فيديو قصير: البرهان الزائف القائل بتساوي المصفوفة 𝐴 والمصفوفة 𝐼

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سنتناول المصفوفات ونبحث مدى صحة البرهان القائل بأن المصفوفة واحد، واحد، صفر، صفر تساوي المصفوفة واحد، صفر، صفر، واحد.

لذا دعونا نبدأ بتعريف المصفوفة 𝐴 بأنها تساوي واحد، واحد، صفر، صفر. وإذا ضربنا 𝐴 في نفسها، فسنضرب واحد في واحد أولًا، ثم سنجمع هذا على واحد في صفر لنحصل على هذا الحد. ثم سنضرب واحد في واحد ونجمع هذا على واحد في صفر للحصول على هذا الحد. ثم سنضرب صفر في واحد ونجمع هذا على صفر في صفر للحصول على هذا الحد. وأخيرًا، سنضرب صفر في واحد ونجمع هذا على صفر في صفر للحصول على هذا الحد.

حسنًا، واحد في واحد يساوي واحد. واحد في صفر يساوي صفر. واحد زائد صفر يساوي واحد. وواحد في واحد يساوي واحد. واحد في صفر يساوي صفر. واحد زائد صفر يساوي واحد. صفر في واحد يساوي صفر. صفر في صفر يساوي صفر. صفر زائد صفر يساوي صفر. ومرة أخرى، صفر في واحد يساوي صفر. صفر في صفر يساوي صفر. صفر زائد صفر يساوي صفر.

وهو ما يعني أننا إذا ضربنا المصفوفة 𝐴 في المصفوفة 𝐴، أي بعبارة أخرى، ضربناها في نفسها، فستكون النتيجة هي المصفوفة 𝐴. يمكننا الآن ضرب طرفي المعادلة في معكوس المصفوفة 𝐴. وبما أن عملية ضرب المصفوفات تعد عملية تجميعية، فلا يهم إذا ضربنا معكوس المصفوفة 𝐴 في حاصل ضرب 𝐴 في 𝐴، أو إذا ضربنا حاصل ضرب معكوس المصفوفة 𝐴 في 𝐴 في المصفوفة 𝐴. ففي كلتا الحالتين، سنحصل على النتيجة نفسها.

والآن، تعريف معكوس المصفوفة 𝐴 هو أننا عندما نضرب 𝐴 في معكوسها، سنحصل على مصفوفة الوحدة التي تساوي واحد، صفر، صفر، واحد. وسنقوم بذلك هنا وهنا. إذن فمصفوفة الوحدة مضروبة في 𝐴 تساوي مصفوفة الوحدة. وبما أن الضرب في مصفوفة الوحدة يشبه بعض الشيء ضرب عدد في واحد، يكون الناتج مساويًا للمصفوفة الأصلية، وهو ما يعني أن 𝐴 تساوي 𝐼.

لقد أثبتنا عبر مجموعة من الخطوات المنطقية أن المصفوفة واحد، واحد، صفر، صفر تساوي المصفوفة واحد، صفر، صفر، واحد. حسنًا، هذا كله معقول جدًا، إلا أنني يمكن أن أؤكد لكم أن المصفوفة واحد، واحد، صفر، صفر لا تساوي المصفوفة واحد، صفر، صفر، واحد. فلماذا إذن لا توقفون الفيديو الآن. وتلقون نظرة دقيقة؟ هل ستتمكنون من تحديد موضع الخلل الذي يفشل عنده تسلسل خطوات حلنا المنطقية؟ حسنًا! أولًا، سأنظم الأمور قليلًا هنا لأفسح المجال لكتابة المزيد.

حسنًا، يقول السطر الأول إن 𝐴 معرفة على أنها المصفوفة واحد، واحد، صفر، صفر. هذه مصفوفة صحيحة تمامًا، لذا، ليست لدينا أي مشكلة هنا. وفي السطر التالي سنضرب المصفوفة 𝐴 في نفسها وسنحصل على النتيجة واحد، واحد، صفر، صفر. حسنًا، طريقة ضرب مصفوفتين اثنين في اثنين هي أن نأخذ هذا الحد ونضربه في هذا الحد، ثم نجمع هذا على هذا الحد المضروب في هذا الحد. وهو ما يعطينا هذا الحد الموجود في الإجابة، ألا وهو 𝑎 في 𝑒 زائد 𝑏 في 𝑔.

ثم للحصول على الحد الموجود هنا، سنضرب 𝑎 في 𝑓 ثم نجمع هذا على 𝑏 في ℎ. ثم للحصول على الحد الموجود هنا، سنضرب 𝑐 في 𝑒 ثم نجمع هذا على 𝑑 في 𝑔. ثم للحصول على الحد الموجود هنا، سنضرب 𝑐 في 𝑓 ثم نجمع هذا على 𝑑 في ℎ. وبالتأكيد عند تطبيق نفس المنطق على واحد، واحد، صفر، صفر في واحد، واحد، صفر، صفر، سنحصل على واحد في واحد زائد واحد في صفر، وواحد في واحد زائد واحد في صفر، وصفر في واحد زائد صفر في صفر، وصفر في واحد زائد صفر في صفر، الذي يساوي بالفعل واحد، واحد، صفر، صفر. وهكذا، فإن السطر الثاني صحيح أيضًا.

بعد ذلك، بمجرد تمثيل المصفوفات بأحرفها، يمكننا أن نرى أن 𝐴𝐴، أو 𝐴 في 𝐴، تساوي في واقع الأمر 𝐴. الآن في السطر التالي سنبدأ بالحديث عن معكوس 𝐴،‏ ‏𝐴 أس سالب واحد، أي، معكوس المصفوفة 𝐴. ومعنى كلمة معكوس هنا هو المصفوفة التي نحتاج لضربها في 𝐴 حتى نحصل على مصفوفة الوحدة واحد، صفر، صفر، واحد. إذن، إذا كانت المصفوفة 𝐴 تساوي 𝑎،‏ ‏𝑏،‏ ‏𝑐،‏ ‏𝑑، فسيكون معكوس 𝐴 هو معكوس هذه المصفوفة. وهو ما يتبين أنه واحد على 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 مضروبًا في المصفوفة 𝑑، سالب 𝑏، سالب 𝑐،‏ ‏𝑎.

حسنًا، 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 هي قيمة نطلق عليها اسم محدد المصفوفة. وهو ما يسهل حسابه بالنسبة للمصفوفة اثنين في اثنين. إلا أن الأمر يكون أكثر تعقيدًا بالنسبة للمصفوفات الأكبر. ولكننا سنتحدث هنا فقط عن المصفوفة اثنين في اثنين. ثم داخل المصفوفة نفسها، يمكنكم أن تروا أننا قد بدلنا هنا مواضع 𝑎 و𝑑. وأدرجنا سالب كل من 𝑏 و𝑐. ومن ثم، عندما نعرف معكوس المصفوفة بهذه الطريقة، سنجد أن معكوس 𝐴 في 𝐴 يعطينا مصفوفة الوحدة واحد، صفر، صفر، واحد.

دعونا نستعرض الأمر أكثر. بما أن 𝐴 عرفت كمصفوفة تساوي 𝑎،‏ ‏𝑏،‏ ‏𝑐،‏ ‏𝑑، ومعكوس المصفوفة 𝐴 هو واحد على محدد المصفوفة في 𝑑، سالب 𝑏، سالب 𝑐،‏ ‏𝑎، إذن فإن 𝐴 في معكوس 𝐴 يساوي كل هذا الجزء. حسنًا هذا مجرد ثابت مضروب في كل حد موجود في المصفوفة الناتجة. لذا فدعونا نضرب هاتين المصفوفتين معًا باستخدام الطريقة التي تحدثنا عنها سابقًا.

لا بد أن نضرب 𝑑 في 𝑎 ونجمع عليه سالب 𝑏 في 𝑐 من أجل هذا الحد الموجود هنا بالأعلى. ثم نضرب 𝑑 في 𝑏 ونجمع عليه سالب 𝑏 في 𝑑 من أجل هذا الحد هنا. ثم سالب 𝑐 في 𝑎 زائد 𝑎 في 𝑐 من أجل هذا الحد هنا بالأسفل. وأخيرًا، سالب 𝑐 في 𝑏 زائد 𝑎 في 𝑑 هنا بالأسفل. والآن 𝑑 في 𝑎 يساوي 𝑎 في 𝑑. ثم إذا جمعنا عليه سالب 𝑏 في 𝑐، فسيكون نفس الشيء إذا طرحنا منه 𝑏 في 𝑐. وهكذا، يمكننا إعادة كتابة هذا الحد بالصورة التالية: 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐.

ثم نأتي إلى 𝑑𝑏 زائد سالب 𝑏 في 𝑑، والتي تساوي حاصل ضرب 𝑏 في 𝑑 ناقص 𝑏 في 𝑑، حيث ستكون النتيجة لا شيء أو صفر. ثم سالب 𝑐𝑎 زائد 𝑎𝑐 وهنا 𝑐 في 𝑎 يساوي 𝑎 في 𝑐. لذا فهي تساوي سالب 𝑎𝑐 زائد 𝑎𝑐. وهو ما يساوي صفر مرة أخرى. ثم هنا بالأسفل، سالب 𝑐𝑏 هو نفسه سالب 𝑏𝑐. وإذا كتبنا هذين الاثنين بترتيب مختلف، فسنحصل على 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐. والآن، لا بد أن نضرب كل حد موجود في تلك المصفوفة في الحد الثابت الموجود خارج القوسين.

وبلا شك بقسمة صفر على 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 سنحصل على صفر. و𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 على 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐 تساوي واحد فقط. لذا، بنحو عام، نعم، معكوس 𝐴 في 𝐴 سيعطينا مصفوفة الوحدة التالية، 𝐼: واحد، صفر، صفر، واحد. ولكن دعونا نلق نظرة على الحالة المحددة التي تكون فيها المصفوفة 𝐴 واحد، واحد، صفر، صفر. حينئذ سيكون معكوس المصفوفة 𝐴 واحد على محدد المصفوفة في … حسنًا، سنحتاج إلى تبديل مواضع الصفر والواحد هنا. وسنحتاج لأن نأخذ سالب واحد وصفر ونضعهما هنا.

بالطبع سالب صفر هو صفر وحسب. لذا سنكتب ذلك هنا، ثم يمكننا استنتاج المحدد. وهو واحد في صفر ناقص واحد في صفر. وواحد في صفر يساوي صفر. ومن ثم سيصبح واحد على صفر ناقص صفر. ومن الواضح أن صفر ناقص صفر يساوي صفر. انتبه؛ فنحن هنا نقسم على صفر! واحد على صفر يساوي عددًا غير معرف. ومن ثم، فإننا نحاول ضرب هذه المصفوفة في عدد غير معرف.

وبهذا فقد اتضح أن معكوس المصفوفة 𝐴 غير معرف. نسمي المصفوفة 𝐴 هنا بالمصفوفة المنفردة. وهي مجرد مصفوفة مربعة ليس لها معكوس ويساوي المحدد فيها صفر. إذن بالعودة إلى البرهان محل السؤال، عند الضرب في معكوس المصفوفة 𝐴، فإننا بذلك نضرب في عدد غير معرف. ومن ثم، كل شيء من هذه النقطة فصاعدًا سيكون بلا معنى تمامًا. فبما أن معكوس المصفوفة 𝐴 غير معرف، لا يمكننا إجراء المزيد من العمليات الحسابية على أعداد غير معرفة. في النهاية لم نثبت أن واحد، واحد، صفر، صفر يساوي واحد، صفر، صفر، واحد. ومن ثم، يكون البرهان محل السؤال زائفًا.