﺹ، ﻉ على الترتيب، فأوجد مجموع عزوم القوى حول النقطة و بالنيوتن متر.

١٥:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

تؤثر القوى ق واحد بتساوي خمسة في الجذر التربيعي لستمية تلاتة وسبعين نيوتن، وَ ق اتنين بتساوي ستاشر في الجذر التربيعي لخمسمية تسعة وستين نيوتن؛ في الاتّجاه أ ب وَ أ ﺟ على الترتيب كما هو موضح بالشكل. إذا كان متّجه الوحدة س ومتّجه الوحدة ص ومتّجه الوحدة ع نظامًا من متّجهات الوحدة المتعامدة في اتّجاه س وَ ص وَ ع على الترتيب، فاوجد مجموع عزوم القوى حول النقطة و بالنيوتن متر.

أول خطوة هنوجد إحداثيات النقاط و وَ أ وَ ب وَ ﺟ.

أول حاجة بالنسبة للنقطة و، النقطة و هي نقطة الأصل يعني إحداثياتها هتكون صفر وصفر وصفر، ولو عايزين نوجد إحداثيات النقطة أ فإحداثيات النقطة أ هتكون … هنلاحظ إن النقطة أ فوق النقطة و مباشرةً؛ وبالتالي الإحداثي السيني للنقطة أ هيساوي صفر، والإحداثي الصادي للنقطة أ هيساوي صفر. وهنلاحظ إن النقطة أ على ارتفاع ستاشر متر من نقطة الأصل و؛ وبالتالي الإحداثي العيني هيكون ستاشر.

وبالنسبة للنقطة ب فالنقطة ب هتساوي … أول حاجة هنلاحظ إن النقطة ب على مسافة أربعة وخمسة وسبعين من مية متر من النقطة و في اتّجاه محور السينات؛ وبالتالي الإحداثي السيني للنقطة ب هيكون أربعة وخمسة وسبعين من مية. وبالنسبة للإحداثي الصادي للنقطة ب، هنلاحظ إن النقطة ب على مسافة عشرة متر من النقطة و في اتّجاه محور الصادات؛ وبالتالي الإحداثي الصادي للنقطة ب هيكون عشرة. وهنجد إن النقطة ب في نفس مستوى النقطة و، وبالتالي الإحداثي العيني للنقطة ب هيكون صفر.

وبالنسبة للنقطة ﺟ فالنقطة ﺟ هتساوي … هنجد إن النقطة ﺟ على مسافة ستة وخمسة وعشرين من مية من النقطة و في اتّجاه محور السينات؛ وبالتالي الإحداثي السيني للنقطة ﺟ هيكون ستة وخمسة وعشرين من مية، وهنلاحظ إن النقطة ﺟ على مسافة خمسة متر من النقطة و في عكس اتّجاه محور الصادات؛ وبالتالي الإحداثي الصادي للنقطة ﺟ هيكون سالب خمسة. وهنجد إن النقطة ﺟ والنقطة و نفس المستوى؛ وبالتالي الإحداثي العيني للنقطة ﺟ هيكون صفر.

يبقى كده قدرنا نوجد إحداثيات النقاط و وَ أ وَ ب وَ ﺟ.

معطى عندنا قيم القوى ق واحد وَ ق اتنين، ومعطى اتّجاههم، اتّجاه القوة ق واحد هو أ ب واتّجاه القوة ق اتنين هو أ ﺟ؛ وبالتالي محتاجين نوجد المتّجه ق واحد والمتّجه ق اتنين.

أول حاجة عشان نقدر نوجد المتّجه ق واحد، هتساوي قيمة القوة ق واحد مضروبة في اتّجاه ق واحد. اتّجاه ق واحد هو اتّجاه أ ب؛ وبالتالي هنضرب قيمة القوة ق واحد في متّجه الوحدة أ ب. ومتّجه الوحدة أ ب هو عبارة عن المتّجه أ ب مقسوم على معيار المتّجه أ ب؛ وبالتالي عشان نقدر نوجد المتّجه ق واحد محتاجين الأول نوجد المتّجه أ ب، اللي هو المسافة بين النقطتين أ وَ ب.

والمتّجه أ ب هيساوي المتّجه ب ناقص المتّجه أ؛ يعني المتّجه أ ب هيساوي … هنعوّض عن المتّجه ب بإحداثيات النقطة ب اللي هي: أربعة وخمسة وسبعين من مية، وعشرة، وصفر؛ ناقص … هنعوّض عن المتّجه أ بإحداثيات النقطة أ اللي هي: صفر، وصفر، وستاشر.

وبالتالي المتّجه أ ب هيساوي … أربعة وخمسة وسبعين من مية ناقص صفر هيساوي أربعة وخمسة وسبعين من مية، وعشرة ناقص صفر هيساوي عشرة، وصفر ناقص ستاشر هيساوي سالب ستاشر.

و بالتالي قدرنا نوجد المتّجه أ ب، لو عايزين نوجد معيار المتّجه أ ب فهيساوى الجذر التربيعى للإحداثي السيني تربيع زائد الإحداثي الصادي تربيع زائد الإحداثي العيني تربيع؛ يعني هيساوي الجذر التربيعي لأربعة وخمسة وسبعين من مية تربيع، زائد عشرة تربيع، زائد سالب ستاشر تربيع.

يعني معيار المتّجه أ ب هيساوي تلاتة في الجذر التربيعي لستمية تلاتة وسبعين على أربعة؛ وبالتالي المتّجه ق واحد هيساوي … هنعوّض عن قيمة ق واحد معطاة بخمسة في الجذر التربيعي لستمية تلاتة وسبعين، مضروبة في المتّجه أ ب اللي هو أربعة وخمسة وسبعين من مية، وعشرة، وسالب ستاشر؛ مقسوم على معيار المتّجه أ ب اللي هو تلاتة في الجذر التربيعي لستمية تلاتة وسبعين على أربعة.

هنمسح الخطوات السابقة وهنختصر الجذر التربيعي لستمية تلاتة وسبعين مع الجذر التربيعي لستمية تلاتة وسبعين؛ وبالتالي المتّجه ق واحد هيساوي عشرين على تلاتة، مضروبة في أربعة وخمسة وسبعين من مية، وعشرة، وسالب ستاشر. هنضرب عشرين على تلاتة في الإحداثي السيني وفي الإحداثي الصادي وفي الإحداثي العيني فهيكون عندنا المتّجه ق واحد هيساوي … خمسة وتسعين على تلاتة، وميتين على تلاتة، وسالب تلتمية وعشرين على تلاتة؛ يبقى كده قدرنا نوجد المتّجه ق واحد.

بنفس الطريقة لو عايزين نوجد المتّجه ق اتنين، فالمتّجه ق اتنين هيساوي قيمة القوة ق اتنين مضروبة في اتّجاه القوة ق اتنين، وبما إن اتّجاه القوة ق اتنين هو أ ﺟ؛ فهتكون مضروبة في متّجه الوحدة أ ﺟ، يعني المتّجه أ ﺟ مقسوم على معيار المتّجه أ ﺟ؛ وبالتالي محتاجين نوجد المتّجه أ ﺟ وهو المسافة بين النقطتين أ وَ ﺟ، فهنقول إن المتّجه أ ﺟ هيساوي المتّجه ﺟ ناقص المتّجه أ؛ وبالتالي المتّجه أ ﺟ هيساوي … هنعوّض عن المتّجه ﺟ بإحداثيات النقطة ﺟ اللي هي ستة وخمسة وعشرين من مية وسالب خمسة وصفر، ناقص … هنعوّض عن المتّجه أ بإحداثيات النقطة أ اللي هي صفر وصفر وستاشر؛ يعني المتّجه أ ﺟ هيساوي … ستة وخمسة وعشرين من مية ناقص صفر يعني هيساوي ستة وخمسة وعشرين من مية، سالب خمسة ناقص صفر هيساوي سالب خمسة، وصفر ناقص ستاشر هيساوي سالب ستاشر؛ يبقى كده قدرنا نوجد المتّجه أ ﺟ.

لو عايزين نوجد معيار المتّجه أ ﺟ فهيساوي الجذر التربيعي للإحداثي السيني تربيع زائد الإحداثي الصادي تربيع زائد الإحداثي العيني تربيع؛ يعني هيساوي الجذر التربيعي لستة وخمسة وعشرين من مية تربيع، زائد سالب خمسة تربيع، زائد سالب ستاشر تربيع؛ يعني هيساوي: تلاتة في الجذر التربيعي لخمسمية تسعة وستين، على أربعة؛ وبالتالي عشان نقدر نوجد المتّجه ق اتنين فهيساوي … هنعوّض عن قيمة القوة ق اتنين بالقيمة المعطاة اللي هي ستاشر في الجذر التربيعي لخمسمية تسعة وستين، مضروبة في المتّجه أ ﺟ اللي هو عبارة عن ستة وخمسة وعشرين من مية وسالب خمسة وسالب ستاشر، مقسوم على معيار المتّجه أ ﺟ اللي هو تلاتة في الجذر التربيعي لخمسمية تسعة وستين على أربعة.

هنمسح الخطوات السابقة، نقدر نختصر الجذر التربيعي لخمسمية تسعة وستين مع الجذر التربيعى لخمسمية تسعة وستي؛ن وبالتالي المتّجه ق اتنين هيساوي أربعة وستين على تلاتة، مضروب في ستة وخمسة وعشرين من مية وسالب خمسة وسالب ستاشر. هنضرب أربعة وستين على تلاتة في الإحداثي السيني وفي الإحداثي الصادي وفي الإحداثي العيني، فهيكون عندنا المتّجه ق اتنين هيساوي: ربعمية على تلاتة، وسالب تلتمية وعشرين على تلاتة، وسالب ألف أربعة وعشرين على تلاتة؛ يبقى كده قدرنا نوجد المتّجه ق اتنين.

مطلوب إننا نوجد مجموع عزوم القوى حول النقطة و بالنيوتن متر. عندنا طريقتين؛ أول طريقة: إننا نوجد عزم القوة ق واحد حول النقطة و، وعزم القوة ق اتنين حول النقطة و، ونجمع العزوم على بعض. تاني طريقة: إننا ممكن نقدر نوجد محصِّلة القوتين ق واحد وَ ق اتنين، ونوجد عزم محصِّلة القوتين حول النقطة و؛ وبالتالي هنستخدم الطريقة التانية، فعشان نقدر نوجد محصِّلة القوتين ق واحد وَ ق اتنين، فهيكون عندنا … هنرمز لمحصلة القوتين بالقوة ق؛ وبالتالي هيكون عندنا المتّجه ق هيساوي المتّجه ق واحد زائد المتّجه ق اتنين؛ يعني المتّجه ق هيساوي … هنعوّض عن المتّجه ق واحد بخمسة وتسعين على تلاتة، وميتين على تلاتة، وسالب تلتمية وعشرين على تلاتة؛ وهنعوّض عن المتّجه ق اتنين بربعمية على تلاتة، وسالب تلتمية وعشرين على تلاتة، وسالب ألف أربعة وعشرين على تلاتة. وبالتالي المتّجه ق هيساوي خمسة وتسعين على تلاتة، زائد ربعمية على تلاتة؛ هيساوي مية خمسة وستين. وميتين على تلاتة، زائد سالب تلتمية وعشرين على تلاتة؛ هيساوي سالب أربعين. وسالب تلتمية وعشرين على تلاتة، زائد سالب ألف أربعة وعشرين على تلاتة؛ هيساوي سالب ربعمية تمنية وأربعين.

يبقى كده قدرنا نوجد المتّجه ق اللي هو محصلة القوتين ق واحد وَ ق اتنين. والمتّجه ق لازم يكون بيمُرّ بالنقطة أ عشان النقطة أ هي نقطة التقاء القوتين ق واحد وَ ق اتنين؛ وبالتالي عشان نقدر نوجد عزم محصِّلة القوتين ق واحد وَ ق اتنين اللي هي القوة ق حول النقطة و، محتاجين نوجد المتّجه و أ، اللي هي المسافة من نقطة عمل محصِّلة القوتين والنقطة اللي عايزين نوجد عندها العزم؛ فهنوجد المتّجه و أ؛ يعني هيساوي المتّجه أ ناقص المتّجه و، هنعوّض عن المتّجه أ بإحداثيات النقطة أ اللي هي صفر وصفر وستاشر، ناقص … هنعوّض عن المتّجه و بإحداثيات النقطة و، اللي هي صفر وصفر وصفر؛ يعني هتساوي … صفر ناقص صفر هيساوي صفر، وصفر ناقص صفر هيساوي صفر، وستاشر ناقص صفر هيساوي ستاشر؛ وبالتالي هيكون عندنا المتّجه و أ هيساوي صفر وصفر وستاشر.

وعشان نقدر نوجد عزم محصِّلة القوتين حول النقطة و، فهنوجد حاصل الضرب الاتّجاهي بين المتّجه و أ ومتّجه محصلة القوتين ق؛ يعني هيساوي … هنعوّض عن المتّجه و أ بصفر وصفر وستاشر، وهنعوّض عن متّجه محصلة القوتين ق بمية خمسة وستين وسالب أربعين وسالب ربعمية تمنية وأربعين. وعشان نقدر نوجد حاصل الضرب الاتّجاهي، فهنستخدم المحددات؛ وبالتالي هيكون عندنا المحدد … أول صف في المحدد بنكتب متّجه الوحدة س ومتّجه الوحدة ص ومتّجه الوحدة ع، وتاني صف هنكتب فيه المتّجه و أ اللي هو صفر وصفر وستاشر، وتالت صف هنكتب فيه المتّجه ق اللي هو مية خمسة وستين وسالب أربعين وسالب ربعمية تمنية وأربعين.

وبالتالي عشان نقدر نوجد قيمة المحدد، فقيمة المحدد هيساوي … هنفك من خلال الصف الأول؛ فأول عنصر في الصف الأول عندنا متّجه الوحدة س، هيكون مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود الأول، فهيكون عندنا صفر في سالب ربعمية تمنية وأربعين، ناقص ستاشر في سالب أربعين؛ يعني هيكون عندنا متّجه الوحدة س مضروب في سالب ستاشر في سالب أربعين.

تاني عنصر في الصف الأول هو متّجه الوحدة ص، فهيكون عندنا تاني عنصر بناخده بإشارة سالبة؛ فسالب متّجه الوحدة ص مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التاني، فهيكون عندنا صفر مضروب في سالب ربعمية تمنية وأربعين، ناقص ستاشر مضروب في مية خمسة وستين.

يعني هيكون عندنا ناقص متّجه الوحدة ص مضروب في سالب ستاشر في مية خمسة وستين، زائد متّجه الوحدة ع مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التالت، فهيكون عندنا صفر في سالب أربعين، ناقص صفر في مية خمسة وستين؛ يعني هيكون عندنا متّجه الوحدة ع مضروب في صفر.

وبالتالي الضرب الاتّجاهي بين المتّجهين و أ وَالمتّجه ق هيساوي ستمية وأربعين في اتّجاه س، زائد ألفين ستمية وأربعين في اتّجاه ص.

وبالتالي نكون قدرنا نوجد مجموع عزوم القوي حول النقطة و بالنيوتن متر، وكانت ستمية وأربعين في اتّجاه س زائد ألفين ستمية وأربعين في اتّجاه ص.