تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قيم المتغيرات التي تجعل دالة متعددة التعريف متصلة عند نقطتين الرياضيات

أوجد قيمتي ﺃ، ‏ﺏ اللتين تجعلان الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ = −٢، وعند ﺱ = ٢، إذا كانت ﺩ(ﺱ) = ٣ﺱ − ٥‎، ﺱ ≤ −٢،‏ ﺩ(ﺱ) = ﺃﺱ + ﺏ‎، −٢ < ﺱ < ٢، ‏ﺩ(ﺱ) = ٢ﺱ^٢ − ٣‎، ﺱ ≥ ٢.

١١:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمتي ﺃ وﺏ اللتين تجعلان الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين وعند ﺱ يساوي اثنين، إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة إذا كان ﺱ أقل من أو يساوي سالب اثنين، وﺩﺱ تساوي ﺃﺱ زائد ﺏ إذا كان ﺱ أكبر من سالب اثنين وأقل من اثنين، وﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين.

في هذا السؤال، لدينا دالة متعددة التعريف، ﺩﺱ، تحتوي على مجهولين، وهما ﺃ وﺏ. علينا إيجاد قيمتي المجهولين ﺃ وﺏ، وهما ما يجعلان ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي اثنين. هناك العديد من الطرق المختلفة للإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا بالفعل الإجابة عن هذا السؤال بيانيًّا. يمكننا رسم الدالتين الجزئيتين الأولى والثانية على مجاليهما الجزئيين. بعد ذلك، نلاحظ أن الدالة الجزئية الثانية لـ ﺩﺱ هي دالة خطية. وكل من ﺱ يساوي سالب اثنين، وﺱ يساوي اثنين هما نقطتان حديتان في مجالها الجزئي.

إذن، يمكننا ملاحظة أنه كي تكون الدالة متصلة عند سالب اثنين وعند اثنين، يجب أن تصل الدالة الخطية بين النقطة الحدية للدالة الجزئية الأولى والنقطة الحدية للدالة الجزئية الثالثة. لكننا في هذا الفيديو سنستخدم طريقة أكثر دقة من خلال تعريف الاتصال. يمكننا تذكر قولنا إن الدالة ﺩ تكون متصلة عند ﺱ يساوي ﺃ إذا تحققت الشروط الثلاثة الآتية. أولًا، يجب أن تكون قيمة ﺩ عند ﺃ معرفة. بعبارة أخرى، يجب أن يكون ﺃ ضمن مجال الدالة ﺩ.

ثانيًا، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ موجودة. وأخيرًا، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ مساوية لقيمة الدالة عند ﺃ. وعلينا أن نحقق هذه الشروط الثلاثة جميعه. في الواقع، بما أننا نريد أن تكون الدالة متصلة عند سالب اثنين وعند اثنين، فعلينا تحقيق هذه الشروط الثلاثة لهاتين القيمتين المختلفتين لـ ﺃ. دعونا نبدأ بجعل الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

في البداية، علينا التأكد من أن قيمة ﺩ عند سالب اثنين معرفة. يمكننا أن نفعل ذلك مباشرة من خلال الدالة المتعددة التعريف لدينا. نلاحظ أن سالب اثنين يقع ضمن المجال الجزئي الأول؛ ومن ثم فإن الدالة معرفة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. لكن تجدر الإشارة هنا إلى أننا نريد إيجاد قيمة ﺩ عند سالب اثنين لتحقيق الشرط الثالث. لذا، يمكننا حساب قيمة ذلك على أي حال. وبما أن ﺱ يساوي سالب اثنين موجود ضمن المجال الجزئي الأول، فسنعوض بسالب اثنين في الدالة الجزئية الأولى.

قيمة ﺩ عند سالب اثنين تساوي ثلاثة في سالب اثنين ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ١١. نريد الآن التحقق من شرط الاتصال الثاني عند ﺱ يساوي سالب اثنين. علينا التحقق من وجود النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ. وسنفعل ذلك بملاحظة أن سالب اثنين يمثل إحدى النقاط الحدية للمجالات الجزئية. لذا، سنفعل ذلك عن طريق التأكد من أن قيمتي النهايتين من جهتي اليسار واليمين متساويتان. دعونا نبدأ بالنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ من جهة اليسار. بما أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار، فإن قيم ﺱ ستكون أقل من سالب اثنين. ويمكننا ملاحظة أنه عندما يكون ﺱ أقل من سالب اثنين، فإن الدالة تساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة، وهو ما يعني أن النهايتين عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار ستكونان متساويتين.

على وجه التحديد، بما أن هذه دالة خطية، يمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض المباشر. وهذا، بالطبع، يساوي قيمة ﺩ عند سالب اثنين. وبذلك، نحصل على ثلاثة في سالب اثنين ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ١١. يمكننا الآن اتباع الخطوات نفسها لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ من جهة اليمين. في البداية، بما أن ﺱ يقترب من سالب اثنين من جهة اليمين، فإن قيم ﺱ تكون أكبر من سالب اثنين. سنكتب ذلك على صورة سالب اثنين أقل من ﺱ. وذلك لأن المجال الجزئي الثاني للدالة هو ﺱ أكبر من سالب اثنين وأقل من اثنين.

تذكر أنه عند إيجاد نهاية دالة ما، فإننا نريد أن تقترب قيم ﺱ أكثر فأكثر من النقطة التي نحسب عندها النهاية. ولذلك بالتحديد، يمكننا اختيار قيم ﺱ الأقل من اثنين. وهذا يعني أن هذه النهاية يجب أن تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين للدالة الجزئية الثانية؛ أي ﺃﺱ زائد ﺏ. ومرة أخرى هذه دالة خطية؛ لذا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب اثنين، فسنحصل على سالب اثنين ﺃ زائد ﺏ.

لكن تذكر أننا نحاول إثبات أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ موجودة. ولكي تكون هذه النهاية موجودة، يجب أن تكون النهايتان من جهتي اليسار واليمين عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ متساويتين. إذن، سالب اثنين ﺃ زائد ﺏ يجب أن يساوي سالب ١١ لكي يتحقق شرط الاتصال الثاني. وهذا يجعل النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ١١، وهو ما يجعلنا نلاحظ أنها تساوي قيمة ﺩ عند سالب اثنين. إذن، تنطبق شروط الاتصال الثلاثة هذه على الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين، إذا كان سالب اثنين ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب ١١. لكن هذه معادلة خطية بها مجهولان؛ لذا لا يمكننا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ.

دعونا بدلًا من ذلك نفرغ بعض المساحة ونستخدم حقيقة أن الدالة يجب أن تكون متصلة عند ﺱ يساوي اثنين. يمكننا إجراء الخطوات نفسها من خلال التعريف لدينا. في البداية، يجب أن تكون الدالة معرفة عند ﺱ يساوي اثنين. ومرة أخرى، يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من خلال تعريف ﺩﺱ. يوجد اثنان ضمن المجال الجزئي الثالث للدالة؛ لذا نعوض بـ ﺱ يساوي اثنين في ﺩﺱ لنحصل على قيمة ﺩ عند اثنين تساوي اثنين في اثنين تربيع ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة. ومن ثم، يتحقق الشرط الأول للاتصال عند ﺱ يساوي اثنين.

سنتبع العملية نفسها لكي نتحقق من النهاية. سنتحقق من النهاية من جهتي اليسار واليمين عندما يقترب ﺱ من اثنين. هيا نبدأ بالنهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ من جهة اليمين. ومن ثم، فإن قيم ﺱ تكون أكبر من اثنين. وهذا يعني أن الدالة ﺩﺱ تساوي الدالة الجزئية الثالثة لها. إذن، هذا يساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين من جهة اليمين لاثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة. وهذه دالة كثيرة الحدود؛ لذا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. وبذلك، نحصل على اثنين في اثنين تربيع ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة.

دعونا الآن نحسب قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ من جهة اليسار. بما أن ﺱ يقترب من اثنين، يمكننا أن نجعل قيم ﺱ تقتصر على القيم الأكبر من سالب اثنين والأقل من اثنين. ولقيم ﺱ هذه، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ زائد ﺏ. لذلك، علينا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺃﺱ زائد ﺏ من جهة اليسار. وهذه دالة خطية؛ لذا يمكننا أن نفعل ذلك باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين، نحصل على اثنين ﺃ زائد ﺏ.

والآن، بما أننا نريد أن تكون الدالة ﺩﺱ دالة متصلة عند ﺱ يساوي اثنين، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ من جهة اليمين مساوية للنهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ من جهة اليسار. لذا، يجب أن يكون اثنان ﺃ زائد ﺏ يساوي خمسة. وقبل أن نحل هاتين المعادلتين الآنيتين، من الجدير بالملاحظة هنا أنه إذا كان اثنان ﺃ زائد ﺏ يساوي خمسة، فإن النهايتين من جهتي اليسار واليمين عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ متساويتان. وبذلك يتحقق شرط الاتصال الثاني. كما أن خمسة يساوي قيمة ﺩ عند ﺃ. إذن، النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ ستساوي خمسة، وهو ما يساوي قيمة ﺩ عند ﺃ.

ومن ثم، فإن ما أوضحناه هو أنه إذا حققت قيمتا ﺃ وﺏ المعادلة الأولى، فإن الدالة ﺩ تكون متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وإذا حققت قيمتا ﺃ وﺏ المعادلة الثانية، فإن الدالة تكون متصلة عند ﺱ يساوي اثنين. إذن، علينا الآن إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ اللتين تحققان كلا المعادلتين.

سنفعل ذلك من خلال جمع المعادلتين معًا. سالب اثنين ﺃ زائد اثنين ﺃ يساوي صفرًا، وﺏ زائد ﺏ يساوي اثنين ﺏ. ومن ثم، فإن الطرف الأيمن من المعادلة يساوي اثنين ﺏ، وسالب ١١ زائد خمسة يساوي سالب ستة. إذن، نحصل على اثنين ﺏ يساوي سالب ستة. ثم نقسم طرفي المعادلة على اثنين لنجد أن ﺏ يساوي سالب ثلاثة.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺃ بالتعويض عن ﺏ بسالب ثلاثة في أي من هاتين المعادلتين الآنيتين. سنعوض بهذه القيمة في المعادلة الآنية الأولى لدينا. وبذلك، نحصل على سالب اثنين ﺃ ناقص ثلاثة يساوي سالب ١١. ويمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺃ. سنضيف ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة لنحصل على سالب اثنين ﺃ يساوي سالب ثمانية. ثم نقسم الطرفين على سالب اثنين. وعليه، نحصل على ﺃ يساوي أربعة، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه كي تكون الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين وعند ﺱ يساوي اثنين، فإن قيمة ﺃ يجب أن تساوي أربعة، وقيمة ﺏ يجب أن تساوي سالب ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.