فيديو: نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث

يوضح الفيديو نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث، وإثباتها، وأمثلة على استخدامها لإيجاد زوايا مجهولة فى المثلث.

١١:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث.

هنتعرّف في الدرس ده، على النظرية اللي بتقول لنا العلاقة بين زوايا المثلث الداخلية. المنطوق بتاع النظرية، هو إن مجموع قياسات زوايا المثلث، بيساوي مية وتمانين درجة. يعني على سبيل المثال، لو شُفنا المثلث اللي قدامنا ده. هيبقى قياس زاوية أ، زائد قياس زاوية ب، زائد قياس زاوية ج؛ هيساوي مية وتمانين درجة. مجموع قياسات زوايا أيّ مثلث، بيساوي مية وتمانين درجة. هنجيب صفحة جديدة، ونشوف مع بعض إثبات النظرية.

إحنا محتاجين عشان نقدر نثبت نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث، محتاجين إن إحنا نستخدم مستقيم مساعد. يعني إيه مستقيم مساعد؟ يعني مستقيم إضافي، إحنا اللي هنرسمه، هيساعدنا على تحليل العلاقات الهندسية، وعلى الإثبات اللي محتاجين نعمله. هنبتدي البرهان بتاعنا، هنعمله على عمودين. العمود الأول هنكتب فيه العبارات، اللي هي خطوات الإثبات الهندسي اللي هنتّبعها. والعمود التاني بنكتب فيه الأسباب أو المبررات.

عندنا أول خطوة، إحنا معطى عندنا المثلث أ ب ج. فهنكتب أول خطوة: المثلث أ ب ج. والسبب إن هو ده معطى. تاني خطوة، هنكتب الإنشاء الهندسي اللي قُمنا بعمله، اللي هو المستقيم المساعد اللي هنعمله. من النقطة أ، ارسم المستقيم أ د موازيًا للقطعة المستقيمة ب ج. هنلاقي عندنا إن الزاوية أربعة، والزاوية ب أ د اللي هي الزاوية دي؛ اللي اتنين بيكوّنوا مع بعض خط مستقيم. يعني هم زاويتين متجاورتين. يبقى مجموعهم مية وتمانين درجة. هنقدر نقول الخطوة تلاتة، إن الزاوية أربعة، والزاوية ب أ د؛ زاويتين متجاورتين. اللي هو تعريف الزاويتين المتجاورتين.

أمّا الخطوة أربعة، فهنقول إن زاوية أربعة، وزاوية ب أ د؛ يعتبروا زاويتين متكاملتين. لأن الزاويتين المتجاورتين على خط مستقيم، بيبقوا متكاملتين. أمّا الخطوة خمسة، فنقدر نستنتج من إنهم متكاملتين، إن معنى متكاملتين أصلًا، إن مجموع قياسيهما مية وتمانين درجة. يعني من هنا نقدر نقول إن قياس زاوية أربعة، زائد قياس زاوية ب أ د؛ بيساوي مية وتمانين درجة. وهو ده تعريف الزاويتين المتكاملتين.

زيّ ما إحنا شايفين من الرسمة عندنا، إن الزاوية ب أ د الزاوية دي، قياسها هيساوي مجموع قياس الزاويتين: اتنين وخمسة. يعني دلوقتي هنكتب قياس زاوية ب أ د، يساوي قياس زاوية اتنين، زائد قياس زاوية خمسة. دي مسلَّمة جمع قياسات الزوايا. الخطوة رقم سبعة، هنقول إن قياس زاوية أربعة، اللي هي الزاوية دي … إحنا قُلنا أربعة زائد ب أ د، قياسهم مية وتمانين درجة. زاويتين متجاورتين، على خط مستقيم أو متكاملتين. فيبقى نقدر نقول إن قياس زاوية أربعة، زائد قياس زاوية اتنين، زائد قياس زاوية خمسة؛ مجموعهم هيساوي مية وتمانين درجة. دي نظرية … عفوًا، ده بالتعويض في الكلام اللي قلناه.

طب المستقيم اللي إحنا عملناه ده، موازي للقطعة المستقيمة ج ب. هيخلّينا نقدر نستنتج إن قياس زاوية أربعة، هيبقى بيساوي قياس زاوية تلاتة، من نظرية الزاويتين المتبادلتين. وبالمثل قياس زاوية خمسة هيبقى بيساوي قياس زاوية واحد، برضو بالتبادل. خطّين متوازيين، وفيه قاطع اللي هو أ ج بيقطعهم. والزاوية خمسة والزاوية واحد، على جهتين مختلفتين من القاطع. فدول بيبقوا زاويتين متساويتين بالتبادل.

فهنكتب بقى الخطوة تمنية، إن الزاوية أربعة والزاوية واحد متطابقتين. والزاوية خمسة والزاوية تلاتة بالمثل. دي نظرية الزاويتين المتبادلتين. ومنها بنستنتج إن قياس زاوية أربعة، هيبقى بيساوي قياس زاوية واحد. وقياس زاوية خمسة، هيبقى بيساوي قياس زاوية تلاتة. ده من تعريف تطابُق الزوايا. يعني متطابقتين، يعني متساويتين في القياس.

وبعدين هنعوّض في الخطوة رقم سبعة. اللي كنا بنقول فيها إن قياس زاوية أربعة، زائد قياس زاوية اتنين، زائد قياس زاوية خمسة؛ بيساوي مية وتمانين درجة. وهنحطّ بدل كل زاوية من الزاويتين المتبادلتين، الزاوية الأخرى اللي في داخل المثلث، اللي بتساويها بالتبادل. فهنقدر نستنتج من هنا، إن قياس زاوية واحد، زائد قياس زاوية اتنين، زائد قياس زاوية تلاتة؛ هيساوي مية وتمانين درجة.

يعني بكده قدرنا نوصل لبرهان النظرية؛ إن قياس زاوية أ، زائد قياس زاوية ب، زائد قياس زاوية ج؛ بيساوي مية وتمانين درجة. أو مجموع قياسات زوايا المثلث، بيساوي مية وتمانين درجة. هنجيب صفحة جديدة، ونشوف مع بعض، إزَّاي باستخدام النظرية دي، نقدر نستنتج قياس زاوية مجهولة، بمعلومية قياس الزاويتين الأخرتين.

بيبيّن الشكل اللي قدامنا ده مسار الكرة، في تدريب على تمريرات نفّذها أربعة لاعبين. مطلوب منّنا نوجد قياسات الزوايا المرقّمة. هنبدأ بكتابة المعطيات. هنلاقي عندنا معطى قياس زاوية ألف، بعشرين درجة. ومعطى قياس زاوية ج، تمنية وسبعين درجة. وقياس زاوية هـ، واحد وستين درجة. ومطلوب منّنا إيجاد قياسات الزوايا المرقّمة. اللي هي الزاوية واحد، والزاوية اتنين، والزاوية تلاتة.

دلوقتي عايزين نبتدي نفكّر الأول، في الطريقة اللي هنستخدمها في الحلّ. هنبتدي عندنا الأول في المثلث أ ب ج؛ أ ب ج. ونشوف إيه الزوايا المطلوبة فيه. هنلاقي إن مطلوب فيه إيجاد قياس الزاوية تلاتة. سهل إن إحنا نحسب قياس الزاوية تلاتة؛ لأن معطى عندنا قياس الزاويتين الأخرتين في المثلث. فهنقدر نستخدم نظرية مجموع زوايا المثلث، لإيجاد قياس الزاوية تلاتة.

نشوف المثلث التاني، اللي هو ج د هـ. هنلاقي إن مطلوب فيه قياس زاويتين. هنستخدم التقابل بالرأس، عشان نقدر نجيب قياس الزاوية اتنين. وهنستخدم نظرية مجموع زوايا المثلث، عشان نقدر نستنتج قياس الزاوية واحد. كده رتّبنا أفكارنا، وعرفنا إحنا إزَّاي هنحسب قياسات الزوايا المطلوبة منّنا. هنبتدي نكتب مع بعض الإثبات.

هنلاقي دلوقتي عندنا في المثلث أ ب ج، إن قياس زاوية تلاتة، زائد قياس زاوية ب أ ج، زائد قياس زاوية أ ج ب؛ مجموعهم مفروض يطلع مية وتمانين درجة. ده جايبينه من نظرية مجموع زوايا المثلث. بالتعويض، نقدر نقول إن قياس زاوية تلاتة، زائد … هنشيل زاوية ب أ ج، ونحطّ قياسها؛ اللي هو عشرين درجة. ونشيل زاوية أ ج ب، ونحطّ قياسها؛ تمنية وسبعين درجة. هيبقى مجموعهم مية وتمانين درجة. من كده نقدر نستنتج، بالتبسيط، إن قياس زاوية تلاتة هيبقى بيساوي اتنين وتمانين درجة.

هنلاقي إن الشكل اللي عندنا، فيه الزاوية أ ج ب والزاوية اتنين، دول زاويتين متقابلتين بالرأس. فبالتالي هما زاويتين متطابقتين. ومن هنا هنقدر نستنتج إن قياس زاوية اتنين، هيساوي تمنية وسبعين درجة. دلوقتي بقى عندنا في المثلث ج د هـ، عندنا قياس زاوية اتنين معلومة. وعندنا معطى قياس زاوية هـ، بواحد وستين درجة. ناقص دلوقتي نحسب قياس الزاوية واحد. وده هنجيبه من نظرية مجموع زوايا المثلث.

فهنقول دلوقتي إن قياس زاوية واحد، زائد قياس زاوية اتنين، زائد قياس زاوية ج هـ د؛ هيساوي مية وتمانين درجة. بالتعويض عن كل زاوية معلومة بقياسها، نقدر نستنتج إن قياس زاوية واحد، هيبقى بيساوي واحد وأربعين درجة. كده قدرنا نجيب قياس زاوية تلاتة، وقياس زاوية اتنين، وقياس زاوية واحد. يعني جِبنا قياسات الزوايا المرقّمة زيّ المطلوب منّنا.

لازم على سبيل التأكيد، إن إحنا نتأكد من كل مثلث من المثلثات اللي إحنا جِبنا الزوايا المطلوبة فيها. إن مجموع قياسات الزوايا في كل واحد منهم، بيساوي … عفوًا مية وتمانين درجة. فهنبتدي من المثلث أ ب ج. والمفروض يكون قياس زاوية تلاتة، زائد قياس زاوية ب أ ج، زائد قياس زاوية أ ج ب؛ يكون مجموعهم بيساوي مية وتمانين درجة. هنحطّ القياسات اللي عندنا. هيبقى عندنا اتنين وتمانين درجة، زائد عشرين درجة، زائد تمنية وسبعين درجة. لو جمّعناهم فعلًا، هيطلع الناتج مية وتمانين درجة.

بالمثل هنتأكد من مجموع قياسات الزوايا، في المثلث ج هـ د. لازم يبقى قياس زاوية واحد، زائد قياس زاوية اتنين، زائد قياس زاوية ج هـ د؛ لازم يبقى مجموعهم مية وتمانين درجة. هنحطّ القياسات اللي حصلنا عليها. هنلاقي إن واحد وأربعين درجة، اللي هو قياس زاوية واحد. زائد تمنية وسبعين درجة، اللي هو قياس زاوية اتنين. زائد واحد وستين درجة، اللي هو قياس زاوية ج هـ د. هنلاقي بالفعل إن مجموعهم مية وتمانين درجة. كده اتأكدنا من صحة قياسات الزوايا اللي حصلنا عليها.

اتعرفنا في الدرس ده على نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث. واللي فيها عرفنا إن لازم مجموع قياسات زوايا أيّ مثلث، يبقى مية وتمانين درجة. وقدرنا نستخدم النظرية دي، في إيجاد زاوية مجهولة في مثلث، بمعلومية الزاويتين الأخرتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.