فيديو: ايجاد الدالة العكسية

يوضح الفيديو مفهوم إيجاد الدالة العكسية وتعريف المجال والمدى للدالة العكسية، وخطوات إيجاد الدالة العكسية.

٠٧:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنشوف إزّاي نقدر نجيب الدالة العكسية. أولًا عشان نجيب الدالة العكسية لدالةٍ ما، لازم الدالة دي تعدّي اختبار الخط الأفقي. بمعنى إننا لو رسمنا المنحنى بتاع الدالة، أيّ خط أفقي هنرسمه، ما ينفعش يتقاطع مع منحنى الدالة في أكتر من نقطة واحدة. لو الشرط ده اتحقّق، بنقول إن الدالة دي بتمتلك خاصية المساواة. يعني كل قيمة س في مجال الدالة، ليها مناظر واحد بس في المدى بتاع الدالة. وفي الحالة دي نقدر نحسب الدالة العكسية للدالة دي.

في الصفحة اللي جاية، هنشوف العلاقة ما بين مدى ومجال الدالة. ومدى ومجال الدالة العكسية بتاعتها. طيب زيّ ما ظاهر في الشكل اللي قدامنا … المربع على اليمين، هو موجود فيه كل القيم بتاعة س، اللي ينفع نعوّض بيها في الدالة د. بمعنى إن المربع ده بيمثّل مجال الدالة د. والمربع اللي عَ الشمال موجود فيه كل القيم اللي ممكن تطلع من الدالة د. يعني ده فيه كل القيم بتاعة مدى الدالة د. واللي بيربط ما بين المربع اليمين، والمربع الشمال، هو الدالة د.

طيب الدالة العكسية لِـ د، هي اللي بتعمل عكس اللي إحنا قُلناه ده تمامًا. بمعنى إن هي بتربط القيم اللي في المربع الشمال، مع القيم اللي في المربع اليمين. وبالتبعية، المربع اللي عَ الشمال، اللي كان بيمثّل مدى الدالة د، بقى بيمثّل مجال الدالة العكسية لِـ د. والمربع اللي عَ اليمين، اللي كان بيمثّل مجال الدالة د، بقى بيمثّل مدى الدالة العكسية لِـ د. ومن هنا نستنتج إن المجال بتاع دالةٍ ما، هو المدى بتاع الدالة العكسية بتاعتها. والمدي بتاع دالةٍ ما، هو المجال بتاع الدالة العكسية بتاعتها.

قبل ما نكمّل، محتاجين نقول ملاحظة صغيرة على طريقة كتابة الدالة العكسية. الدالة العكسية للدالة د للمتغير س، بتتكتب بالمنظر اللي ظاهر قدامنا ده. وبتتنطق: الدالة العكسية لِـ د. المنظر اللي إحنا كاتبين بيه الدالة العكسية لـ د ده، المفروض ما يلخبطناش بين الدالة العكسية لِـ د، ومقلوب الدالة د. يعني الشكل اللي إحنا كاتبينه ده، مش معناه إن دي د مرفوعة للأُس سالب واحد، يعني مقلوب الدالة د. الشكل اللي إحنا كاتبينه ده، بيمثّل فقط الدالة العكسية لِـ د. أما مقلوب الدالة د للمتغير س، فبيكتب واحد على الدالة د للمتغير س.

طيب في الصفحة اللي جاية، هنستعرض الخطوات اللازم اتباعها؛ علشان نجيب الدالة العكسية لدالةٍ ما جبريًّا. طيب أفضل طريقة نقدر نوضّح بيها خطوات إيجاد الدالة العكسية، هي إننا ناخدها من خلال مثال. طيب هنا معانا الدالة د للمتغير س، تساوي س ناقص واحد، الكل مقسوم على س زائد اتنين.

أول خطوة هنعملها، هنشوف إذا كانت الدالة اللي معانا دي، ليها معكوس ولّا لأة، باستخدام اختبار الخط الأفقي. وعشان نعمل كده، هنرسم منحنى الدالة د. ونشوف هل فيه أيّ خط أفقي، بيقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة ولّا لأة. طيب لو رسمنا منحنى الدالة، هيطلع بالمنظر اللي ظاهر قدامنا ده. من شكل المنحنى، نقدر نلاحظ إن الدالة دي بتنجح في اختبار الخط الأفقي. لأن ما فيش أيّ خط أفقي نقدر نرسمه، هنلاقيه بيقطع الدالة في أكتر من نقطة. ويبقى نستنتج من الخطوة الأولى دي، إن الدالة لها معكوس.

الخطوة التانية عندنا بتتكوّن من جزئين. الجزء الأول إننا هنستبدل الدالة د للمتغير س، بالمتغيّر ص. والجزء التاني إننا هنبدّل س وَ ص مع بعض، زيّ ما هنشوف دلوقتي. يبقى إحنا هنيجي في الجزء الأول، ونشيل الدالة د للمتغير س، ونكتب مكانها ص. فيبقى ص تساوي س ناقص واحد، الكل مقسوم على س زائد اتنين. والجزء التاني إننا هنبدّل س وَ ص مكان بعض. فيبقى س تساوي ص ناقص واحد، الكل مقسوم على ص زائد اتنين.

طيب في الصفحة اللي جايّة، هنستكمل خطوات إيجاد الدالة العكسية. في آخر الخطوة التانية، إحنا كنا وصلنا إن س تساوي ص ناقص واحد، الكل مقسوم على ص زائد اتنين. في الخطوة التالتة، هنحاول نحل المعادلة اللي جِبناها في الخطوة التانية؛ علشان نجيب ص. وبعد ما نجيب ص، هنستبدلها بالدالة العكسية لِـ س. طيب هنا المعادلة اللي عايزين نحلها، هي: س تساوي ص ناقص واحد، الكل مقسوم على ص زائد اتنين. وعايزين نجيب ص في طرف لوحدها.

لو ضربنا الطرفين والوسطين في بعض، هيطلع لنا إن س مضروبة في ص زائد اتنين س يساوي ص ناقص واحد. لو طرحنا ص من الطرفين، هيطلع لنا س ص ناقص س زائد اتنين س يساوي سالب واحد. ولو طرحنا اتنين س من الطرفين، هيطلع لنا س ص ناقص ص يساوي سالب واحد ناقص اتنين س. في الطرف الأيمن، ممكن ناخد ص عامل مشترك. المعادلة هتبقى ص مضروبة في س ناقص واحد يساوي سالب واحد ناقص اتنين س. لو قسمنا الطرفين على س ناقص واحد، هيطلع لنا إن ص تساوي سالب واحد ناقص اتنين س، الكل مقسوم على س ناقص واحد.

كده إحنا خلّصنا الجزء الأول من الخطوة التالتة. الجزء التاني كان بيقول إننا نشيل ص، ونكتب مكانها الدالة العكسية لِـ س. فيبقى إذن الدالة العكسية لِـ س تساوي سالب واحد ناقص اتنين س، الكل مقسوم على س ناقص واحد. في الصفحة اللي جاية، هنشوف الخطوة الرابعة والأخيرة، لإيجاد الدالة العكسية. في الخطوة الرابعة، هنحدّد القيود اللي موجودة على مجال الدالة العكسية لِـ د. وبعدين نثبت إن المجال بتاع الدالة د، هو مدى الدالة العكسية لِـ د. ومدى الدالة د، هو مجال الدالة العكسية لِـ د.

في نهاية الخطوة التالتة، إحنا استنتجنا إن الدالة العكسية لِـ د، هي عبارة عن سالب واحد ناقص اتنين س، الكل مقسوم على س ناقص واحد. أمّا الدالة د للمتغير س، فكانت عبارة عن س ناقص واحد، الكل مقسوم على س زائد اتنين. طيب لو رسمنا منحنى الدالتين دول جنب بعض، هيطلع لنا الشكل ده. المنحنى اللي عَ اليمين، بيمثّل الدالة العكسية لِـ د. والمنحنى اللي على الشمال، بيمثّل الدالة د للمتغير س.

من شكل منحنى الدالة العكسية لِـ د، نقدر نلاحظ إن المجال بتاع الدالة العكسية، هو كل الأعداد الحقيقية، ما عدا عند س تساوي واحد. وإن المدى بتاع الدالة العكسية دي، هو كل الأعداد الحقيقية، ما عدا عند ص تساوي سالب اتنين. أمّا بالنسبة لمجال الدالة د، فهو كل الأعداد الحقيقية، ما عدا عند س تساوي سالب اتنين. ومدى الدالة د، هو كل الأعداد الحقيقية، ما عدا عند ص تساوي واحد.

ويبقى كده إحنا فعلًا أثبتنا إن مجال الدالة العكسية، هو مدى الدالة د. ومجال الدالة د، هو مدى الدالة العكسية. كده في الفيديو ده إحنا شُفنا العلاقة ما بين الدالة، والدالة العكسية بتاعتها. وكمان استعرضنا الخطوات، اللي من خلالها نقدر نجيب الدالة العكسية لدالةٍ ما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.