نسخة الفيديو النصية
يتحرك جسم على طول المحور ﺱ. ويعطى موضعه بالنسبة إلى نقطة الأصل عند الزمن ﻥ ثانية بالعلاقة ﻑ يساوي ستة ﻥ أس أربعة ناقص ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد ثلاثة متر. وﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. ما السرعة المتجهة للجسم عندما تساوي عجلته صفرًا؟
حسنًا، علمنا من السؤال أن الجسم يتحرك على طول المحور ﺱ. ولدينا دالة لموضعه بالنسبة إلى نقطة الأصل عند زمن مقداره ﻥ ثانية، وهي دالة كثيرة حدود معطاة بوحدة المتر. ومطلوب منا في السؤال استخدام هذه المعطيات لإيجاد السرعة المتجهة للجسم عندما تساوي عجلته صفرًا.
يمكننا أن نبدأ بطرح السؤال الآتي: متى يكون للجسم عجلة تساوي صفرًا؟ لدينا تعبير لتحديد موضع الجسم بالنسبة إلى نقطة الأصل بعد ﻥ ثانية. وبما أن الجسم يتحرك في خط مستقيم، فإننا نعلم أن معدل تغير الإزاحة ﻑ، يعطينا السرعة المتجهة. وأن معدل التغير في السرعة المتجهة يعطينا العجلة.
إذن، لإيجاد الزمن الذي تكون فيه عجلة الجسم تساوي صفرًا، علينا إيجاد المشتقة الثانية لدالة الإزاحة بالنسبة إلى ﻥ. سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى لـ ﻑ بالنسبة إلى ﻥ، وهو ما يساوي بالطبع السرعة المتجهة للجسم أيضًا. هذا يعطينا مشتقة ستة ﻥ أس أربعة ناقص ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﻥ.
حسنًا، بما أننا نشتق كثيرة حدود، يمكننا إذن الاشتقاق باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب المعامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. وهذا يعطينا السرعة المتجهة للجسم عند الزمن ﻥ تساوي ٢٤ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع ناقص ستة ﻥ ناقص أربعة.
يمكننا الآن استخدام هذا التعبير لإيجاد عجلة الجسم عند الزمن ﻥ. هذه هي المشتقة الثانية للإزاحة بالنسبة إلى ﻥ، والتي تساوي بالطبع معدل تغير السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. إذن، العجلة تساوي مشتقة ٢٤ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع ناقص ستة ﻥ ناقص أربعة بالنسبة إلى ﻥ.
يمكننا اشتقاق هذا باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يعطينا ٧٢ﻥ تربيع ناقص ستة ﻥ ناقص ستة. إننا نريد معرفة متى تساوي العجلة صفرًا. إذن، نجعل العجلة تساوي صفرًا. وهذا يعني أن صفرًا يساوي ٧٢ﻥ تربيع ناقص ستة ﻥ ناقص ستة. وهذه معادلة تربيعية. ويمكننا حلها لإيجاد قيمتي ﻥ.
يمكننا تبسيط المعادلة بقسمة كلا طرفيها على ستة. وهذا يعطينا صفرًا يساوي ١٢ﻥ تربيع ناقص ﻥ ناقص واحد. توجد عدة طرق يمكننا بها حل هذه المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكننا استخدام القانون العام. لكن يمكننا هنا أن نحللها تحليلًا كاملًا.
إننا نريد أن يكون حاصل ضرب معاملي ﻥ يساوي ١٢. على سبيل المثال، يمكننا تجربة أربعة وثلاثة. بعد ذلك، نريد أن يساوي حاصل ضرب الثابتين سالب واحد. ويمكننا هنا ملاحظة أن أربعة ﻥ زائد واحد مضروبًا في ثلاثة ﻥ ناقص واحد يعطينا ١٢ﻥ تربيع ناقص ﻥ ناقص واحد. إذن، هذا سيساوي صفرًا عندما يساوي أحد العاملين صفرًا. إذن، إما أن ﻥ يساوي سالب ربع أو أن ﻥ يساوي ثلثًا.
حسنًا، في الحالة لدينا، ﻥ يمثل الزمن. في الواقع، لقد علمنا أن ﻥ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن هذا يعني أن لدينا حلًّا واحدًا فقط؛ وهو ﻥ يساوي ثلثًا. والسؤال لدينا يطلب منا إيجاد السرعة المتجهة للجسم عندما تساوي العجلة صفرًا. وقد أوضحنا للتو أن المرة الوحيدة التي تساوي فيها العجلة صفرًا تتحقق عندما يكون ﻥ يساوي ثلثًا. إذن، علينا إيجاد قيمة ﻉ عندما يساوي ﻥ ثلثًا.
بالتعويض بـ ﻥ يساوي ثلثًا في التعبير الدال على السرعة المتجهة، نحصل على ٢٤ في ثلث تكعيب ناقص ثلاثة في ثلث تربيع ناقص ستة في ثلث ناقص أربعة. ويمكننا إيجاد أن هذا يساوي سالب ٤٩ مقسومًا على تسعة. في الواقع، بما أننا نقيس الزمن بوحدة الثانية والإزاحة بوحدة المتر، فإن السرعة المتجهة، وهي معدل تغير الإزاحة، لا بد أن تكون بوحدة المتر لكل ثانية.
وبذلك نكون قد أوضحنا أنه إذا كان هناك جسم يتحرك على طول المحور ﺱ حيث يعطى موضعه بالنسبة إلى نقطة الأصل عند الزمن ﻥ ثانية بالعلاقة ﻑ يساوي ستة ﻥ أس أربعة ناقص ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد ثلاثة متر. وﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. فإن سرعته المتجهة، عندما تساوي عجلته صفرًا، تساوي سالب ٤٩ مقسومًا على تسعة متر لكل ثانية.
