فيديو: الأصفار المركبة للدوال كثيرات الحدود

ييتناول الفيديو الدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المركبة، وذلك من خلال نظرية الجبر الأساسية ونطرية تحليل العوامل الخطية، ونظرية الجذر المرافق، مع حل أمثلة.

١٠:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

الأصفار المركبة للدوال كثيرات الحدود.

في الفيديو ده هنراجع على الصيغة القياسية للدوال كثيرات الحدود. وهنتكلم عن الدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المركّبة، من خلال نظرية الجبر الأساسية. بعد كده هنشرح نظرية تحليل العوامل الخطية، ثم نظرية الجذر المرافق، مع حل مثال.

أولًا الصيغة القياسية للدوال كثيرات الحدود د س تساوي: أ ن س أُس ن، زائد أ ن ناقص واحد س أُس ن، ناقص واحد، زائد نقط نقط نقط، زائد أ واحد س أُس واحد، زائد أ صفر.

معنى نقط نقط نقط؛ أي وهكذا إلى أ واحد س أُس واحد زائد أ صفر. د س هي كثيرة حدود من الدرجة ن؛ حيث ن عدد صحيح موجب، وَ أ ن لا يساوي صفر. وَ أ ن أ ن ناقص واحد … وهكذا إلى أ واحد أ صفر، أعداد حقيقية.

نجد أن من خصائص د س، وهي كثيرة حدود من الدرجة ن، أن د س تحتوي على ن من الأصفار الحقيقية المميزة على الأكثر. معنى كده إن د س يمكن أن تحتوي على أصفار حقيقية وأصفار تخيلية أو أصفار تخيلية فقط. وطبعًا الأعداد الحقيقية والتخيلية كلها بتنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة. وبنلاقي إن نظرية الجبر الأساسية ونتيجتها بتفسر لنا اللي إحنا قلناه ده.

بنكمّل في صفحة جديدة. بنكمّل وبنشرح نظرية الجبر الأساسية. بنلاقي عندنا إن تحتوي أي دالة كثيرة حدود من الدرجة ن؛ حيث ن أكبر من الصفر، على صفر واحد على الأقل حقيقي أو تخيلي في نظام الأعداد المركّبة. ونتيجة لهذه النظرية بنلاقي عندنا إن تحتوي أي دالة كثيرة حدود من الدرجة ن على ن من الأصفار. بما في ذلك الأصفار المتكررة في نظام الأعداد المركبة. معنى هذا الكلام باختصار إن أي دالة كثيرة حدود من الدرجة ن، بتحتوي على ن من الأصفار. ممكن تكون الأصفار دي حقيقية مميزة. ممكن تكون حقيقية متكررة. ممكن تكون حقيقية وتخيلية، أو تخيلية فقط. ولكن في النهاية هي تنتمي لمجموعة الأعداد المركبة.

بعد كده هنعرف إزّاي نقدر نوجد الأصفار الحقيقية التخيلية للدوال كثيرات الحدود. وده هيتمّ من خلال نظرية تحليل العوامل الخطية.

بنكمّل في صفحة جديدة. بنكمّل ونشرح نظرية تحليل العوامل الخطية. إذا كانت د س كثيرة حدود من الدرجة ن، أكبر من الصفر. فإن د س تحتوي على ن من العوامل الخطية. وتُكتب د س على الصورة الآتية: د س تساوي أ ن في … نفتح قوس، س ناقص ج واحد، نقفل القوس. نفتح قوس تاني، س ناقص ج اتنين، نقفل القوس … وهكذا إلى … نفتح قوس، س ناقص ج ن، نقفل القوس. حيث أ ن عدد حقيقي لا يساوي صفر. وبنلاقي إن ج واحد وَ ج اتنين وهكذا إلى ج ن هي الأصفار المركّبة، بما في ذلك الأصفار المتكررة لِـ د س.

معنى الكلام إن أي دالة كثيرة حدود من الدرجة ن، يمكن تحليلها إلى عوامل خطية عددها ن. بعد كده هنشرح نظرية الجذر المرافق. نكمل ونفتح صفحة جديدة.

بنكمّل نظرية الحذر المرافق. عندما تحتوي معادلة كثيرة حدود في متغيّر واحد وذات معاملات حقيقية، على جذر بالصيغة: أ زائد ت ب؛ حيث ب لا تساوي صفر. فإن المرافق المركَّب أ ناقص ت ب يُعَدُّ جذرًا أيضًا. وبذلك يمكن استخدام هذه النظرية لكتابة دالة كثيرة حدود بمعلومية أصفارها المركّبة.

بعد ما شرحنا النظرية الأساسية للجبر ونتيجتها. ونظرية تحليل العوامل الخطية. ونظرية الجذر المرافق. هنحل مثال في صفحة جديدة، نقدر نطبق عليه كل اللي اتعلمناه.

نفتح صفحة جديدة. في المثال التالي: اكتب دالة كثيرة حدود من أقل درجة ذات معاملات حقيقية، بالصيغة القياسية التي تتضمن سالب اتنين، وأربعة، وتلاتة ناقص ت؛ كأصفار.

بنجد أن تلاتة ناقص ت صفرًا للدالة، فإن تلاتة زائد ت صفرًا أيضًا. وذلك لأن جميع معاملات هذه الدالة معاملات حقيقية، فإن المرافق المركَّب يكون أيضًا صفرًا للدالة. باستخدام نظرية تحليل العوامل الخطية. وبمعلومية الأصفار، وهي: سالب اتنين، وأربعة، وتلاتة ناقص ت، وتلاتة زائد ت. يمكن كتابة الدالة كما يلي: د س تساوي أ في … نفتح قوس، س ناقص سالب اتنين، نقفل القوس. في … نفتح قوس، س ناقص أربعة، نقفل القوس. في … نفتح قوس، س ناقص … نفتح قوس تلاتة ناقص ت، نقفل القوس، ونقفل القوس الكبير. في … نفتح قوس، س ناقص … نفتح قوس، تلاتة زائد ت، نقفل القوس، ونقفل القوس الكبير. وذلك باستخدام نظرية تحليل العوامل الخطية.

أ ممكن يكون أي عدد حقيقي غير الصفر. بنفرض إن أ يساوي واحد. وبنعوض عن أ بواحد في الدالة د س. بعد كده بنضرب الأقواس. بنلاقي إن أول قوسين حاصل ضربهم عبارة عن: س تربيع، ناقص اتنين س، ناقص تمنية. والقوس التالت والرابع حاصل ضربهم عبارة عن: س تربيع، زائد تمنية وعشرين س، ناقص تمانين.

بضرب الأقواس مرة تانية، بنلاقي عندنا إن د س تصبح عبارة عن: س أُس أربعة، ناقص تمنية س أُس تلاتة، زائد أربعتاشر س تربيع، زائد تمنية وعشرين س، ناقص تمانين.

بنكمّل وبنفتح صفحة جديدة. بنكمّل … بعد ما عرفنا د س عبارة عن إيه. بعد ما عوضنا عن قيمة أ بواحد يبقى إحنا قدرنا نكتب الدالة التي أصفارها سالب اتنين وأربعة وتلاتة ناقص ت وتلاتة زائد ت. وهذه الدالة هي د س، وتساوي: س أُس أربعة، ناقص تمنية س أُس تلاتة، زائد أربعتاشر س تربيع، زائد تمنية وعشرين س، ناقص تمانين. أو أي مضاعف غير صفري لِـ د س. وده لأننا عوّضنا عن قيمة أ بواحد. بس ممكن أ يكون أي عدد حقيقي غير الصفر.

وبكده نقدر نقول إن فيه عدد لا نهائي من الدوال كثيرة الحدود التي يمكن كتابتها لمجموعة معيّنة من الأصفار. وزي ما لاحظنا كده إن مجموعة الأصفار اللي قدامنا، بنلاقي إن د س ومضاعفاتها هم عدد لا نهائي من الدوال كثيرة الحدود لمجموعة الأصفار دي.

يبقى في الفيديو ده إحنا راجعنا على الصيغة القياسية للدوال كثيرات الحدود. وعرفنا الدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المركّبة من خلال نظرية الجبر الأساسية ونتيجتها. بعد كده شرحنا نظرية تحليل العوامل الخطية، ونظرية الجذر المرافق، مع حل مثال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.